初三数学圆中有关计算知识精讲

wordword#/11分析：作AD±BC于D,则由人8=人0可知AD平分8仁即AD是BC的垂直平分线，因此它必过圆心O,设交圆O于E,可由AD•DE=BD•DC求出AE的长，进而求出半径的长。解：作ADXBC于D,延长AD交圆O于EVAB=AC,AAD平分BC•・AE是BC的垂直平分线，必过圆心O•・AE是圆O的直径AD•DE=BD•DC又AD2=AB2—BD2=52—42=9，.AD=3,AD=—3（舍去负值），25TOC\o"1-5"\h\z4x416 - 1625\o"CurrentDocument"二.DE= =,/.AE=3+ =3 3 325.•.圆o半径等于-56评析：此题的解题过程应用很多知识，应一步一步推算，每一步都要讲道理，不要想当然，因此，在计算问题中也要注意严谨性。此题还可以连结OB,由Rt△OBD列出方程。例2.（2005年某某）如图，NABC=90°,O为射线BC上一点，以点O为圆心，1BO2.度时与圆O相切。长为半径作圆O,当射线BA绕点B按顺时针方向旋转.度时与圆O相切。分析：当AB绕点B旋转与圆O相切时，连结切点与圆心，可得到直角三角形，利用三角函数求角的度数。解：作BD切圆O于D,连结OD则NBDO=90°OD=-BO,2OD1SinB= =—BO2•ZB=30°,ABA旋转了90°—30°=60°或60°+60°=120°

BDEOCBDEOC评析：此题把切线的问题通过旋转给出，只要弄懂题意，问题便不难了，这种富有新意的题目对分析问题的能力很有帮助。但最后还要解决一个问题，即BA旋转了多少度，它不是30°,而是60°（旋转到BD位置），或旋转了120°,即60°+60°=120°（旋转到BE位置）。注意有两解。例3.（2005年某某市）如图，AB是圆O的直径，P是AB的延长线上的一点，PC切圆O于点C,圆O的半径为3,ZPCB=30°（1）求NCBA的度数；（2）求PA的长。分析：由PC是圆O的切线，连结OC后，可得到OCLPC,再由NPCB=30°,得出NBCO=60°,于是4OBC为等边三角形，NCBA=60°,再由NPCB=NP,可得出PB=BC,于是PA可求。解：连结OC,/PC是圆O的切线，AZPCO=90°,VZPCB=30°AZBCO=90°-30°=60°又OB=OC=3...△OBC是等边三角形AZCBA=60°又NOBC=NP+NPCBAZP=ZOBC-ZPCB=60°-30°=30°AZP=ZPCBAPB=BC=3APA=3X3=9评析：此题求NP=30°时，还可以通过NP=180°—NPCO—NPOC=30°去求。例4.已知：如图，Rt△ABC中，NC=90°,AC=b,BC=a，以AB上一点O为圆心的圆切BC于D,切AC于E。求圆O半径的长。

04 E/l

L /1 f:-』一•••门

BDC分析：由圆O切BC于D,切AC于E,若连结OD、OE,贝UOD±BC,OELAC,又NC=90°,可得OD//AC,OE//BC。于是利用相似三角形列出方程求解。解：连结OD、OE•「BC、AC分别和圆O相切，AODXBC,OEXACVZC=90°Z.OD//CE,OE//DC又OD=OE・•・四边形ODCE是正方形设OE=x，贝UEC=x/.AE=b—xAAOEsAABCOEAE口“xb—x「.——=——，即一= BCACab」.ab-ax=bxabx= a+bab即圆O半径的长为」b-a+b评析：此题是利用切线的性质得到平行线,进而得到相似三角形,这种方法把切线的性质显现出来。例5.(2006年某某市)在圆O的内接AABC中，AB+AC=12,ADLBC,垂足为D,且AD=3,设圆O的半径为y,AB的长为x,(1)求y与x的函数关系式；(2)当AB的长等于多少时，圆O的面积最大，并求出圆O的最大面积。分析：设法使图形中出现圆O的半径或直径，再利用所给的数值去求。为了使图中出现直角三角形，可作直径AE,连结CE。解：作直径AE,连结CE,则NACE=90°

