计算机辅助数学问题求解课件

第4章

线性控制系统的计算机辅助分析薛定宇著《控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用》第二版，清华大学出版社，2006CAI课件开发：张望舒哈尔滨工程大学薛定宇东北大学9/17/20231控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用第4章

线性控制系统的计算机辅助分析薛定宇著《控制系统计系统的分析方法充分利用计算机对线性系统进行分析更新系统分析的观念求解传统方法难以求解的问题离散系统稳定性如何分析？Nyquist图、Nichols图没有频率信息，如何弥补？高阶系统的根轨迹如何绘制？多变量系统如何进行频域分析？9/17/20232控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用系统的分析方法充分利用计算机对线性系统进行分析8/6/202本章主要内容线性系统定性分析线性系统时域响应解析解法线性系统的数字仿真分析根轨迹分析线性系统频域分析9/17/20233控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用本章主要内容线性系统定性分析8/6/20233控制系统计算机4.1线性系统性质分析主要内容线性系统稳定性分析线性反馈系统内部稳定性分析线性系统的相似变换线性系统可控性分析线性系统可观测性分析Kalman分解系统状态方程的标准型系统的范数测度及求解9/17/20234控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用4.1线性系统性质分析主要内容8/6/20234控制系统4.1.1线性系统的稳定性分析给定线性系统模型，如何分析稳定性？由控制理论可知，用Routh表格可以判定该系统稳定性。EdwardJohnRouth(1831-1907)历史局限性9/17/20235控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用4.1.1线性系统的稳定性分析给定线性系统模型，如何分析状态方程系统的稳定性连续线性状态方程解析阶稳定性：矩阵的特征根均有负实部9/17/20236控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用状态方程系统的稳定性连续线性状态方程8/6/20236控制系离散系统的稳定性离散系统状态方程离散系统时域响应解析阶稳定性判定：所有特征根均在单位圆内9/17/20237控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用离散系统的稳定性离散系统状态方程8/6/20237控制系统计Routh判据的历史局限性Routh判据提出时，没有求多项式根的方法现在求解矩阵特征根、求解多项式方程的根轻而易举，无需间接方法Routh判据只能得出是否稳定，进一步信息得不出来，如系统是否振荡离散系统无法由Routh方法直接判定，得借助于Jury判据，更复杂稳定性分析方法不统一9/17/20238控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用Routh判据的历史局限性Routh判据提出时，没有求多项基于MATLAB的稳定性判定方法直接判定状态方程模型由

可以求出所有特征根离散系统：传递函数模型：完全同样方法图解判定法连续系统：离散系统：，同时画出单位圆9/17/20239控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用基于MATLAB的稳定性判定方法直接判定8/6/2023例4-1高阶系统稳定性判定直接分析方法零极点模型9/17/202310控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-1高阶系统稳定性判定8/6/202310控制系统计算例4-2高阶离散单位负反馈系统模型MATLAB求解9/17/202311控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-2高阶离散单位负反馈系统模型8/6/202311控4.1.2线性反馈系统的内部稳定性输入、输出稳定是不够的，因为若内部信号可能过大，对系统作硬件破坏应该引入内部稳定性概念，保证内部信号也是稳定的。9/17/202312控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用4.1.2线性反馈系统的内部稳定性输入、输出稳定是不够的由给定稳定输入到内部信号都稳定的系统称为内部稳定系统传递函数矩阵其中逐一判定每个子传递函数的稳定性很烦琐内部稳定性定理9/17/202313控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用由给定稳定输入到内部信号8/6/202内部稳定性定理闭环系统内部稳定的充要条件为没有不稳定零点没有不稳定零极点对消第一个条件等效于输入输出稳定性判定第2条件即可可以编写MATLAB函数判定内部稳定性9/17/202314控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用内部稳定性定理闭环系统内部稳定的充要条件为8/6/20231判定的MATLAB函数9/17/202315控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用判定的MATLAB函数8/6/202315控制系统计算机4.1.3线性系统的线性相似变换系统的状态方程表示称为系统实现不同状态选择下，状态方程不惟一相似变换非奇异矩阵状态变换新状态方程模型9/17/202316控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用4.1.3线性系统的线性相似变换系统的状态方程表示称为系状态变换公式MATLAB求解方法9/17/202317控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用状态变换公式8/6/202317控制系统计算机辅助设计---例4-3已知系统和转换矩阵MATLAB求解9/17/202318控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-3已知系统和转换矩阵8/6/202318控制系统计算变换结果可见，相似变换能改变系统的结构引入相似变换矩阵，可以将已知系统转换成其他的形式9/17/202319控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用变换结果8/6/202319控制系统计算机辅助设计---MA4.1.4线性系统的可控性分析可控性定义

