第一章行列式习题课课件

第一章行列式习题课第一章行列式习题课1一、要点复习二、典型例题介绍第一章行列式一、要点复习二、典型例题介绍第一章行列式2一、要点复习行列式定义性质特殊形式常用计算方法克莱姆法则定理推论一、要点复习行列式定义性质特殊形式常用计算方法克莱姆法则定理31.排列与逆序数定义：由1,2，…，n组成的一个有序数组称为一个n阶排列。定义：一个排列中，如果一个大数排在一个小数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。记作：定义：逆序数是偶数的n阶排列称为偶排列；逆序数是奇数的n阶排列称为奇排列。1.排列与逆序数定义：由1,2，…，n组成的一个有序数组4定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，叫做对换。将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。定理：排列经过1次对换，其奇偶性改变。推论：奇排列调成自然排列的对换次数为奇数，偶排列调成自然排列的对换次数为偶数。定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，叫做52.行列式的定义2.行列式的定义6无论是哪种定义，其本质相同，即阶行列式是一个数，是所有取自不同行、不同列元素无论是哪种定义，其本质相同，即阶行列式是一个数，是所有取自不73.行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等。此性质说明在行列式中行和列的地位是同等的，即对行成立的性质对列也同样成立。

性质2互换行列式的两行(列)，行列式改变符号。

推论若行列式中两行(列)对应元素完全相同，则此行列式为零。性质3行列式中某一行(列)元素的公因子可以提到行列式外面。

推论1若行列式某一行(列)的元素全为零，则该行列式为零。

推论2若行列式某两行(列)对应元素成比例，则该行列式为零。

3.行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等。8性质4若行列式的某一行(列)的每一个元素都可表示为两数的和，则该行列式可以表示为两行列式之和

性质5把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数再加到另一行(列)对应的元素上去，则该行列式的值不变。性质6(Laplace展开法则)

性质4若行列式的某一行(列)的每一个元素都可表示为两数性94.几种常见的行列式上三角行列式

下三角行列式

4.几种常见的行列式上三角行列式下三角行列式10对角行列式

范德蒙(Vandermonde)行列式三角行列式与对角行列式是指对主对角线而言对角行列式范德蒙(Vandermonde)行列式三角115.行列式常用计算方法首先观察行列式元素的规律（数字规律与排列规律），常用计算方法有：利用行列式的定义；利用行列式的性质化为三角形行列式；利用行列式的性质做恒等变形化简,使行列式中出现尽量多的零元素，然后按零元素最多的行或列展开；拆行列式为几个行列式的和；递推公式法；数学归纳法；应用范德蒙行列式；加边法。5.行列式常用计算方法首先观察行列式元素的规律126.克莱姆法则定理：如果线性方程组

的系数行列式那么此线性方程组有惟一解，且：

6.克莱姆法则定理：如果线性方程组的系数行列式那么此线13推论：如果齐次线性方程组的系数行列式

，则它只有零解．

推论：如果齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式推论：如果齐次线性方程组的系数行列式，则它只有零解．14解

二、典型例题1.解二、典型例题1.15解

在的4阶行列式中,位于不同行不同列的4个元素乘积含的项只有1项

而含的项有2项

2解在的4阶行列式中,位于不同行不同列的4个元素乘积含的项只16解

（行和相等的行列式）3、解（行和相等的行列式）3、174、4、18第一章行列式习题课课件19第一章行列式习题课课件20注：此题也可按第n行展开计算.在行列式的计算中，这是一类比较典型的题目.5、注：此题也可按第n行展开计算.在行列式的计算中，这是一类比216、6、22第一章行列式习题课课件23第一章行列式习题课课件247、7、25第一章行列式习题课课件26注：1.利用行列式按行（列）展开定理，可以得到关于所求行列式值的递推式.一般来说，递推式的形式多种多样，如例4、例6、例7中介绍的，不同的递推式有不同的解法，应注意这一点.2.当行列式的某一行（列）中零较多时，考虑将行列式按行（列）展开，目的是将行列式降阶，以计算出行列式的值.注：1.利用行列式按行（列）展开定理，可以得到关于所求行列式27利用矩阵的一些性质，可简化方阵行列式的计算.8、利用矩阵的一些性质，可简化方阵行列式的计算.8、28第一章行列式习题课课件29注：一般而言，|A+B||A|+|B|，故没有公式求|A+B|，通常是用矩阵恒等变形的技巧，将其化为乘积的形式.9、注：一般而言，|A+B||A|+|B|，故没有公式求|A+3010、10、31第一章行列式习题课课件3211、11、33121234解

（拆分行列式）13、解（拆分行列式）13、35解

14、解14、36（展开法则）解

15、（展开法则）解15、37解

16、解16、38又按定义知,又按定义知,39证

利用行列式性质,有

17、证利用行列式性质,有17、40略略19、20、略略19、20、41解

推论：若齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则方程组仅有零解21、解推论：若齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则方程组仅有零4222、求行列式解22、求行列式解4323、求行列式按第一列展开,得

解23、求行列式按第一列展开,得解4424、求行列式时，

时，

时，

解24、求行列式时，时，时，解4525、证明证

本题可以分别计算等式左右的行列式，得到数值相等，但这样比较繁琐。注意到左边行列式的形式，考虑应用矩阵的乘法，根据乘法运算规则可知：25、证明证本题可以分别计算等式左右的行列式，得到数4626、证明证与形式相同，记为（递推公式）26、证明证与形式相同，记为（递推公式）47根据递推公式……根据递推公式……4827、证明证应用数学归纳法

命题成立假设对于阶行列式命题成立,即：

27、证明证应用数学归纳法命题成立假设对于阶行列式命题成立49则按第一列展开:

将归纳法假设代入,得

因此,对任意正整数,都有

则按第一列展开:将归纳法假设代入,得因此,对任意正整数,5028、证明证提