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第四节一、隐函数导数二、由参数方程确定函数导数三、相关改变率机动目录上页下页返回结束隐函数和参数方程求导相关改变率第二章第1页函数为隐函数.一、隐函数导数若由方程可确定y

是x

函数,由表示函数,称为显函数.比如,可确定显函数可确定y是x

函数,但此隐函数不能显化.则称此隐函数求导方法:两边对x求导(含导数方程)机动目录上页下页返回结束第2页例1.

求由方程在x=0

处导数解:

方程两边对

x

求导得因x=0时y=0,故确定隐函数机动目录上页下页返回结束第3页例2.

求椭圆在点处切线方程.解:

椭圆方程两边对

x求导故切线方程为即机动目录上页下页返回结束第4页例3.

求导数.解:

两边取对数,化为隐式两边对x求导机动目录上页下页返回结束第5页1)对幂指函数可用对数求导法求导:说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意:机动目录上页下页返回结束第6页2)有些显函数用对数求导法求导很方便.比如,两边取对数两边对x

求导机动目录上页下页返回结束第7页又如,对x求导两边取对数机动目录上页下页返回结束第8页二、由参数方程确定函数导数若参数方程可确定一个

y与

x

之间函数可导,且则时,有时,有(此时看成x是

y函数)关系,机动目录上页下页返回结束第9页若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定函数可求二阶导数.利用新参数方程,可得机动目录上页下页返回结束第10页?例4.

设,且求已知解:练习:P111题8(1)解:注意:机动目录上页下页返回结束第11页例5.

抛射体运动轨迹参数方程为求抛射体在时刻t运动速度大小和方向.解:先求速度大小:速度水平分量为垂直分量为故抛射体速度大小再求速度方向(即轨迹切线方向):设

为切线倾角,则机动目录上页下页返回结束第12页抛射体轨迹参数方程速度水平分量垂直分量在刚射出(即t=0)时,倾角为到达最高点时刻高度落地时刻抛射最远距离速度方向机动目录上页下页返回结束第13页例6.设由方程确定函数求解:方程组两边对

t

求导,得故机动目录上页下页返回结束第14页三、相关改变率为两可导函数之间有联络之间也有联络称为相关改变率相关改变率问题解法:找出相关变量关系式对t求导得相关改变率之间关系式求出未知相关改变率机动目录上页下页返回结束第15页例7.

一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为500m

时,观察员视线仰角增加率是多少?解:设气球上升t

分后其高度为h,仰角为

,则两边对

t求导已知

h=500m时,机动目录上页下页返回结束第16页思索题:

当气球升至500m时停住,有一观察者以100m／min速率向气球出发点走来,当距离为500m时,仰角增加率是多少?提醒:对t求导已知求机动目录上页下页返回结束第17页试求当容器内水例8.

有一底半径为R

cm,高为

h

cm圆锥容器,今以自顶部向容器内注水,位等于锥高二分之一时水面上升速度.解:设时刻t容器内水面高度为

x,水两边对t

求导而故体积为V

,则机动目录上页下页返回结束第18页内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适合用于幂指函数及一些用连乘,连除表示函数3.参数方程求导法极坐标方程求导4.相关改变率问题列出依赖于t相关变量关系式对t求导相关改变率之间关系式转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式机动目录上页下页返回结束第19页思索与练习1.求螺线在对应于点处切线方程.解:化为参数方程当时对应点斜率∴切线方程为机动目录上页下页返回结束第20页2.设求提醒:分别用对数求导法求答案:机动目录上页下页返回结束第21页3.

设由方程确定,解:方程两边对x求导,得再求导,得②当时,故由①得再代入②得求机动目录上页下页返回结束①第22页作业P1101(1),(4);2;3(3),(4);

4(2),(4);5(2);6;7(2);8(2),(4);9(2);10;12第五节目录上页下页返回结束第23页求其反函数导数.