【解析】2023-2024学年初中数学八年级上册 26.1 锐角三角函数 同步分层训练基础卷(冀教版)

第第页【解析】2023-2024学年初中数学八年级上册26.1锐角三角函数同步分层训练基础卷(冀教版)2023-2024学年初中数学八年级上册26.1锐角三角函数同步分层训练基础卷(冀教版)

一、选择题

1．（2023九上·宁波期末）如图，在中，，，，则的值为（）

A．B．C．D．

2．（2022九上·晋江期末）如图，在正方形网格中，已知的三个顶点均在格点上，则的正切值为（）

A．2B．C．D．

3．（2022九上·凤阳月考）如图，在Rt中，，，，则sinA的值为（）

A．B．C．D．

4．（2022九上·黄浦期中）在中，，那么下列各式中正确的是（）

A．B．C．D．

5．（2022九上·龙口期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AB＝10，则AC的长为（）

A．3B．4C．6D．8

6．（2023九上·长兴期末）如图1是第七届国际数学教育大会()的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形.如果已知，，则的值是（）

A．B．C．D．

7．（2022九上·温州开学考）由四个正方形相框拼成的照片墙如图1所示，图2是其平面几何图，其中正方形ABCD，正方形DEFG，正方形BIJK的面积分别为4分米2，4分米2，16分米2，则正方形AGHI的面积为（）

A．5分米2B．6分米2C．6.25分米2D．8分米2

8．（2023九上·新邵期末）如图，A、D、B在同一条直线上，电线杆的高度为h，两根拉线与相互垂直，，则拉线的长度为（）

A．B．C．D．

二、填空题

9．（2023九上·武功期末）如图，AB与CD相交于点O，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，若AC=10，OC=15，则的值为．

10．（2022九上·济南期末）如图，Rt△ABC中，，AC＝5，BC＝12，则cosA的值为．

11．（2023九上·邳州期末）如图，已知大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，那么.

12．（2023九上·徐州期末）如图，在中，已知是BC边上的高，，，则的值为.

13．（2023九上·吴兴期末）将一组完全一样的宽，高的多米诺骨牌按图1所示垂直放置在地面上，推动至其全部倒下，最后三块骨牌的位置如图2所示.其中①号骨牌水平倒在地面上，已知②号骨牌与地面夹角的正切值为.

（1）求的长为cm.

（2）若③号骨牌与地面的夹角的正切值为，则的长为cm.

三、解答题

14．（2023九上·嵊州期末）为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如下表：

方案设计方案1方案2

裁剪方案示意图

说明图中的正方形和正方形四个顶点都在原四边形的边上

测量数据，，，；

任务1：探寻边角填空：▲，▲；

任务2：比较面积计算或推理：正方形和正方形边长之比；

任务3：应用实践若在余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为▲.

四、作图题

15．（2023九上·徐州期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，.

（1）在y轴左侧，以O为位似中心，画出，使它与的相似比为；

（2）根据（1）的作图，.

五、综合题

16．（2023九上·长兴期末）在和中，点在同一直线上，.

（1）如图1，如果，求证：；

（2）如果，，.

如图2，当时，求的长；

如图3，点是延长线上一点，且，连结，如果，求的值.

17．（2023九上·武义期末）如图1，在菱形中，，，点E从点A出发以每秒1个单位长度沿运动到点B，然后以同样速度沿运动到点C停止.设当点E的运动时间为x秒时，长为y.下面是小聪的探究过程，请补充完整.

（1）根据三角函数值小聪想到连接交于点O（如图2），请同学们帮忙求的长.

（2）小聪学习了函数知识后，运用函数的研究经验，对y与x的变化规律进行了下列探究，根据点E在上运动到不同位置进行画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值，并画出了函数图象（如图3）：

x012345

y54.824.845.065.466

请同学们继续探究点E在上的运动情况，在同一坐标系中补全图象，并写出这个函数的两条性质.

（3）结合图象探究发现时，x有四个不同的值.求y取何值时，x有且仅有两个不同的值.

