浙教版八年级数学上册第2章《特殊三角形》培优题（原卷+解析卷）

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浙教版八年级数学上册第2章《特殊三角形》培优题精选

一、选择题（共30分）

1．（浙江嘉兴·九年级竞赛）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是()

A．，，B．，，

C．32，42，52D．1，2，3

【答案】A

【详解】试题分析：勾股定理的逆定理：若一个三角形的两边长的平方和等于第三边的平方，则这个三角形的直角三角形.

A、，能构成直角三角形，本选项符合题意；

B、，C、，D、，均不符合题意.

考点：勾股定理的逆定理

点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握勾股定理的逆定理，即可完成.

2．（辽宁朝阳·八年级竞赛）直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，则其面积为()

A．12cm2B．6cm2C．8cm2D．10cm2

【答案】B

【分析】设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，根据直角三角形的周长及勾股定理即可得到关于a和b的方程组，再结合直角三角形的面积公式即可求得结果．

【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，由题意得：

，解得，

∴，

所以直角三角形的面积，

故选B．

【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，完全平方公式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列方程，注意本题要有整体意识．

3．（辽宁朝阳·八年级竞赛）如图，2023年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为（）

A．13B．19C．25D．169

【答案】C

【分析】根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解．

【详解】解：大正方形的面积是13，

，

，

直角三角形的面积是，

又直角三角形的面积是，

，

．

故选：C．

【点睛】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．

4．（2023春·江苏·八年级校考竞赛）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】连接C，交BD于点M，过点D作DH⊥B于点H，由翻折知，△BDC≌△BD，BD垂直平分C，证△AD为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BM中，利用勾股定理求出B的长，在△BD中利用面积法求出DH的长，则可得出答案．

【详解】解：如图，连接C，交BD于点M，过点D作DH⊥B于点H，

∵AD＝A＝2，D是AC边上的中点，

∴DC＝AD＝2，

由翻折知，△BDC≌△BD，BD垂直平分C，

∴D＝D＝2，BC＝B，CM＝M，

∴AD＝A＝D＝2，

∴△AD为等边三角形，

∴∠AD＝∠AD＝∠AC＝60°，

∵DC＝D，

∴∠DC＝∠DC＝12×60°＝30°，

在Rt△DM中，

∠DC＝30°，D＝2，

∴DM＝1，M＝DM＝，

∴BM＝BDDM＝31＝2，

在Rt△BMC'中，

B＝，

∵S△BDC'＝BDH＝BDCM，

∴DH＝3×，

∴DH＝，

∵∠DCB＝∠DB，

∴点D到B的距离为，

故选：B．

【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形判定与性质，30°直角三角形性质，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．

5．（全国·八年级竞赛）已知中，，点在边的延长线上，，则（）

A．16B．15C．13D．12

【答案】D

【分析】作于点，则可得BH=CH，利用线段的和差关系及勾股定理可求得结果．

【详解】如图，作于点，

则为的中点，

所以BH=CH，

所以

．

故选：D．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段的和差关系，勾股定理等知识，作出等腰三角形底边上的高进而利用线段的和差关系表示是关键．

6．（辽宁朝阳·八年级竞赛）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是、、，则下列说法中错误的是（）

A．如果∠C-∠B=∠A，那么△ABC是直角三角形，∠C=90°

B．如果，则∠B=60°，∠A=30°

C．如果，那么△ABC是直角三角形

D．如果，那么△ABC是直角三角形

【答案】B

【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理及含30度角的直角三角形对各个选项进行分析，从而不难求解．

【详解】解：A、∵∠C-∠B=∠A，∠C+∠B+∠A=180°，

∴2∠C=180°，

∴∠C=90°，

故此选项正确；

B、由，无法得到∠B=60°，∠A=30°，故错误，本选项符合题意；

C、∵，

设，

由得，

∴，

∴，

∴△ABC是直角三角形，

故此选项正确，不符合题意；

D、∵，

∴，即，

∴c是斜边，

∴△ABC是直角三角形，

故此选项正确，不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查的是直角三角形的判定定理，判断三角形是否为直角三角形可通过三角形的角、三边的关系进行判断．

