人教A版（2023）必修第一册《5.4.3 正切函数的性质与图像》提升训练(含解析)

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一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）函数的定义域是

A.B.

C.D.

2.（5分）已知函数，则下列说法错误的是

A.函数的周期为

B.函数的值域为

C.点是函数的图象的一个对称中心

D.

3.（5分）如果三个函数的图像交于一点，我们把这个点称“三体点”，若点是三个函数为常数，，的“三体点”，其中，则的值

A.B.C.D.

4.（5分）下列关于函数的说法正确的是

A.图象关于点成中心对称B.值域为一，

C.图象关于直线成轴对称D.在区间上单调递增

5.（5分）函数的图象的对称中心不可能是

A.B.

C.D.

6.（5分）函数的定义域是

A.B.

C.D.

7.（5分）与函数的图象不相交的一条直线是

A.B.C.D.

8.（5分）已知函数的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的值是

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）已知函数，对任意，给出下列结论，正确的是

A.

B.

C.

D.

E.

10.（5分）［2023海南华侨中学开学测试］在下列函数中，最小正周期为π的是()

A.B.

C.D.

11.（5分）下列函数中，在区间上为增函数的是

A.B.

C.D.

12.（5分）出生在美索不达米亚的天文学家阿尔巴塔尼大约公元左右给出了一个关于垂直高度为的日晷及其投影长度的公式：，即等价于现在的，我们称为余切函数，则下列关于余切函数的说法中正确的是

A.函数的最小正周期为

B.函数关于对称

C.函数在区间上单调递减

D.函数的图象与函数的图象关于直线对称

13.（5分）对于函数，如下结论中，正确的是

A.最小正周期是

B.

C.在上是增函数

D.它的一个对称中心为

三、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）函数的定义域是______.

15.（5分）当时，使成立的的取值范围为______．

16.（5分）函数的对称中心是______．

17.（5分）函数图像的对称中心是______________________.

18.（5分）已知f（x）=asin2x+btanx+1，且f（-2）=4，那么f（π+2）=____________．

四、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）求函数的定义域、周期和单调增区间．

20.（12分）已知，，求的最值及相应的值.

21.（12分）已知，求函数的最大值和最小值，并求出相应的值．

22.（12分）求函数的定义域、周期和单调区间．

23.（12分）已知，求函数的最大值和最小值，并求出相应的值.

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】，所以函数的定义域为，故选

2.【答案】D;

【解析】解：对于函数，其最小正周期为，A正确；

是正切型函数，值域是，B正确；

当时，，函数关于点对称，C正确；

，

，

，D错误．

故选：．

根据正切型函数的图象与性质，对选项中的命题进行判断即可．

该题考查了正切型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．

3.【答案】B;

【解析】解：联立，可得，故有，

，，

，负值舍，

所以，故，

故选：

联立，求得的值，可得的值，从而求得的值．

此题主要考查正切函数的图象和性质，以及新定义的应用，属于基础题目．

4.【答案】A;

【解析】解：关于函数，令，可得的值不存在，故图象关于点成中心对称，故A正确；

它的值域为，故B错误；

当时，可得可得的值不存在，故图象不关于直线成轴对称，故C错误；

在区间上，，函数没有单调性，故D错误，

故选：．

由题意利用正切函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

这道题主要考查正切函数的图象和性质，属于中档题．

5.【答案】C;

【解析】

该题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．

根据正切函数图象的对称中心是，，求出函数图象的对称中心，从而得出、、选项是函数图象的对称中心．

解：因为正切函数图象的对称中心是，；

令，解得，；

所以函数的图象的对称中心为，；

令时，得，

令时，得，

令时，得；

所以、、选项是函数图象的对称中心．

故选C．

6.【答案】A;

【解析】

此题主要考查了求正切函数定义域的问题，令，解出即可得到结果，熟练掌握相关知识点和方法是解决此类问题的关键.

解：令，

解得：，

故函数的定义域为，

故选

7.【答案】D;

【解析】此题主要考查正切函数的图象与性质，属于基础题.

利用，依次代入进行验证即可.

解：当时，

当时，

当时，

当时，，不存在

8.【答案】B;

【解析】

此题主要考查三角函数的周期，属于基础题.