系统的可控性就是指系统内部的状态是不是可以由外部输出信号控制的性质，9/17/202320控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用4.1.4线性系统的可控性分析可控性定义8/6/2023线性系统的可控性判定可控性判定矩阵

基于MATLAB的判定方法构造可控性判定矩阵9/17/202321控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用线性系统的可控性判定可控性判定矩阵8/6/202321控制系例4-4离散状态方程的可控性MATLAB求解9/17/202322控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-4离散状态方程的可控性8/6/202322控制系统计判定矩阵判定矩阵构造方法这样的判定方法同样适合于连续系统和离散系统。也适用于多变量模型9/17/202323控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用判定矩阵8/6/202323控制系统计算机辅助设计---MA由Gram矩阵判定可控性引入可控Gram矩阵该矩阵满足Lyapunov方程MATLAB求解矩阵构造9/17/202324控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用由Gram矩阵判定可控性引入可控Gram矩阵8/6/例4-5求Gram矩阵MATLAB命令Gram矩阵9/17/202325控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-5求Gram矩阵8/6/202325控制系统计算可控性阶梯分解对于不完全可控的系统阶梯分解阶梯标准型MATLAB函数调用若原系统状态方程完全可控，则不必分解9/17/202326控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用可控性阶梯分解对于不完全可控的系统阶梯分解8/6/20232例4-6不完全可控系统9/17/202327控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-6不完全可控系统8/6/202327控制系统计算机辅4.1.5线性系统的可观测性分析可观测性定义

系统的可观测性就是指系统内部的状态是不是可以由系统输出信号重建起来的性质9/17/202328控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用4.1.5线性系统的可观测性分析可观测性定义8/6/20可观测性判定判定矩阵等同于系统可控性判定Gram矩阵MATLAB求解9/17/202329控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用可观测性判定判定矩阵8/6/202329控制系统计算机辅助设Gram矩阵满足Lyapunov方程对偶问题9/17/202330控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用Gram矩阵满足Lyapunov方程8/6/202334.1.6Kalman规范分解Kalman规范分解9/17/202331控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用4.1.6Kalman规范分解Kalman规范分解子空间示意图9/17/202332控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用子空间8/6/202332控制系统计算机辅助设计---MAT4.1.6系统状态方程标准型的MATLAB求解常用标准型单变量系统的标准型MATLAB默认的标准型可控标准型实现可观测标准型实现和Jordan标准型实现多变量系统Leunberge标准型侧重点：如何用MATLAB直接获取标准型9/17/202333控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用4.1.6系统状态方程标准型的MATLAB求解常用标准单变量系统的标准型可控标准型可观测标准型9/17/202334控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用单变量系统的标准型可控标准型8/6/202334控制系统计算可控可观测标准型转换9/17/202335控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用可控可观测标准型转换8/6/202335控制系统计算机辅助设可控标准型和可观测标准型，对偶关系9/17/202336控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用8/6/202336控制系统计算机辅助设计---MATLABJordan标准型