7．（山东临沂·九年级竞赛）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）

A．20B．12C．14D．13

【答案】C

【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，

∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4，

∵点E为AC的中点，

∴DE=CE=AC=5，

∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．

故选C．

【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．

8．（2022·广东·九年级统考竞赛）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若b2+c2＝2b+4c﹣5且a2＝b2+c2﹣bc，则△ABC的面积为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】先用配方法对b2+c2=2b+4c-5变形配方，从而求得b，c的值，再将其代入a2=b2+c2-bc，求出a，再由勾股定理的判定定理得出△ABC为直角三角形，从而其面积易得．

【详解】∵b2+c2＝2b+4c﹣5

∴（b2﹣2b+1）+（c2﹣4c+4）＝0

∴（b﹣1）2+（c﹣2）2＝0，

∴b﹣1＝0，c﹣2＝0，

∴b＝1，c＝2．

又∵a2＝b2+c2﹣bc，

∴a2＝1+4﹣2＝3，

∴或（舍）

∵，

∴△ABC是以1和为直角边的直角三角形，

∴△ABC的面积为：，

故选：B．

【点睛】本题考查了应用配方法进行变形，以及偶次方的非负性，勾股定理的逆定理，三角形的面积计算等基础内容，本题难度中等．

9．（全国·九年级竞赛）在等边三角形ABC所在的平面内存在点P，使∠PAB、∠PBC、∠PAC都是等腰三角形.请指出具有这种性质的点P的个数（）

A．1B．7C．10D．15

【答案】C

【详解】分析：本题利用了等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线也是对称轴，也是边的中垂线．

解：

（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；

（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．故具有这种性质的点P共有10个．

故选C．

10．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）如图，在中，，平分交于点平分交于点交于点．则下列说法正确的个数为（）

①；②，③若，则；④；⑤．

A．2个B．3个C．4个D．5个

【答案】C

【分析】①根据三角形内角和定理可得可得，然后根据平分平分，可得，，再根据三角形内角和定理即可进行判断；

②当是的中线时，，进而可以进行判断；

③根据，证明为等边三角形，根据三线合一的性质进而可以进行判断；

④作的平分线交于点，可得，证明，，可得，进而可以判断；

⑤过作于点，由④知，为的角平分线，可得，所以可得，根据，进而可以进行判断．

【详解】解：①在中，，

∴，

∵平分平分，

∴，，

∴，故①正确；

②当是的中线时，，故②错误；

③∵，

∴为的中线，

∵为的角平分线，

∴，

∴为等边三角形，

∴，故③正确；

④如图，作的平分线交于点，

由①得，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，故④正确；

⑤过作，于点，

由④知，为的角平分线，

∴，

∴，

∵，

∴，故⑤正确．

综上所述：正确的有①③④⑤，共4个，

故选：C．

【点睛】本题考查了角平分线的定义以及性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形全等的性质和判定，作辅助线，构建三角形全等是解题关键．

二、填空题（共21分）

11．（浙江嘉兴·九年级竞赛）已知直角三角形两边的长满足，则第三边的长．

【答案】或或

【分析】根据绝对值、算术平方根的非负性分别求出x、y，分三种情况讨论，根据勾股定理计算，得到答案．

【详解】解：∵x、y为直角三角形的两边长，满足，

∴，，

解得（负值不合题意，舍去），或，

当直角边长分别为2，2时，则第三边长为：；

当直角边长分别为2，3时，则第三边长为：；

当直角边长为2，斜边长为3，则第三边长为．

故答案为：或或．

【点睛】此题考查勾股定理、非负数的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．

12．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为．

【答案】45°或36°

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．

【详解】解：①如图1，

当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AC=BC，AD=CD=BD，

设∠A=x°，

则∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，

∴∠BCD=∠B=x°，

∵∠A+∠ACB+∠B=180°，

∴x+x+x+x=180，

解得x=45，

∴原等腰三角形的底角是45°；

②如图2，

△ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD，

∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，

∴∠B=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD，

∵∠CDA=2∠B，

∴∠CAB=3∠B，

∵∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴5∠B=180°，

∴∠B=36°，

∴原等腰三角形的底角为36°；

故答案为45°或36°

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及其判定．作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解．

13．（2022春·湖南长沙·八年级校联考竞赛）如图，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90o，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE=AC+AD，其中结论正确的是（填序号）

【答案】①②③

【分析】根据全等、等腰三角形以及三角形边的性质即可得出答案.

