高二数学矩阵与变换省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

选修4-2“矩阵与变换”全书复习江苏省白塔高级中学相武1/58

经过几何变换讨论二阶矩阵乘法及性质、逆矩阵和矩阵特征向量，并以变换和映射观点了解解线性方程组意义，初步展示矩阵应用广泛性。主要内容2/582.1二阶矩阵与平面向量2.2几个常见平面变换2.3变换复合与矩阵乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵简单应用

详细内容3/58

定位

低起点——以初中数学知识为基础；低维度——以二阶矩阵为研究对象；形→数——以(几何图形)变换研究二阶矩阵。

意图

在基本思想上对矩阵、变换等有一个初步了解，对深入学习和工作打下基础。

本专题定位和意图4/58

主要数学思想（1）数学化思想；（2）数学建模；（3）数形结合思想；（4）算法思想。

重点

经过几何图形变换，学习二阶矩阵基本概念、性质和思想。

难点

切变变换，逆变换(矩阵)，特征值与特征向量。本专题重点、难点及主要数学思想5/582.1二阶矩阵与平面向量2.2几个常见平面变换2.3变换复合与矩阵乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵简单应用详细内容解析6/582.1二阶矩阵与平面向量2.在本章中点和向量不加区分.如:1.本专题研究矩阵是二阶矩阵,对高阶矩阵只是要求学生初步了解.二阶矩阵如:两行两列7/582.1二阶矩阵与平面向量3.矩阵概念——从表、网络图、坐标平面上点（向量）、生活实例等引出.即在大量举例基础上引出矩阵概念和表示方法.如:某企业负责从两个矿区向三个城市送煤：从甲矿区向城市A,B,C送煤量分别是200万吨、240万吨、160万吨；从乙矿区向城市A,B,C送煤量分别是400万吨、360万吨、820万吨。

城市A城市B城市C甲矿区

乙矿区8/582.1二阶矩阵与平面向量4.矩阵通惯用大写黑体字母表示.如;矩阵A,行矩阵和列矩阵通惯用希腊字母α、β等表示.5.两个矩阵行数与列数分别相等,而且对应位置元素也分别相等时两矩阵相等.6.二阶矩阵与列向量乘法法则为:9/582.1二阶矩阵与平面向量7.强化学生对二阶矩阵与平面列向量乘法几何意义了解.使他们认识并了解矩阵是向量集合到向量集合映射,为后面学习几个常见几何变换打下基础.表示几何变换为:纵坐标不变,横坐标变为原来2倍.8.二元一次方程组能够表示为系数矩阵10/582.2几个常见平面变换1.恒等变换矩阵(单位矩阵)为E:2.恒等变换是指对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵对应变换,都把自己变为自己.11/582.2几个常见平面变换3.伸压变换矩阵是指将图形作沿x轴方向伸长或压缩,或沿y轴方向伸长或压缩变换矩阵.伸压变换不是简单地把平面上点(向量)“向下”压,而是向x轴或y轴方向压缩.12/582.2几个常见平面变换4.反射变换矩阵是指将平面图形变为关于定直线或定点对称平面图形变换矩阵.13/582.2几个常见平面变换5.普通地,二阶非零矩阵对应变换把直线变成直线.这种把直线变为直线变换叫做线性变换.或点14/582.2几个常见平面变换6.旋转变换矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转θ变换矩阵.其中θ称为旋转角,点O为旋转中心.15/582.2几个常见平面变换16/582.2几个常见平面变换7.投影变换矩阵是指将平面图形投影到某条直线(或某个点)上矩阵,对应变换为投影变换.7.投影变换矩阵是映射,但不是一一映射.17/582.2几个常见平面变换8.切变变换矩阵是指类似于对纸牌实施变换矩阵.18/582.2几个常见平面变换9.切变变换矩阵把平面上点P(x,y)沿x轴方向平移个单位.10.研究平面上多边形或直线在矩阵变换作用后形成图形时,只需考查顶(端)点改变结果即可.19/58旋转矩阵20/5821/582.3变换复合与矩阵乘法1.矩阵乘法法则是:2.矩阵乘法MN几何意义为对向量连续实施两次几何变换(先TN,后TM)复合变换.3.矩阵乘法不满足交换率,这可能是学生第一次碰到乘法不满足交换率情况.此时,我们能够从几何变换角度深入明确乘法普通不满足交换率,在适当初候,有些特殊几何变换(如两次连续旋转变换)满足交换率.22/5823/5824/5825/582.3变换复合与矩阵乘法4.要求学生从几何变换角度了解AB.5.要求学生从几何变换角度了解矩阵乘法不满足销去率.26/5827/5828/582.3变换复合与矩阵乘法6.相关转移矩阵.假设某市天气分为晴和阴两种状态,若今天晴,则明天晴概率为,阴概率为,若今天阴则明天晴概率为,阴概率为,这些概率能够经过观察某市以往几年天天天气改变趋势来确定,通常将用矩阵来表示这种概率叫做转移矩阵概率,对应矩阵为转移矩阵,而将这种以当前状态来预测下一时段不一样状态概率模型叫做马尔可夫链,假如清晨天气预报汇报今天阴概率为,那么明天天气预报会是什么?后天呢?29/582.3变换复合与矩阵乘法30/582.3变换复合与矩阵乘法31/582.3变换复合与矩阵乘法7.转移矩阵每列元素和应该为1,不然做乘法时,轻易出问题.32/582.4逆变换与逆矩阵2．课文从“走过去”、“走回来”生动形象话语中引入了逆矩阵和逆变换．这么安排让学生在轻松气氛中掌握“找到回家路”本质是已知矩阵A，能否找到一个矩阵B，使得连续进行两次变换结果与恒等变换结果相同．也便于学生更加好了解逆矩阵，从而为例1顺利处理打下基础．3．例1设计起着承上启下作用，所举几个例子也是学生熟知，学生能够从几何变换角度借助直观找到答案．所以，例1目标在于帮助学生从几何角度了解逆矩阵意义，并为后续学习积累丰富感性认识．1.对于二阶矩阵A,B,若有AB=BA=E,则称A是可逆,B称为A逆矩阵.33/582.4逆变换与逆矩阵4．既然有些矩阵存在逆矩阵，那么，什么样矩阵存在逆矩阵呢？书本从映射角度给出解释，让抽象问题更贴近学生实际．5．矩阵行列式为,则假如则矩阵存在逆矩阵.6.矩阵是否可逆判断