MATLAB变换9/17/202337控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用Jordan标准型8/6/202337控制系统计算机辅助多变量系统的Leunberge标准型由可控性判定矩阵构造矩阵9/17/202338控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用多变量系统的Leunberge标准型由可控性判定矩阵8/得出Leunberge变换矩阵编写leunberge.m函数9/17/202339控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用得出Leunberge变换矩阵8/6/202339控制系MATLAB函数清单9/17/202340控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用MATLAB函数清单8/6/202340控制系统计算机辅助9/17/202341控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用8/6/202341控制系统计算机辅助设计---MATLAB标准型的变换方法总结可控标准型可观测标准型Jordan标准型Leunberge标准型9/17/202342控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用标准型的变换方法总结可控标准型8/6/202342控制系统计例4-7求解可观测标准型标准型9/17/202343控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-78/6/202343控制系统计算机辅助设计---MA例4-8已知模型9/17/202344控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-8已知模型8/6/202344控制系统计算机辅助设计4.1.7系统的范数测度及求解系统也有范数

9/17/202345控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用4.1.7系统的范数测度及求解系统也有范数8/6/202离散系统的范数定义范数的MATLAB求解9/17/202346控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用离散系统的范数定义8/6/202346控制系统计算机辅助设计例4-9已知离散系统模型9/17/202347控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-9已知离散系统模型8/6/202347控制系统计算机4.2线性系统时域响应解析解法给线性系统一个激励信号，输出是什么？有两大类方法解析解方法求解微分方程、差分方程解析解数值解方法主要内容基于状态方程的解析解方法基于传递函数部分方式展开的解析解方法二阶系统的解析解方法9/17/202348控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用4.2线性系统时域响应解析解法给线性系统一个激励信号，输4.2.1基于状态方程的解析解方法状态方程模型解析解求解难点9/17/202349控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用4.2.1基于状态方程的解析解方法状态方程模型8/6/2状态增广方法消除B矩阵，变成自治系统

增广状态方程自治系统可以直接求解析解9/17/202350控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用状态增广方法消除B矩阵，变成自治系统8/6/202350控一般输入信号的系统增广一般输入信号模型引入增广状态变量9/17/202351控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用一般输入信号的系统增广一般输入信号模型8/6/202351控增广状态方程模型其中解析解9/17/202352控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用增广状态方程模型8/6/202352控制系统计算机辅助设计-MATLAB实现函数9/17/202353控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用MATLAB实现函数8/6/202353控制系统计算机辅助调用格式信号描述9/17/202354控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用8/6/202354控制系统计算机辅助设计---MATLAB例4-10连续系统模型初值输入信号求解析解9/17/202355控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-10连续系统模型8/6/202355控制系统计算机辅系统增广增广模型9/17/202356控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用系统增广8/6/202356控制系统计算机辅助设计---MA解析解求解解析解求解结果稳定性9/17/202357控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用解析解求解8/6/202357控制系统计算机辅助设计---M4.2.2基于部分分式展开方法求解连续系统的解析解法

无重根时部分方式展开9/17/202358控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用4.2.2基于部分分式展开方法求解连续系统的解析解法8/由Laplace反变换求解析解有重根时相应项的解析解为9/17/202359控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用由Laplace反变换求解析解8/6/202359控制系部分分式的MATLAB求解例4-11输入信号为阶跃信号输出信号计算9/17/202360控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用部分分式的MATLAB求解8/6/202360控制系统计MATLAB求解解析解解析解精确值9/17/202361控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用MATLAB求解8/6/202361控制系统计算机辅助设计例4-12带有复数极点的系统阶跃响应解析解解析解9/17/202362控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-12带有复数极点的系统8/6/202362控制系统解析解的进一步化简基于Euler公式的化简其中新MATLAB函数