【详解】∵∠BAC=∠DAE=90o，AB=AC，AD=AE

又∠BAD=∠BAC+∠CAD

∠CAE=∠EAD+∠CAD

∴∠BAD=∠CAE

∴△BAD≌△CAE(SAS)

∴BD=CE，故选项①正确；

∴∠BDA=∠CEA=45°

又∠ADE=45°

∴∠BDE=∠ADE+∠BDA=90°

∴BD⊥CE，故选项②正确；

∵△BAD≌△CAE

∴∠ACE=∠ABD

又∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ACE+∠CBD=45°，故选项③正确；

在△BAE中

AB+AE>BE

又AB=AC，AE=AD

∴AC+AD>BE，故选项④错误；

故答案为：①②③.

【点睛】本题考查的是等腰三角形，难度适中，需要熟练掌握等腰三角形、全等以及三角形的基本性质.

14．（辽宁朝阳·八年级竞赛）如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则重叠部分的边的长是．

【答案】5cm/5厘米

【分析】根据可得，求的长即可．然后设，则．在中根据勾股定理求解．

【详解】解：，

．

根据折叠的性质，．

，可得．

设，则．

．

解得．

．

故答案为5cm

【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边相等．

15．（辽宁朝阳·八年级竞赛）如图，AD=8cm，CD=6cm，ADCD，BC=24cm，AB=26cm，则S四边形ABCD=．

【答案】

【分析】连接AC，先根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理证得ABC为直角三角形，最后根据直角三角形的面积公式及即可求得结果．

【详解】解：连接AC

∵AD=8cm，CD=6cm，ADCD

∴

在三角形ABC中

∵

∴ABC为直角三角形

∴S四边形ABCD=S△ABCS△ACD＝

【点睛】本题考查直角三角形的判定定理及面积公式．解答本题的关键是读懂题意，正确作出辅助线，根据勾股定理的逆定理证得ABC为直角三角形．

16．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，中，是上任意一点，于点于点F，若，则．

【答案】1

【分析】将的面积拆成两个三角形面积之和，即可间接求出的值．

【详解】解：连接，如下图：

于点于点，

，

，

，

故答案是：1．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用面积法解决两边之和问题，解题的关键是：将的面积拆成两个三角形面积之和来解答．

17．（山东泰安·九年级竞赛）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是．

【答案】．

【详解】试题解析：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，

∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=10，

∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，

∴S1+S2+S3=3x+12y=10，故3x+12y=10，

x+4y=，

所以S2=x+4y=．

考点：勾股定理的证明．

三、解答题（共49分）

18．（本题6分）（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，在中，，垂足为D，，延长至E，使得，连接．

(1)若，求；

(2)若，求面积．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）证明是的中垂线，推出，再利用三角形的外角性质即可求解；

（2）利用勾股定理计算出，进而求出，即可求出的面积．

【详解】（1）解：∵，，

∴是的中垂线，

∴，

∴；

∵，

∴，

∴；

（2）解：在中，，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理，三角形面积的计算等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用是解题的关键．

19．（本题8分）（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若．

(1)求的长度；

(2)求的长度．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）根据角平分线的性质得到，求出，根据勾股定理计算，得到答案；

（2）利用证明，推出，设，在中，利用勾股定理求解即可．

【详解】（1）解：∵平分交于点D，，，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）解：∵平分交于点D，，，

∴，

∴，

∴，

设，

在中，，

∴，

解得，

∴．

【点睛】本题考查的是角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

20．（本题8分）（2022春·湖南长沙·八年级长沙市长郡双语实验中学校考竞赛）已知：如图，△中，，，是△的中线，点在上，且．求证：．

【答案】证明见详解．

【分析】以点C为圆心，CD长为半径，交AB于F，连结CF，得出CD=CF，根据等腰三角形的性质得出∠CDF=∠CFD，根据直角三角形斜边中线得出AD=CF，再证△ADE≌△CFB（AAS）即可．