答案解析部分

1．【答案】B

【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：根据勾股定理可得，

则，

故答案为：B.

【分析】首先利用勾股定理算出BC的长，进而根据余弦函数的定义即可求出cosB的值.

2．【答案】D

【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：延长CB交网格于D，连接AD，如图所示：

则，

，，

的正切值；

故答案为：D.

【分析】延长CB交网格于D，连接AD，利用方格纸的特点易得∠ADC=90°，根据勾股定理算出AD、CD的长，进而根据正切函数的定义即可算出∠ACB的正切值.

3．【答案】D

【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：∵，，，

∴，

∴；

故答案为：D．

【分析】由勾股定理求出AB的长，根据即可求值.

4．【答案】A

【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：中，∵，

∴，

∴，，

，．

故答案为：A．

【分析】先根据勾股定理求出AC的长，然后根据锐角三角函数的定义分别判断即可.

5．【答案】C

【知识点】锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：由题意，画出图形如下：

，

，

解得，

故答案为：C．

【分析】由即可求出AC的长.

6．【答案】C

【知识点】锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：在中，，，

∴，

在中，，

故答案为：C.

【分析】根据∠ADB的正弦函数表示出BD，然后根据正切函数的概念进行解答.

7．【答案】B

【知识点】勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：作DM⊥AG于点M，作IN⊥BA交BA的延长线于点N，

∵正方形ABCD，正方形DEFG，正方形BIJK的面积分别为4平方分米，4平方分米，16平方分米，

∴AD＝2，DG＝2，BI＝4，∠IAG＝∠BAD＝90°，

∴∠IAB+∠MAD＝180°，

又∵∠IAB+∠IAN＝180°，

∴∠IAN＝∠MAD，

设AG＝2x，

∵DA＝DG＝2，DM⊥AG，

∴cos∠MAD＝＝，

∵cos∠IAN＝＝，

∴＝，

∴AN＝x2，

∴NI2＝AI2﹣AN2＝（2x）2﹣（x2）2＝4x2﹣x4，

∵BI＝4，BN＝BA+AN＝2+x2，∠BNI＝90°，

∴42＝（2+x2）2+4x2﹣x4，

解得，x2＝，

∴正方形AGHI的面积为：（2x）2＝4x2＝4×＝6.

故答案为：B.

【分析】作DM⊥AG于点M，作IN⊥BA交BA的延长线于点N，根据正方形的性质可得AD＝2，DG＝2，BI＝4，∠IAG＝∠BAD＝90°，由同角的补角相等可得∠IAN＝∠MAD，设AG＝2x，利用三角函数的概念可得cos∠MAD、cos∠IAN，据此可得AN，表示出NI2，利用勾股定理可得x2，据此不难求出正方形AGHI的面积.

8．【答案】A

【知识点】锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：，，

，

在中，，

，

故答案为：A.

【分析】由同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，在Rt△BCD中，由余弦函数的定义，由即可得出答案.

9．【答案】

【知识点】锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：∵AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，

∴AC∥BD，

∴∠B=∠A，

∴tanB=tanA=.

故答案为：.

【分析】根据同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得AC∥BD，根据二直线平行，内错角相等得∠B=∠A，进而根据等角的同名三角函数值相等即可得出答案.

10．【答案】

【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】根据勾股定理可求出，

∴．

故答案为：．

【分析】由勾股定理可求AB的长，再根据余弦函数的定义求解即可.

11．【答案】

【知识点】勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，

∴大正方形的边长是5，小正方形的边长是1，

设三角形的长直角边为a，短直角边为b，

由题意得：，，

解得：，，（负根舍去）

∴，

故答案为：.

【分析】根据正方形的性质可得：大正方形的边长是5，小正方形的边长是1，设DF=a，AF=b，由题意得a-b=1，a2+b2=25，求出a、b的值，然后根据三角函数的概念进行计算.

12．【答案】

【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：∵在中，是边上的高，

∴，

∴.

∵，

∴，

∵，

∴，

解得，，

∴，

故答案为：.