9/17/202363控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用解析解的进一步化简基于Euler公式的化简8/6/202新MATLAB函数清单9/17/202364控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用新MATLAB函数清单8/6/202364控制系统计算机例4-13仍考虑MATLAB求解解析解9/17/202365控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-13仍考虑8/6/202365控制系统计算机辅助设基于Laplace变换的求解参附录A步骤：定义符号变量描述原函数表达式调用laplace()函数或ilaplace()函数求解结果化简，如simple()函数求解举例9/17/202366控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用基于Laplace变换的求解参附录A8/6/20236例1MATLAB求解解析解9/17/202367控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例18/6/202367控制系统计算机辅助设计---MATL例2MATLAB求解解析解9/17/202368控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例28/6/202368控制系统计算机辅助设计---MATL离散系统的解析解法Z变换无重根时部分分式展开解析解9/17/202369控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用离散系统的解析解法Z变换8/6/202369控制系统计算机考虑采样周期例4-149/17/202370控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用考虑采样周期8/6/202370控制系统计算机辅助设计---输出信号解析解Z变换求解步骤定义符号变量调用iztrans()函数求解化简9/17/202371控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用输出信号8/6/202371控制系统计算机辅助设计---MA利用符号运算工具箱求解求解结果方法更规范，结果更简单9/17/202372控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用利用符号运算工具箱求解8/6/202372控制系统计算机辅助有重根问题的解析解部分分式表达式的Z反变换例4-15部分分式展开9/17/202373控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用有重根问题的解析解部分分式表达式的Z反变换8/6/20237部分分式展开解析解9/17/202374控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用部分分式展开8/6/202374控制系统计算机辅助设计---符号运算求解解析解更直观，不建议用前者求解，而直接采用Z变换的符号运算方法求解9/17/202375控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用符号运算求解8/6/202375控制系统计算机辅助设计---时间延迟系统的解析解法

例4-169/17/202376控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用时间延迟系统的解析解法8/6/202376控制系统计算机辅无延迟解析解有延迟解析解9/17/202377控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用无延迟解析解8/6/202377控制系统计算机辅助设计---4.2.3二阶系统的阶跃响应及

阶跃响应指标二阶系统模型闭环模型记则9/17/202378控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用4.2.3二阶系统的阶跃响应及

阶跃响应指标二阶跃响应的解析解无阻尼振荡欠阻尼振荡临界阻尼振荡过阻尼振荡9/17/202379控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用阶跃响应的解析解无阻尼振荡8/6/202379控制系统计算机二阶系统阶跃响应曲线9/17/202380控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用二阶系统阶跃响应曲线8/6/202380控制系统计算机辅助设利用图形绘制功能，从新角度研究同样的问题三维曲面绘制9/17/202381控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用利用图形绘制功能，从新角度研究同样的问题三维曲面绘制8/6/阶跃响应指标超调量稳态值上升时间调节时间好的伺服控制系统，应该具有稳态误差小或没有稳态误差、超调量小或没有超调量、上升时间短、调节时间短等性能9/17/202382控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用阶跃响应指标超调量8/6/202382控制系统计算机辅助设计4.3线性系统的数字仿真分析线性系统的解析解可以求解的条件4阶以上的系统需要求解4阶以上的多项式方程，根据Abel定理，无解析解。解析解和数值解结合实际应用需要数值解，需要阶跃响应曲线主要内容线性系统的阶跃响应与脉冲响应任意输入下系统的响应降阶模型的时域分析及比较9/17/202383控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用4.3线性系统的数字仿真分析线性系统的解析解可以求解的条4.3.1线性系统的阶跃响应与脉冲响应阶跃响应曲线绘制函数多系统曲线绘制9/17/202384控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用4.3.1线性系统的阶跃响应与脉冲响应阶跃响应曲线绘制函例4-17延迟系统MATLAB语句利用MATLAB提供的功能，可以从曲线上得到更多的信息，如超调量等9/17/202385控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-17延迟系统8/6/202385控制系统计算机辅助设MATLAB求解解析解解析解数值解精度比较9/17/202386控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用MATLAB求解解析解8/6/202386控制系统计算机辅例4-18离散化采样周期求解得出的曲线可以比较9/17/202387控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-18离散化8/6/202387控制系统计算机辅助设计ZOH变换Tustin变换，不同采样周期9/17/202388控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用ZOH变换8/6/202388控制系统计算机辅助设计---例4-19多变量系统，阶跃响应

