波动方程和行波法名师优质课获奖市赛课一等奖课件

物理学专业必修课程数学物理方法MathematicalMethodinPhysics西北师范大学物理与电子工程学院第1页1第一章波动方程和行波法第2页2引言1.1弦振动方程1.2行波法第3页3数理方程（泛定方程）（三类）在物理学研究中起着主要作用。怎样从物理学实际问题中导出数理方程呢？我们先从弦振动方程入手。引言第4页4基本步骤：1.建立坐标系（时间，空间）2.选择表征所研究过程物理量

表征物理量选择经常是建立一个新方程起点。（一个或几个）。数学模型物理模型第5页53.寻找（猜测）物理过程所恪守物理定律或物理公理;4.写出物理定律表示式，即数学模型。第6页6一、弦横振动方程二、定解条件提出三、三类定解问题1.1弦振动方程第7页7一、弦横振动方程（均匀弦微小横振动）演奏弦乐（二胡，提琴）人用弓在弦上往返拉动，弓所接触是弦很小一段，似乎只能引发这个小段振动，实际上振动总是传输到整个弦，弦各处都振动起来。振动怎样传输呢？第8页8实际问题：设有一根细长而柔软弦,紧绷于A，B两点之间，在平衡位置附近产生振幅极为微小横振动（以某种方式激发，在同一平面内，弦上各点振动方向相互平行，且与波传输方向（弦长度方向）垂直），求弦上各点运动规律。1.物理模型第9页92.分析弦是柔软，即在放松条件下，把弦弯成任意形状，它都保持静止。绷紧后，相邻小段之间有拉力，这种拉力称为弦中张力，张力沿线切线方向。第10页10

因为张力作用，一个小段振动必带动它邻段，邻段又带动它自己邻段，这么一个小段振动必定传输到整个弦，这种振动传输现象叫作波。弦是轻质弦（其质量只有张力几万分之一）。跟张力相比，弦质量完全能够略去。第11页11①模型实际上就是：柔软轻质细弦（“没有质量”弦）②将无质量弦紧绷，不振动时是一根直线，取为x

轴。③将弦上个点横向位移记为第12页12④已知：线密度

重量不计，沿切线方向，不随x改变，弦中各点张力相等（小振动下T与t也无关）.

张力⑤研究方法：连续介质，微积分思想，任意性。第13页133.研究建立方程①如图，选弦绷紧时（不振动）直线为x

轴AB第14页14为表征物理量。②弦离开平衡位置位移记为③因弦振动是机械振动，基本规律为：然而弦不是质点，故对整根弦并不适用。但整根弦能够细分为许多极小小段，每个小段能够抽象为质点。第15页15即整根弦由相互牵连质点组成，对每个质点即每个小段可应用

.方法：将连续分布介质离散化为多质点系统，再取内部任一代表性点进行研究。将弦细分为许多极小小段，取区间上小段为代表。无质量且柔软，故该段仅受到相邻两段拉力.和

第16页16④对弦每一小段dx,沿x方向（纵向）没有运动，沿

x方向所受合外力为零。任一小段弦在振动过程中只受到相邻段对它张力和施加在弦上外力。设单位长度上受到横向外力为第17页17于是由牛顿第二定律对dx

所对应这一小段弦有:沿

方向（纵向）：

沿

方向（纵向）：

①②第18页18近似：考虑小振动，

，为小量。

其中:

是弦线密度，即单位长度为对应弧长，

为弦横向为弦横向加速度。

质量，位移，第19页19∵

第20页20于是①、②化简为：两点间任一时刻横小振动近似：

与与

相比是一向位移之差

个小量，即

第21页21即令

则上式为:第22页22应用微积分中值定理:第23页23即——弦强迫横振动方程其中:

，

量纲分析：

，第24页24即：振动传输速度

它与弦张力平方根成正比，与弦线密度平方根成反比。

∴

第25页25对乐器来讲，意味着弦绷越紧，波速越大；弦质料越密，波速越小。则得弦自由横振动方程：

消失，即

上式中,外力f第26页26注意：上述推导过程中，并没有考虑重力。不但弦振动，一维波动方程，如弹性杆横振动。二维波动方程，如薄膜横振动方程，管道中小振动传输，理想传输线电报方程等均可用上述波动方程描述。故称为一类方程，即波动方程。（也是称其为泛定方程远大）可描述一类物理现象。流体力学与声学中推导三维波动方程，这里不再一一推导。第27页27二、定解条件提出

1、必要性。导出方程后，就得对方程进行求解。不过只有泛定方程不足以完全确定方程解，即不足以完全确定详细物理过程，因为详细物理过程还与其初始状态及边界所受外界作用相关，因而必须找一些补充条件，用以确定该物理过程。第28页28