【分析】根据高线的概念可得∠ADB=∠ADC=90°，根据tanB=cos∠DAC结合三角函数的概念可得AD的值，然后利用勾股定理进行计算.

13．【答案】（1）2

（2）

【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：（1）由题意得：在中，

，，

∵，

∴

故答案为：2

（2）设③号骨牌落在②号骨牌上的点，过作地面的垂线段，延长交地面于点，如图所示：

则，，，，，

若③号骨牌与地面的夹角的正切值为，则

在中，

，

设，则，根据勾股定理，得

，

∴，

解得：，

∴，，

中，

，

∴，

在中，

，

∴，

∴，

故答案为：.

【分析】（1）由题意得：在Rt△DE′F中，∠DFE′=90°，E′F=1，然后根据三角函数的概念进行计算；

（2）设③号骨牌落在②号骨牌上的M点，过M作地面的垂线段MN，延长MC′交地面于点P，则∠BNM=90°，∠DC′P=90°，BM=5，∠MPN=α，C′D=1，设MN=k，BN=3k，由勾股定理可得k的值，据此可得MN、BN，根据三角函数的概念可得PN、PC′，利用勾股定理求出PD，然后根据BD=BP+PD进行计算.

14．【答案】解：任务1：15；；比较面积，

设与相交于点I，正方形的边长为a，

∵，

∴，，

在中，，，，

∴，

解得；

设正方形边长为b，

∴，

在中，，则，

在中，，则，

∴，

解得，

正方形和正方形边长之比为；

任务3：

【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：任务1：探寻边角，

作于H，

∵，，

∴四边形是矩形，

∴，，，

∴，

，

故答案为：15，；

任务3：应用实践，

如图，在余料上再截取一个正方形，设正方形的边长为m，

∵，

∴，

在中，，

∴，

解得，即正方形的边长为；

如图，在余料上再截取一个正方形，设正方形的边长为n，

同理

在中，，则，

在中，，则，

∴，

解得，即正方形的边长为；

∵，

∴在余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为.

故答案为：.

【分析】任务1：作CH⊥AB于H，则四边形ADCH是矩形，CH=AD=9dm，AH=CD=2dm，BH=AB-AH=12dm，利用勾股定理可得BC，然后根据三角函数的概念进行解答；

任务二：设GF与CH相交于点I，正方形AEFG的边长为a，则tanB=，cosB=，根据∠CFI=∠B结合三角函数的概念可求出a的值；设正方形MNPQ边长为b，则∠B=∠MNA，根据三角函数的概念可得BN、AN，然后根据BN+AN=AB=14可求出b的值，据此解答；

任务3：在△BEF余料上再截取一个正方形EKJL，设正方形EKJL的边长为m，则BE=8dm，BK=8-m，根据∠B正切函数的概念可得m的值，据此可得正方形EKJL的边长；在△BEF余料上再截取一个正方形RSTU，设正方形RSTU的边长为n，同理可得n的值，据此解答.

15．【答案】（1）解：在y轴左侧，以O为位似中心，相似比为，

∴如图所示，

∴即为所求图形.

（2）

【知识点】勾股定理；作图﹣位似变换；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：（2）如图所示，过点B作于D，

∵，，，

∴，点A到的距离（高）是，

∴，且，

∴，即，

在中，，

∴，

∵是的相似图形，

∴，

∴，

故答案为：.

【分析】（1）连接AO、BO、CO并延长，使AO=2A1O，BO=2B1O，CO=2C1O，然后顺次连接即可；

（2）过点B作BD⊥AC于D，求出BC、AC、AB的值，根据等面积法可求出BD的值，由勾股定理可得AD，根据相似图形的性质可得∠B1A1C1=∠A，然后根据三角函数的概念进行计算.

16．【答案】（1）证明：，，

，

，

，

（2）解：如图，过点作交于，

，，

，

由（1）同理可得：，

，

，，

，

，，

，

；

如图所示，过点作交于，

，，

，

由（1）同理可得：，

，

，，

，

点是延长线上一点，，

，

，

，

，

，

，

，

，

在中，.