由题意得周期，求出，求

解：因为函数的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，

所以周期，，

所以

故选

9.【答案】ADE;

【解析】解：函数，对任意，

，故正确；

，故错误；

，故错误；

在区间上，的值随的增大而增大，故正确；

由于函数的图象是下凹型的，，故正确，

故选：

由题意利用正切函数的图象和性质，得出结论．

此题主要考查正切函数的图象和性质，属于中档题．

10.【答案】ABC;

【解析】对于A，因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为π，A符合题意；对于B，因为为偶函数，所以，所以，B符合题意；对于C，函数的最小正周期为，C符合题意；对于D，函数的最小正周期为，D不符合题意．故选ABC．

11.【答案】ABD;

【解析】解：结合指数函数与对数函数的性质可知，，符合题意；

当时，在区间上单调递减，不符合题意，错误；

根据正切函数的性质可知在上单调递增且，

所以在区间上为增函数，符合题意．

故选：

结合基本初等函数的单调性分别检验各选项即可判断．

此题主要考查了基本初等函数的单调性的应用，属于基础题．

12.【答案】BC;

【解析】

此题主要考查了函数的周期，单调性，对称性，意在考查学生的对于函数知识的综合应用，属于一般题型.

根据题意把函数化为，作出函数图象，根据图像逐项分析，即可求解.解：余切函数，其图象如下图所示，

对于，函数的最小正周期为，不是，即错误；

对于，关于对称，即正确；

对于，在上单调递减，即正确；

对于，因为，

所以与的图象并不关于对称，即错误．

故选

13.【答案】BCD;

【解析】

此题主要考查正切函数的图象和性质，属于中档题.

根据正切函数的图象和性质即可得解.

解：因为，所以，故错误；

，故正确；

因为则，

因为在上是增函数，

所以在上是增函数，故正确；

，因为为的一个对称中心，

所以的一个对称中心为，故正确.

故选

14.【答案】{x|x};

【解析】解：由，得，

函数的定义域是

故答案为：

直接由的终边不在轴上列式求得的范围得答案．

此题主要考查正切函数的定义域的求法，是基础题．

15.【答案】（，）;

【解析】解：由正切函数的图象知，当时，

若，

则，

即实数的取值范围是，

故答案为：

根据正切函数的图象，进行求解即可．

这道题主要考查正切函数的应用，利用正切函数的性质结合函数的单调性是解决本题的关键．

16.【答案】（k+，0）．（k是整数）;

【解析】解：，因此正切函数是奇函数，因而原点是它的对称中心．

又因为正切函数的周期是，所以点都是它的对称中心．

平移坐标系，使原点移到得到，依旧是奇函数，

所以在新坐标系中点也是对称中心，返回原坐标系，这些点的原坐标是

综合到一起就得到对称中心是是整数

故答案为：是整数

先根据正切函数是奇函数，因而原点是它的对称中心，以及周期性可知点都是它的对称中心，然后平移坐标系，使原点移到得到，依旧是奇函数，点也是对称中心，综合到一起就得到对称中心是是整数

这道题主要考查了正切函数的奇偶性与对称性，属于基础题．

17.【答案】;

【解析】

此题主要考查正切函数的图象和性质，根据正切函数的性质即可求解.

解：令，解得，

所以对称中心为，

故答案为

18.【答案】-2;

【解析】解：f（-2）=asin（-4）+btan（-2）+1=4；

f（x）的最小正周期为π，故f（π+2）=f（2）=asin4+btan2+1=-3+1=-2

故答案为：-2．

19.【答案】解：由，解得，．

定义域．

周期函数，周期．

由，解得，，

函数的单调递增区间为：，．;

【解析】利用正切函数的定义域，求出函数的定义域，通过正切函数的周期公式求出周期，结合正切函数的单调增区间求出函数的单调增区间．

本题是基础题，考查正切函数的基本知识，单调性、周期性、定义域，考查计算能力．

20.【答案】解：因为，

所以，

，

当即时，有最小值，

当即时，有最大值;

【解析】

此题主要考查了正切函数的图象以及性质，由的取值范围得出的取值范围，借助二次函数的性质求出的最值及对应的值.

21.【答案】解：令，，

，，

，，

在区间上单调递减，在区间上单调递增，

当，即时，

也即时，，

当，即时，也即时，

;

【解析】此题主要考查三角函数的最值，考查可化为二次函数的最值，注意对称轴和区间的关系，属于中档题.

令，由正切函数的单调性，可得的范围，再由二次函数在闭区间上的最值求法，运用二次函数的单调性，即可得到结论.

22.【答案】解：函数y=-tan（x-），

∴f（x）的周期为：；…（2分）

要使函数解析式有意义，必须

，…（4分）

即，

解得；

∴f（x）的定义域为：；…（6分）

函数值y随着x的增加而减小，函数f（x）只有减区间无增区间，

令；…（8分）

得，

得：，

∴