【详解】证明：以点C为圆心，CD长为半径，交AB于F，连结CF，则CD=CF，

∴∠CDF=∠CFD，

∴∠ADE=180°-∠CDF=180°-∠CFD=∠CFB，

∵是△的中线，

∴CD=AD=BD，

∴AD=CF，

在△ADE和△CFB中，

，

∴△ADE≌△CFB（AAS），

∴AE=CB．

【点睛】本题考查尺规作图，等腰三角形性质，直角三角形斜边中线性质，三角形全等判定与性质，掌握尺规作图，等腰三角形性质，直角三角形斜边中线性质，三角形全等判定与性质是解题关键．

21．（本题8分）（四川自贡·八年级竞赛）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边且BE＝CF，AD+EC＝AB．

（1）求证：△DEF是等腰三角形；

（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．

【答案】（1）见解析；（2）∠DEF＝70°．

【分析】（1）求出EC=DB，∠B=∠C，根据SAS推出△BED≌△CFE，根据全等三角形的性质得出DE=EF即可；（2）根据三角形内角和定理求出∠B=∠C=70°，根据全等得出∠BDE=∠FEC，求出∠DEB+∠FEC=110°，即可得出答案；

【详解】（1）证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵AB＝AD+BD，AB＝AD+EC，

∴BD＝EC，

在△DBE和△ECF中，，

∴△DBE≌△ECF（SAS）

∴DE＝EF，

∴△DEF是等腰三角形；

（2）∵∠A＝40°，

∴∠B＝∠C＝＝70°，

∴∠BDE+∠DEB＝110°，

又∵△DBE≌△ECF，

∴∠BDE＝∠FEC，

∴∠FEC+∠DEB＝110°，

∴∠DEF＝70°．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．

22．（本题9分）（2023·广东茂名·八年级竞赛）如图，为线段上一动点，分别过点作，，连接．已知，设．

(1)用含的代数式表示的值；

(2)探究：当点满足什么条件时，的值最小？最小值是多少？

(3)根据(2)中的结论，请构造图形求代数式的最小值．

【答案】（1）；（2）三点共线时；（3）13

【分析】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故可由勾股定理表示；

（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和大于第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；

（3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．

【详解】（1）；

（2）当三点共线时，的值最小．

（3）如下图所示，作，过点作，过点作，使，．连接交于点，的长即为代数式的最小值．

过点作交的延长线于点，得矩形，

则，12．

所以，即的最小值为13．

考点：本题考查的是轴对称－最短路线问题

【点睛】本题利用了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．

23．（本题10分）（山东临沂·九年级竞赛）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将三角板中含45°角的顶点放在A上，斜边从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．

（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；

（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：

小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）；

小亮的想法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）；

请你从中任选一种方法进行证明．

（3）小敏继续旋转三角板，请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4），等量BD2+CE2=DE2是否仍然成立？请作出判断，不需要证明．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）成立，理由见解析

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠DAM+∠MAE=∠BAD+∠EAC=45°，再由AD平分∠BAM，即可求证；

（2）小颖的想法：根据折叠的性质可得∠BAD=∠FAD=45°，AB=AF，BD=DF，再由等腰直角三角形的性质可得∠CAE=∠FAE．从而得到△AEF≌△AEC，进而得到CE=FE，∠AFE=∠C=45°．可得到∠DFE=90°．再由勾股定理，即可求证；小亮的想法：根据旋转的性质可得∠B=∠ACG=45°，AD=AG，BD=CG，∠BAD=∠CAG，可证得△DAE≌△GAE，从而得到DE=EG，进而得到△ECG是直角三角形，再由勾股定理，即可求证；

（3）按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G．证得△AEF≌△AEC，可得到∠DFE=90°，再由勾股定理，即可求证．