【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义

【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠CAB=∠CBE=∠EDB=90°，由同角的余角相等可得∠C=∠DBE，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；

（2）①过点E作EF⊥AD交AD于F，由（1）同理可得△CAB∽△BFE，根据相似三角形的性质可得BF的值，然后根据AB=AD-BF-DF进行计算；

②过点E作EF⊥AD交AD于F，由（1）同理可得△CAB∽△BHE，根据相似三角形的性质求出BH、EH的值，证明△GAB∽△DHE，由相似三角形的性质求出DH的值，然后根据AB=AD-BH-DH求出AB的值，再根据三角函数的概念进行解答.

17．【答案】（1）解：∵四边形菱形，

∴，即，

在中，，，

∴，

∴；

（2）解：∵四边形菱形，

∴，

∴点E在上的运动情况，与点E在上的运动情况对称，

在同一坐标系中补全图象如图，

这个函数的两条性质：

2这个函数关于直线对称；

②这个函数的最大值为6；

（3）解：观察图象，当时，x有且仅有两个不同的值；

当y取最小值时，x也有且仅有两个不同的值，此时，或，

在中，，，

∴，

∴；

综上，当或时，x有且仅有两个不同的值

【知识点】勾股定理；菱形的性质；锐角三角函数的定义

【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得∠AOB=90°，根据三角函数的概念可求出OB的值，然后根据BD=2OB可得BD的值；

（2）易证△ABD≌△CBD，则点E在BC上的运动情况，与点E在AB上的运动情况对称，据此可补全图象，然后根据最值、对称性写出两条性质即可；

（3）观察图象：当5<y<6时，x有且仅有两个不同的值，当y取最小值时，x也有且仅有两个不同的值，此时DE⊥AB或DE⊥BC，根据三角函数的概念可得BD，利用勾股定理可得DE的值，据此解答.

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一、选择题

1．（2023九上·宁波期末）如图，在中，，，，则的值为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：根据勾股定理可得，

则，

故答案为：B.

【分析】首先利用勾股定理算出BC的长，进而根据余弦函数的定义即可求出cosB的值.

2．（2022九上·晋江期末）如图，在正方形网格中，已知的三个顶点均在格点上，则的正切值为（）

A．2B．C．D．

【答案】D

【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：延长CB交网格于D，连接AD，如图所示：

则，

，，

的正切值；

故答案为：D.

【分析】延长CB交网格于D，连接AD，利用方格纸的特点易得∠ADC=90°，根据勾股定理算出AD、CD的长，进而根据正切函数的定义即可算出∠ACB的正切值.

3．（2022九上·凤阳月考）如图，在Rt中，，，，则sinA的值为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：∵，，，

∴，

∴；

故答案为：D．

【分析】由勾股定理求出AB的长，根据即可求值.

4．（2022九上·黄浦期中）在中，，那么下列各式中正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：中，∵，

∴，

∴，，

，．

故答案为：A．

【分析】先根据勾股定理求出AC的长，然后根据锐角三角函数的定义分别判断即可.

5．（2022九上·龙口期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AB＝10，则AC的长为（）

A．3B．4C．6D．8

【答案】C

【知识点】锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：由题意，画出图形如下：

，

，

解得，

故答案为：C．

【分析】由即可求出AC的长.

6．（2023九上·长兴期末）如图1是第七届国际数学教育大会()的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形.如果已知，，则的值是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：在中，，，

∴，

在中，，

故答案为：C.

【分析】根据∠ADB的正弦函数表示出BD，然后根据正切函数的概念进行解答.