从物理角度看：泛定方程仅表示普通性（共性），要为物体运动个性化附加条件。

从数学角度看：微分方程解任意性也需附加条件。通解中含任意函数（解不能唯一确定）。经过附加条件确定任意函数（常数），从而确定解。这些附加条件就是前面所谈问题“历史”与“环境”，即初始条件和边界条件，统称为定解条件。第29页292、初始条件在求解含时间t变量数理方程时，往往要追溯到早些某个所谓“初始”时间情况（“历史”），于是称物理过程初始情况数学表示式为初始条件。第30页30如弦振动方程:

其初始条件为:同一时刻(

)情况

注意：(a）初始条件应是整个系统初始状态，而不是系统中个别点初始状态。第31页31若

就错了。

如：一根长为l两端固定弦，用手把它中点朝横向拔开距离h，然后放手任其振动（初始时该就为放手时刻），则初始条件应为：第32页32(b)时间t

n阶方程需n个初始条件，n个常数。如：第33页333、边界条件求解方程时还需考虑边界情况（周围“环境”）（边界情况将经过逐点影响所讨论整个区域），称物理过程边界情况表示式为边界条件，或称为边值条件。边界条件在数学上分为三类：第34页34

第一类边界条件(Dirichlet边界条件)：直接要求所研究物理量在边界上数值其中为已知函数。

第35页35

第二类边界条件（Neuman边界条件）：要求所研究物理量在边界外法线方向上方向导数数值.，第36页36

第三类边界条件（混合边界条件也叫Robin边界条件）：要求所研究物理量及其外法向导数线性组合在边界上值:常系数第37页37第一、二、三类齐次边界条件。时，以上三类边界条件当分别称为第38页38⑴

衔接条件集中地因为一些原因，在所研究区域里出现跃变点，泛定方程在该点失去意义。如波动方程（弦），假如有横向力作用于点，这就成了弦折点。在点斜率左极限不一样于右极限，因而不存在,

4、其它条件第39页39在各段上,弦振动方程有意义，但它是一根弦两段，并不是各自振动。从数学上来讲，不可能在两端上分别列出定解问题。两段可作为一个整体来研究，两段振动是相互关联。在这一点无意义.假如,将分成，两段分别考虑，第40页40F（0,t）α1α2xu第41页41虽是折点，但它们连续，即①在

，力

应和张力平衡，即②

①、②合称为衔接条件，这时振动问题适定。第42页42再如，不一样材料组成杆振动，在衔接处位移和能量相等，即：：杆两部分位移.：两部分杨氏模量.

第43页43静电场中，两种电介质交界面上电势应相等（连续），电位移矢量法向分量也应相等（连续）,其衔接条件是:第44页44代表两种电介质介电常数，（设电其中代表两种电介质电势，

则,位移矢量分别为第45页45⑵

自然边界条件一些情况下，出于物理上合理性等原因，要求解为单值、有限，就提出自然边界条件，这些条件通常都不是要研究问题直接给出，而是依据解特征要求自然加上去，故称为自然边界条件，如：第46页46通解为：

在区间

上要求解有限，故

有限，从而在

中解为:

第47页47但并非全部定解问题中，都一定同时含有初始条件和边界条件。三、三类定解问题定解问题泛定方程定解条件初始条件边界条件+衔接条件第48页48

（1）初值问题(Cauchy问题）：定解问题中仅初始条件而无边界条件,如无界弦振动:第49页49

（2）边值问题：定解条件为边界条件

如

第50页50（3）混合问题:即有初始条件又有边界条件。如有界弦自由振动第51页51物理系统总是有限，必须有界，要求边界条件，如：弦总是有限长，有两个端点，但假如重视研究靠近一端一段弦，即在不太长时间里，另一端还没来得及传到，可认为另一端不存在这么就可将真实弦抽象为半无界弦。（4）无界半无界问题：第52页52假如重视考虑不靠近两端点某段弦，在不太长时间里，两端点影响还没来得及传到，可认为两端点都不存在，即两端点都在无限远，就不提边界条件了，这么有限真实弦抽象成无界弦，分别称为半无界问题、无界问题。第53页53举例：弦振动问题中

第一类边界条件：

第54页54端点运动规律:

左端点，

右端点

若两端点固定，则

为齐次边界条件，称固定端点边界条件。

第55页55第二类边界条件：

若左端点自由地上下运动，则

称自由（端点）边界条件

.第56页56第三类边界条件：

弹簧，弦左端点固定于弹簧自由顶端，弦左端点受到垂直于轴已知外力作用而上下运动。

设在处安置了一个垂直于

轴第57页57第58页58若弹性支承边界条件：

弦一端与一个其它系统相连接，弦在左端处连接于一弹簧质量系统，保持其运动是完全垂直。第59页59想象质量在垂直轨道上无摩擦，轨道对质量施加一个张力，预防张力水平分量拉翻质量系统，弦与此质量未连接，质量位置为弦在端点位置

