数学模型-概论省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

李明远内蒙古财经学院统计与数学学院Email:limycn@163.com第1页引论第2页原型model指为了某个特定目标将原型某一部分信息简缩、提炼而结构原型替换物。Prototype指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理实际对象。在科技领域通常使用系统（system）、过程(process)等词汇。模型与第3页模型物质模型（形象模型）理想模型（抽象模型）直观模型、物理模型…思维模型、符号模型、数学模型…第4页数学模型

“数学模型是关于部分现实世界为一定目标而作抽象、简化数学结构。”更简练地，也能够认为“数学模型是用数学术语对部分现实世界描述。”——本德（E.A.Bender）第5页普通地说，数学模型能够描述为：

对于现实世界地一个特定对象，为了一个特定目标，依据特有内在规律，做出一些必要简化假设，利用适当数学工具，得到一个数学结构。数学模型第6页

甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需要30h，从乙到甲逆水航行需要50h，问船速、水速各是多少？解方程组用x，y分别代表船速和水速，得方程第7页描述性数学模型解释性数学模型按照人们对原型认识过程分为类分第8页人口模型交通模型电气系统模型通信系统模型机电系统模型环境模型传染病模型水资源模型再生资源利用模型污染模型…生态模型按照模型应用领域分为

类分第9页几何模型代数模型图论模型规划论模型微分方程模型最优控制模型信息模型随机模型决议与对策模型模拟模型…按照建立模型数学方法分为

类分第10页静态模型和动态模型……确定性模型和随机模型离散模型和连续性模型线性模型和非线性模型按照模型特征分为

类分第11页白箱模型灰箱模型黑箱模型按照对模型结构了解程度分为

类分第12页作用预报与决议：

生产过程中产品质量指标预报、气象预报、人口预报、经济增加预报等等，都要有预报模型；使经济效益最大价格策略、使费用最少设备维修方案，都是决议模型例子。控制与优化

电力、化工生产过程最优控制、零件设计中参数优化，要以数学模型为前提。建立大系统控制与优化数学模型，是迫切需要和十分棘手课题。

分析与设计

比如描述药品浓度在人体内改变规律以分析药品疗效；建立跨音速流和激波数学模型，用数值模拟设计新飞机翼型。规划与管理

生产计划、资源配置、运输网络规划、水库优化调度，以及排队策略、物资管理等，都能够用数学规划模型处理。第13页局限技艺条理非预制可转移强健渐近折衷逼真性和可行性

建模时往往需要在模型逼真性和可行性，“费用”与“效益”之间作出折衷和选择。数学模型特点第14页折衷局限技艺条理非预制可转移强健渐近渐近性稍微复杂一些实际问题建模通常不可能一次成功，要经过建模过程重复迭代，包含由简到繁，也包含删繁就简，以取得越来越满意模型。数学模型特点第15页渐近折衷局限技艺条理非预制可转移强健健壮性

一个好模型应该含有下述意义健壮性：当模型假设改变时，能够导出模型结构对应改变；当观察数据有微小改变时，模型参数也只有对应微小改变。数学模型特点第16页强健渐近折衷局限技艺条理非预制可转移可转移性

一个模型时现实对象抽象化、理想化产物，它不为对象所属领域所独有，能够转移到另外领域。在生态、经济、社会等领域内建模就经常借用物理领域中模型。数学模型特点第17页可转移强健渐近折衷局限技艺条理非预制非预制性

模型非预制性使得建模本身经常是事先没有答案问题（Open-end-problem）。在建立新模型过程中甚至会伴伴随新数学方法或者概念产生。

数学模型特点第18页非预制可转移强健渐近折衷局限技艺条理条理性

从建模角度考虑问题能够促使人们对现实对象分析更全方面、更深入、更含有条理性。数学模型特点第19页条理非预制可转移强健渐近折衷局限技艺技艺性

从建模方法无法归纳出若干条普遍适用建模准则和技巧。经验、想象力、洞察力、判断力以及直觉、灵感等在建模过程中起作用往往比一些详细数学知识更大。数学模型特点第20页技艺条理非预制可转移强健渐近折衷局限不足

1.当结论应用于实际问题，就回到现实世界，那些被忽略、简化原因必须考虑，所以结论通用性和准确性只是相正确和近似。2.因为人们认识能力和科学技术发展水平限制，还有不少实际问题极难得到有实用价值数学模型。3.还有些领域中问题今天还未发展到用建模方法寻求数量规律阶段，如中医诊疗过程。数学模型特点第21页开设目标对数学教育而言，既应该让学生掌握准确快捷计算方法和严密逻辑推理，也需要培养学生用数学工具分析处理实际问题意识和能力。传统数学教学体系和内容偏重于前者，开设数学建模课程则是加强后者一个尝试。

第22页商人过河

建模示例之

三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳两人，由他们自己划船。随从们密约，在河任何一岸，一旦随从人数比商人多，就杀人越货。不过怎样乘船渡河大权掌握在商人们手中。商人们怎么样才能安全渡河呢?第23页分析：

安全渡河问题能够视为一个多步决议过程。每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上人员（商人、随从各几人）作出决议，在确保安全前提下（两岸随从数都不比商人数多），在有限步内使全部人员过河。用状态（变量）表示某一岸人员情况，决议（变量）表示船上人员情况，能够找出状态随决议改变规律。问题转化为在状态允许改变范围内（即安全渡河条件），确定每一步决议，到达渡河目标。第24页模型组成

记第次渡河前此岸商人数，随从数为.将二维向量定义为状态。安全渡河条件下状态集合成为允许状态集合，记做.

第25页模型组成

记第次渡河渡船上商人数，随从数为.将二维向量定义为决议。允许状态集合，记做.由小船容量可知

因为为奇数时船从此岸驶向彼岸，为偶数时船由彼岸驶回此岸，所以状态随决议改变规律是，称之为状态转移律。第26页这么制订安全渡河方案归结为以下多步决议模型：

求决议，使状态 按照转移律，由初始状态经有限步抵达状态。模型组成

第27页O123xy321模型求解

在商人和随从人数不大简单情况，用图解法比较简便。第28页

这里讲述是一个规格化方法，所建立多步决议模型能够用计算机求解，从而含有推广意义。譬如，当商人和随从人数增加或小船容量加大时，靠逻辑思索就困难了，而用这种模型则仍可方便求解。适当地设置状态和决议，确定状态转移律，建立多步决议模型，是有效地处理很广泛一类问题方法。评注第29页差分方程建模百分比性、几何相同性模型拟合试验建模模拟方法建模量纲分析和相同性离散模型优化图