7．（2022九上·温州开学考）由四个正方形相框拼成的照片墙如图1所示，图2是其平面几何图，其中正方形ABCD，正方形DEFG，正方形BIJK的面积分别为4分米2，4分米2，16分米2，则正方形AGHI的面积为（）

A．5分米2B．6分米2C．6.25分米2D．8分米2

【答案】B

【知识点】勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：作DM⊥AG于点M，作IN⊥BA交BA的延长线于点N，

∵正方形ABCD，正方形DEFG，正方形BIJK的面积分别为4平方分米，4平方分米，16平方分米，

∴AD＝2，DG＝2，BI＝4，∠IAG＝∠BAD＝90°，

∴∠IAB+∠MAD＝180°，

又∵∠IAB+∠IAN＝180°，

∴∠IAN＝∠MAD，

设AG＝2x，

∵DA＝DG＝2，DM⊥AG，

∴cos∠MAD＝＝，

∵cos∠IAN＝＝，

∴＝，

∴AN＝x2，

∴NI2＝AI2﹣AN2＝（2x）2﹣（x2）2＝4x2﹣x4，

∵BI＝4，BN＝BA+AN＝2+x2，∠BNI＝90°，

∴42＝（2+x2）2+4x2﹣x4，

解得，x2＝，

∴正方形AGHI的面积为：（2x）2＝4x2＝4×＝6.

故答案为：B.

【分析】作DM⊥AG于点M，作IN⊥BA交BA的延长线于点N，根据正方形的性质可得AD＝2，DG＝2，BI＝4，∠IAG＝∠BAD＝90°，由同角的补角相等可得∠IAN＝∠MAD，设AG＝2x，利用三角函数的概念可得cos∠MAD、cos∠IAN，据此可得AN，表示出NI2，利用勾股定理可得x2，据此不难求出正方形AGHI的面积.

8．（2023九上·新邵期末）如图，A、D、B在同一条直线上，电线杆的高度为h，两根拉线与相互垂直，，则拉线的长度为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：，，

，

在中，，

，

故答案为：A.

【分析】由同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，在Rt△BCD中，由余弦函数的定义，由即可得出答案.

二、填空题

9．（2023九上·武功期末）如图，AB与CD相交于点O，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，若AC=10，OC=15，则的值为．

【答案】

【知识点】锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：∵AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，

∴AC∥BD，

∴∠B=∠A，

∴tanB=tanA=.

故答案为：.

【分析】根据同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得AC∥BD，根据二直线平行，内错角相等得∠B=∠A，进而根据等角的同名三角函数值相等即可得出答案.

10．（2022九上·济南期末）如图，Rt△ABC中，，AC＝5，BC＝12，则cosA的值为．

【答案】

【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】根据勾股定理可求出，

∴．

故答案为：．

【分析】由勾股定理可求AB的长，再根据余弦函数的定义求解即可.

11．（2023九上·邳州期末）如图，已知大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，那么.

【答案】

【知识点】勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，

∴大正方形的边长是5，小正方形的边长是1，

设三角形的长直角边为a，短直角边为b，

由题意得：，，

解得：，，（负根舍去）

∴，

故答案为：.

【分析】根据正方形的性质可得：大正方形的边长是5，小正方形的边长是1，设DF=a，AF=b，由题意得a-b=1，a2+b2=25，求出a、b的值，然后根据三角函数的概念进行计算.

12．（2023九上·徐州期末）如图，在中，已知是BC边上的高，，，则的值为.

【答案】

【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：∵在中，是边上的高，

∴，

∴.

∵，

∴，

∵，

∴，

解得，，

∴，

故答案为：.

【分析】根据高线的概念可得∠ADB=∠ADC=90°，根据tanB=cos∠DAC结合三角函数的概念可得AD的值，然后利用勾股定理进行计算.

13．（2023九上·吴兴期末）将一组完全一样的宽，高的多米诺骨牌按图1所示垂直放置在地面上，推动至其全部倒下，最后三块骨牌的位置如图2所示.其中①号骨牌水平倒在地面上，已知②号骨牌与地面夹角的正切值为.

（1）求的长为cm.

（2）若③号骨牌与地面的夹角的正切值为，则的长为cm.

【答案】（1）2

（2）

【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：（1）由题意得：在中，

，，

∵，

∴

故答案为：2

（2）设③号骨牌落在②号骨牌上的点，过作地面的垂线段，延长交地面于点，如图所示：

则，，，，，

若③号骨牌与地面的夹角的正切值为，则

在中，

，

设，则，根据勾股定理，得

，

∴，

解得：，

∴，，

中，

，

∴，

在中，

，

∴，

∴，

故答案为：.