，未知量，满足牛顿第二定律一个ODE。第60页60弹簧拉伸长度为:

由牛顿第二定律：

弹簧上其它力假设弹簧未拉伸长度为

，且满足胡克定律，设弦支撑点按照其解方式移动。弹簧长度为第61页61其中

为小振动近似，

常量，第62页62边界条件为（连接于一个弹簧质量系统，带动支撑

外力一条振动处,则弦在第63页63若无外力作用于质量上

充分小，则其中:

是质量平衡位置第64页64若质量平衡位置与弦平衡位置重合，即

则：

若弦和质量，若

处

，。成正比，与平衡位置都是则必有第65页65端点处无任何其它垂直外力，弹力在端点垂直分量必为0，不然此端点将会有没有限垂直加速度。对

取极限

若端点附在前述无摩擦垂直轨道上，上下自由移动，无弹簧质量系统也无外力，第66页661.2行波法一、定解问题二、求解定解问题三、分析解答四、依赖区域五、其它:问题第67页67引言上节课我们已经了解了数学物理方程所研究对象、特点，并推导出一类经典方程——波动方程（弦振动方程），接下来问题就是对这些问题怎样来求解？先往返顾一下求解

。求解

１.第68页68先求方程通解（含任意常数）常微分方程（

）求解思绪：

(利用初值条件)方程特解确定条件中数第69页69比如：

通解为:

第70页702.求解

对，可否也用这种思绪来求解？即先求通解（通解中包含任意常数或函数），然后利用各种条件确定常数或函数，从而得到特解。已经表明，对以下困难：来讲有第71页71其一，通解不好求；其二，用定解条件确定函数较困难，但也却非不能处理任何方程，对一类问题是可行：无界区域齐次波动方程定解问题。第72页72齐次波动方程（

）反应介质一经扰动后在区域里不再受外力运动规律。如弦振动方程，所考虑弦，长度很长，所需知道又只是在较短时间内离边界较远一段范围中运动情况，则边界影响能够不予考虑，就组成一个无界问题，第73页73（初值问题）抽象成问题区域是整个空间，由初始扰动所引发振动就会一往无前传输下去，形成行进波，简称行波。（数学上将弦长度视为无限）。这种求解行波问题方法成为行波法。第74页74一、定解问题上式为无界弦自由振动方程.其中为已知函数。

第75页75物理模型解释：①无限长弦自由振动②无限长杆纵振动③无限长理想传输线上电流、电压之比这里“无限长”指没有受到外力作用，只研究其中一小段，则在不太长时间里，两第76页76端影响来不及传到，可认为两端不存在，因而为无限长。对该问题处理思绪（借鉴ODE处理方法）自变量变换简化泛定方程定解问题解得通解初始条件第77页77二、求解定解问题（一维齐次波动方程通解）

（1）作自变量变换（行波变换）.目标：将泛定方程简化成易积分形式.设第78页78利用复合函数求导法则有：

（上述变换由来：

由有引入变换

找两个微分算子：

第79页79使

为常数，

第80页80令则

故令

第81页81则有

这时

第82页82为了书写简便和对称，令

即

第83页83第84页84第85页85第86页86（２）求通解两边对

求积分得：

和

无关，是关于

函数，则有第87页87求积分有：

其中为函数，然后再对自变量

其中，分别为

，函数，只要有两次积分就可。

任意第88页88故，通解为

第89页89（３）用初始条件定特解——确定由初始条件

由

有

第90页90第91页91由此解得

第92页92第93页93故:这叫做达朗贝尔解，简称达氏解，所以这种方法叫做达朗贝尔解法。第94页94三、分析解答（1）解适定性(存在性、唯一性、稳定性)（2）解物理意义.通解物理意义：先考虑

，时

，表示弦在

时波形（位移），

第95页95初始时刻状态，经过时间

后由

，波形向

正方向右进行，故

所描述振动规律，称为右行波（正行波、右传输波）；

向平移距离，即这种波传输形式是保持波形不变地以速度第96页96表示不变地向左传输，称为左行波（逆行波、左传输波），故弦振动方程通解是左右行波叠加，（即弦上任意扰动总是向相反两个方向传输下去）同理，越大,表示波传输速度越快。第97页97+第98页98表示初始位移引发波动左右行波叠加由初始位移激发行波，时刻波形为

向左右传输.，以后分成几部分以独立速度上式第一项为:第99页99表示由初始速度引发波动.设

一个原函数是

即则第100页100左右对称地扩展到范围，它表示左右行波叠加，由初始速度激发行波，在

时刻，它传输速度为.第101页101例1.求解初值问题（初始位移引发波动）第102页102解：由

公式：

若第103页103四、依赖区域、影响区域、决定区域无界弦自由振动这种特征，能够更几何直观地表现出来.定解问题以下:第104页104其定义域是

平面