勾股定理的应用-习题精选及答案(一)_第1页
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勾股定理的应用习题精选（一）1．填空题(1)若一个三角形三边长分别为45，28，52则这个三角形是＝(2)在△ABC中，若AC2＋AB2＝BC2，则∠B＋∠C＝(3)若三角形三边长分别为n＋1，n＋2，n＋3，当n＝时，这三角形是直角三角形。2．3．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h(2)a+b＜c+h(3)以a+b，h和c+h为边的三角形是直角三角形4．若△ABC的三边a、b、c满足条件a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338。求证：△ABC是直角三角形。答案：1．(1)直角三角形(2)90°(3)n＝22．分析：作法：(1)过点O作l⊥OA(2)在l上截取OM=OA，连结AM(3)以A为圆心，AM为半径作弧交正半轴于点C(4)作OC的垂直平分线交OC于B点，则点B就是所求的点。3．分析：(1)利用三角形面积公式判定a、b、c、h的关系，将其公式变形可得。(2)利用求差方法进行大小比较(3)验证勾股定理的逆定理证明：(1)∵∠ACB=90°CD⊥AB于D∴AB·CD=AC·BC即ch=ab(2)∵(c+h)-(a+b)∵c＞a，c＞b∴(c+h)-(a+b)＞0∴c+h＞a+b即a+b＜c+h(3)∵c+h＞a+bc+h＞h∴c+h是三角形的最长边∴(c+h)2=c2+2ch+h2=a2+b2+2ab+h2=(a+b)2+h2∴以a+b,h,c+h为边的三角形为直角三角形此题第二问还有其它证法：(2)证法二(分析法)欲证c+h＞a+b只须证c2+2ch+h2＞a2+2ab+b2只须证c2+h2＞a2+b2只须证h2＞0最后这个不等式虽然成立，且每一步都是前一步成立的充分条件，所以原不等式成立。证法三(作差c-b，a-h，将它们集中在同一三角形中)如图在AB上截取AE=b，作EG⊥AC，作EF⊥BC，连接CE又AE=AC∴EG=CD=CF∴EB=c-b，BF=a-h在Rt△FEB中∵EB＞BF∴c-b＞a-h∴c+h＞a+b说明：此题综合了多个知识点，像三角形三边关系定理、三角形面积公式、公式运算、因式分解中的分组分解法以及勾股定理及其逆定理的应用等，并且涉及了一些解题的重要方法：如怎样比较两个数的大小，我们说常用的方法有做差、做商等，在这里第②问的证法一就是利用做差，计算(c+h)-(a+b)的结果大于零，从而证明c+h〉a+b。另外运用代换的方法，分别用ab=ch的关系式得出替代h,用a2+b2替代c2等使问题得以转化。4．证明：∵a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338∴a2－10a＋25＋b2－24b＋144＋c2－26c＋169＝0即(a－5)2＋(b－12)2＋

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