【分析】（1）由题意得：在Rt△DE′F中，∠DFE′=90°，E′F=1，然后根据三角函数的概念进行计算；

（2）设③号骨牌落在②号骨牌上的M点，过M作地面的垂线段MN，延长MC′交地面于点P，则∠BNM=90°，∠DC′P=90°，BM=5，∠MPN=α，C′D=1，设MN=k，BN=3k，由勾股定理可得k的值，据此可得MN、BN，根据三角函数的概念可得PN、PC′，利用勾股定理求出PD，然后根据BD=BP+PD进行计算.

三、解答题

14．（2023九上·嵊州期末）为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如下表：

方案设计方案1方案2

裁剪方案示意图

说明图中的正方形和正方形四个顶点都在原四边形的边上

测量数据，，，；

任务1：探寻边角填空：▲，▲；

任务2：比较面积计算或推理：正方形和正方形边长之比；

任务3：应用实践若在余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为▲.

【答案】解：任务1：15；；比较面积，

设与相交于点I，正方形的边长为a，

∵，

∴，，

在中，，，，

∴，

解得；

设正方形边长为b，

∴，

在中，，则，

在中，，则，

∴，

解得，

正方形和正方形边长之比为；

任务3：

【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：任务1：探寻边角，

作于H，

∵，，

∴四边形是矩形，

∴，，，

∴，

，

故答案为：15，；

任务3：应用实践，

如图，在余料上再截取一个正方形，设正方形的边长为m，

∵，

∴，

在中，，

∴，

解得，即正方形的边长为；

如图，在余料上再截取一个正方形，设正方形的边长为n，

同理

在中，，则，

在中，，则，

∴，

解得，即正方形的边长为；

∵，

∴在余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为.

故答案为：.

【分析】任务1：作CH⊥AB于H，则四边形ADCH是矩形，CH=AD=9dm，AH=CD=2dm，BH=AB-AH=12dm，利用勾股定理可得BC，然后根据三角函数的概念进行解答；

任务二：设GF与CH相交于点I，正方形AEFG的边长为a，则tanB=，cosB=，根据∠CFI=∠B结合三角函数的概念可求出a的值；设正方形MNPQ边长为b，则∠B=∠MNA，根据三角函数的概念可得BN、AN，然后根据BN+AN=AB=14可求出b的值，据此解答；

任务3：在△BEF余料上再截取一个正方形EKJL，设正方形EKJL的边长为m，则BE=8dm，BK=8-m，根据∠B正切函数的概念可得m的值，据此可得正方形EKJL的边长；在△BEF余料上再截取一个正方形RSTU，设正方形RSTU的边长为n，同理可得n的值，据此解答.

四、作图题

15．（2023九上·徐州期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，.

（1）在y轴左侧，以O为位似中心，画出，使它与的相似比为；

（2）根据（1）的作图，.

【答案】（1）解：在y轴左侧，以O为位似中心，相似比为，

∴如图所示，

∴即为所求图形.

（2）

【知识点】勾股定理；作图﹣位似变换；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：（2）如图所示，过点B作于D，

∵，，，

∴，点A到的距离（高）是，

∴，且，

∴，即，

在中，，

∴，

∵是的相似图形，

∴，

∴，

故答案为：.

【分析】（1）连接AO、BO、CO并延长，使AO=2A1O，BO=2B1O，CO=2C1O，然后顺次连接即可；

（2）过点B作BD⊥AC于D，求出BC、AC、AB的值，根据等面积法可求出BD的值，由勾股定理可得AD，根据相似图形的性质可得∠B1A1C1=∠A，然后根据三角函数的概念进行计算.

五、综合题

16．（2023九上·长兴期末）在和中，点在同一直线上，.

（1）如图1，如果，求证：；

（2）如果，，.

如图2，当时，求的长；

如图3，点是延长线上一点，且，连结，如果，求的值.

【答案】（1）证明：，，

，

，

，

（2）解：如图，过点作交于，

，，

，