VAD±BC,AZACE=ZADB又NB=NEAABDsAAECABAE x 2y. =——，IP—=——--ADAC 312—x1.y=——x2+2x62当x=- -=6时，y最大为62*(-6)・••圆O的最大面积为36n。评析：构造直角三角形，出现相似三角形，使X、y包括在其中，这种思路应掌握。例6.已知，如图，4ABC为等边三角形，边长为a,以A为圆心，以AC为半径画弧，交BA延长线于D；以B为圆心，以BD为半径画弧，交CB延长线于E；以C为圆心，以CE为半径画弧，交AC延长线于F。求：(1)三条弧长的和；(2)三条弧与FC所围成的图形的面积。分析(1)由于图中出现三个扇形，可求弧长；(2)再求三个扇形的面积，求出其和即可。解(口•「△ABC为等边三角形，•ZCAD=ZEBD=ZECF=120°扇形CAD的半径为2,扇形DBE的半径为22,扇形ECF的半径为3aTOC\o"1-5"\h\z琬120 2「.>CD=——x兀a=兀a180 3120 4MDE= xk-2a=兀a180 3120弧二xk-3a=2^a18024.MCD+MDE+MEE=—Ka+—Ka+2Ka=4Ka33•••S扇CAD120360•••S扇CAD120360Ka21Ka23S1204S1204兀(2a)2=兀a2扇DBE3603120S兀(3a)2=3兀a2扇ECF360S1<3豆=a-——a=——a2△ABC22 4・••所求面积=1向+，+3兀a2+置a2=14向+0a2评析：解此题的关键是找出三个扇形的半径和扇形中心角的度数。【综合测试】.如图，已知AB是圆O的直径，弦CDXAB于点P,CD=12cm,AP：PB=2：3,则圆O的直径是 cm。.如图，AB、AC与圆O相切于B、仁/人=50°,点P是圆上异于B、C的一动点，则NBPC的度数是（ ）A.65° B.115° C.65和115°D.130°和50°.如图，A是半径为5的圆O内的一点，且OA=3,过点A且长小于8的弦有（ ）A.0条 A.0条 B.1条 C.2条D.4条.如图，Rt△ABC中，NC=90°,AC=3,BC=4,以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E,求AB、AD的长。CA-3 ,、.如图，圆O是^ABC的外接圆，连结OA、OC,圆O的半径R=2,sinB=—，求4AC的长。-AB0C.已知：^ABC中，AB=AC=2,NBAC=120°,求^ABC外接圆O直径的长。.如图，在△ABC中，NACB=90°,AC=2,BC=2v3，以A为圆心，以AC为半径作弧交AB于D,求图中阴影部分的面积。AC［参考答案］5V6解：设AP=2x,PB=3cmVAB±CD,APC=PD=6又PA•PB=PC•PD2x-3x=36x2=6.x=±*：6（舍负）2x=2<6,3x=3、6・•.AB=5v6C解：若点P在劣弧弧BC上则NBOC=180°—50°・•・劣弧弧BC的度数为130°连结OB、OC=130°，优弧弧BC的度数为230°Z.ZBPC的度数为1x230o=115°2当点P在优弧弧BC上时，NBPC=1X130°=65°2故选CoA解：作圆O过A点的直径BC,则BC=8cm作DE^BC于A,连结OD则DA=v152—32=4,「.DE=8而DE是过点A最短的弦，它不可能小于8,・•.选A。185,一5解：作CFXAB于F,VZACB=90°・•・可证AC・•・可证AC2=AF-AB3vsinD=sinB=—,CD=2R=44,AC_3一彳―IAC=3AA6.4解：作圆0直径BD,连结ADVAB=AC=2,ZBAC=120°