【详解】（1）证明：∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．

∵∠DAE=45°，

∴∠DAM+∠MAE=45°，∠BAD+∠EAC=45°，

∴∠DAM+∠MAE=∠BAD+∠EAC=45°，

∵AD平分∠BAM，

∴∠BAD=∠DAM，

∴∠MAE=∠EAC，

即AE平分∠MAC；

（2）选择小颖的方法．

证明：如图2，连接EF．

由折叠可知，∠BAD=∠FAD=45°，AB=AF，BD=DF，

∵AB=AC，

∴AC=AF，

∵∠BAD=∠FAD，

∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．

在△AEF和△AEC中，

，

∴△AEF≌△AEC（SAS），

∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．

∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．

在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，

∴BD2+CE2=DE2．

选择小亮的方法，

证明：如图3，

∵将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，

∴△ADB≌△AGC，

∴∠B=∠ACG=45°，AD=AG，BD=CG，∠BAD=∠CAG，

∵∠BAC=∠DAG=90°，∠DAE=45°，

∴∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=45°，

∴∠DAE=∠EAG，

在△DAE和△GAE中，

，

∴△DAE≌△GAE（SAS），

∴DE=EG，

∵∠CAB=90°，

∴∠ECG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，

∴△ECG是直角三角形，

∴CG2+CE2=EG2，

即BD2+CE2=DE2；

（3）当135°＜α＜180°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立．证明如下：

如图4，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G．

∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，

∴AF=AB，∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°，∠BAD=∠FAD，

又∵AC=AB，

∴AF=AC．

又∵∠CAE=90°﹣∠BAE=90°﹣（45°﹣∠BAD）=45°+∠BAD=45°+∠FAD=∠FAE．

∴∠CAE=∠FAE．

在△AEF和△AEC中，

∵，

∴△AEF≌△AEC（SAS），

∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．

∴∠DFE=∠AFD﹣∠AFE=∠135°﹣∠C=135°﹣45°=90°．

∴∠DFE=90°．

在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，

∴BD2+CE2=DE2．

【点睛】本题考查了几何变换综合性题目，用到的知识点有角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质等，题目的综合性较强，难度较大，正确做出图形的辅助线是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台

浙教版八年级数学上册第2章《特殊三角形》培优题精选

一、选择题（共30分）

1．（浙江嘉兴·九年级竞赛）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是()

A．，，B．，，

C．32，42，52D．1，2，3

2．（辽宁朝阳·八年级竞赛）直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，则其面积为()

A．12cm2B．6cm2C．8cm2D．10cm2

3．（辽宁朝阳·八年级竞赛）如图，2023年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为（）

A．13B．19C．25D．169

4．（2023春·江苏·八年级校考竞赛）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）

A．B．C．D．

5．（全国·八年级竞赛）已知中，，点在边的延长线上，，则（）

A．16B．15C．13D．12

6．（辽宁朝阳·八年级竞赛）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是、、，则下列说法中错误的是（）

A．如果∠C-∠B=∠A，那么△ABC是直角三角形，∠C=90°

B．如果，则∠B=60°，∠A=30°

C．如果，那么△ABC是直角三角形

D．如果，那么△ABC是直角三角形

7．（山东临沂·九年级竞赛）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）

A．20B．12C．14D．13

8．（2022·广东·九年级统考竞赛）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若b2+c2＝2b+4c﹣5且a2＝b2+c2﹣bc，则△ABC的面积为（）

A．B．C．D．

9．（全国·九年级竞赛）在等边三角形ABC所在的平面内存在点P，使∠PAB、∠PBC、∠PAC都是等腰三角形.请指出具有这种性质的点P的个数（）

A．1B．7C．10D．15

10．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）如图，在中，，平分交于点平分交于点交于点．则下列说法正确的个数为（）

①；②，③若，则；④；⑤．

A．2个B．3个C．4个D．5个

二、填空题（共21分）

11．（浙江嘉兴·九年级竞赛）已知直角三角形两边的长满足，则第三边的长．

12．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为．

13．（2022春·湖南长沙·八年级校联考竞赛）如图，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90o，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE=AC+AD，其中结论正确的是（填