34/582.4逆变换与逆矩阵7.逆矩阵求解．

8.矩阵逆矩阵为

35/582.4逆变换与逆矩阵9.“先穿袜子后穿鞋”“先脱鞋子后脱袜子”处理了学生可能会出现认知障碍．学生能够借助于此更加好地了解公式（AB）-1=B-1A-1．

10．新教材螺旋上升体系随地可见，书本在本节中就通过证实命题“已知A，B，C为二阶矩阵，且AB=AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B=C．”而既做到前后章节间呼应，又要求学生会用逆矩阵知识解释二阶矩阵乘法何时满足消去率．11.逆矩阵与二元一次方程组亲密相关，用逆矩阵知识了解二元一次方程组求解过程是为了让学生更加好认识二者，了解它们间相互为用、相辅相成.36/582.4逆变换与逆矩阵12.37/582.4逆变换与逆矩阵12.AX=B

X=A-1B13.AXC=B

X=A-1BC-1

14.38/582.4逆变换与逆矩阵15.用二阶矩阵和行列式研究二元一次方程组解情况并不比消元法优越多少.不过,当方程组中未知元很多时,矩阵就变成了研究它一个强有力工具.39/582.5特征值与特征向量1.在本节开始部分，书本安排了两个学生熟知伸压变换，并给出了变换前后图形，其目标在于让学生借助于感性了解在矩阵作用下一些向量“不变性”，从而为学生学习特征值和特征向量打下坚实基础．2.3.将矩阵特征值与特征向量概念转换成矩阵与列向量乘法表示来了解，其目标在于引出矩阵特征多项式．课本没有对特征多项式作展开讨论，其意图是仅仅让学生将之作为一个工具．40/582.5特征值与特征向量4.5.41/582.5特征值与特征向量42/582.5特征值与特征向量6.一个特征值对应着多个特征向量.7.有了特征值和特征向量知识,我们就能够方便地计算屡次变换结果.43/582.5特征值与特征向量44/582.5特征值与特征向量投影变换45/582.6矩阵简单应用1.只要求学生对高阶矩阵有一个感性认识.2.经过本节学习,让学生了解到矩阵起源于实际生活需要.3.书本介绍了矩阵在数学领域内应用,也介绍了它在经济学领域、密码学领域、生物学领域应用.46/582.6矩阵简单应用47/582.6矩阵简单应用48/582.6矩阵简单应用49/582.1二阶矩阵与平面向量2.2几个常见平面变换2.3变换复合与矩阵乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵简单应用

学习总结汇报主要内容50/58教学提议51/581.本专题只对详细二阶方阵加以讨论,而不讨论普通m×n阶矩阵以及(aij)形式矩阵.教学提议2.矩阵引入要从详细实例开始,经过详细实例让学生认识到,一些几何变换能够用矩阵表示,丰富学生对矩阵几何意义了解,并引导学生用映射观点来认识矩阵,解线性方程组.不提倡先讲矩阵,后讲变换.3.要求从图形变换直观地了解矩阵乘法,并经过详细实例让学生了解矩阵乘法运算率.52/584.在新课讲解过程中适当地复习映射和一一映射.教学提议5.应经过大量实例,借助立体几何图形三视图来研究平面图形几何变换,这么会让学生感到生动,单纯平面几何变换比较抽象.6.能够将伸压变换与数学4中三角变换结合起来,表达知识螺旋上升.7.注意伸压变换和伸缩变换异同.53/588.在证实二阶非零矩阵对应变换把直线变为直线(或点)时,学生可能会感到困难,教师能够先复习定比分点相关知识.自一部分内容不要求掌握,只要求学生能够直观地了解线性变换把直线变成直线(或点).教学提议9.切变变换从几何上能够这么了解:保持图形面积大小不变,而点间距离和线间角能够改变,且点沿坐标轴运动变换.这些不要求学生掌握,只要求学生能结合图形,用书上方式直观描述.54/5810.对于矩阵乘法满足结合率,可让学生自己动手验证.教学提议11.行列式知识只限于二阶行列式，它仅仅是作为一个工具来使用，不作为重点，不应展开讨论．12.对二元一次方程组来说，用求逆矩阵方法来解方程组并不简便，这里强调是其思想，无需做大量练习．13.从详细伸压变换引入“不变性”不可缺乏，只有在建立感性认识后才能对学生提出更高要求，不应该从定义上形式地了解特征值和特征向量．55/58教学提议14.书本介绍了特征多项式，只是将它作为求解特征值一个工具使用，不需要展开讨论．不过对怎样得到这个公式要作出解释，即要向学生说明为何有不全为零解时要D=0．15.