MATLAB求解语句9/17/202389控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-19多变量系统，阶跃响应8/6/202389控制系统系统藕合的概念静态前置补偿矩阵不能直接乘法运算Pade近似9/17/202390控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用系统藕合的概念8/6/202390控制系统计算机辅助设计--补偿后系统的模型解藕效果还可以使得多变量系统能直接设计，在设计前必须解藕。后面将介绍解藕的频域方法9/17/202391控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用补偿后系统的模型8/6/202391控制系统计算机辅助设计-系统的脉冲响应曲线MATLAB下的impulse()函数与step()函数调用结构完全一致MATLAB求解可以容易地研究系统的脉冲响应曲线9/17/202392控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用系统的脉冲响应曲线MATLAB下的impulse()4.3.2任意输入下系统的响应可以利用step()和impulse()函数求解输出信号计算如R(s)已知，则可以直接求解例4-20斜坡响应9/17/202393控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用4.3.2任意输入下系统的响应可以利用step()

MATLAB求解其他输入的响应可以由lsim()函数求取9/17/202394控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用8/6/202394控制系统计算机辅助设计---MATLA例4-21多变量系统输入信号MATLAB求解9/17/202395控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-21多变量系统8/6/202395控制系统计算机辅助多变量系统的时域响应可以这样求解比较容易理解曲线含义9/17/202396控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用8/6/202396控制系统计算机辅助设计---MATLAB4.3.3降阶模型的时域分析及比较前面介绍了降阶方法，但未比较效果例4-22MATLAB求解9/17/202397控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用4.3.3降阶模型的时域分析及比较前面介绍了降阶方法，但例4-23非最小相位系统MATLAB求解降阶模型9/17/202398控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-23非最小相位系统8/6/202398控制系统计算4.4根轨迹分析

单位负反馈闭环系统特征方程对K的不同取值，则可能绘制出每个特征根变化的曲线，这样的曲线称为系统的根轨迹。根轨迹用开环信息研究闭环特性9/17/202399控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用4.4根轨迹分析8/6/202399控制系统计算机辅助MATLAB求解该函数可以用于单变量不含有时间延迟的连续、离散系统的根轨迹绘制，也可以用于带有时间延迟的单变量离散系统的根轨迹绘制。9/17/2023100控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用MATLAB求解8/6/2023100控制系统计算机辅助设例4-24开环系统MATLAB求解如何求解临界增益？闭环系统稳定性如何变化9/17/2023101控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-24开环系统8/6/2023101控制系统计算机辅例4-25根轨迹求解求出阻尼在处的增益临界增益处阶跃响应9/17/2023102控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-258/6/2023102控制系统计算机辅助设计--例4-26离散系统根轨迹根轨迹绘制9/17/2023103控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-26离散系统根轨迹8/6/2023103控制系统计例4-27离散系统模型MATLAB求解临界增益求取9/17/2023104控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-27离散系统模型8/6/2023104控制系统计算带延迟的离散系统根轨迹假设延迟为6步，则可以求临界增益延迟系统临界增益减小9/17/2023105控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用带延迟的离散系统根轨迹假设延迟为6步，则8/6/2023例4-28延迟状态方程无延迟系统根轨迹9/17/2023106控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-28延迟状态方程8/6/2023106控制系统计算延迟系统用Pade近似处理例4-29正反馈系统MATLAB求解9/17/2023107控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用延迟系统用Pade近似处理8/6/2023107控制系统4.5线性系统频域分析频域分析Nyquist1932Bode，Nichols提出的新图形方法主要内容单变量系统的频域分析利用频率特性分析系统的稳定性系统的幅值裕度和相位裕度多变量系统的频域分析9/17/2023108控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用4.5线性系统频域分析频域分析8/6/2023108控制系4.5.1单变量系统的频域分析

三种表示方法

实部与虚部关系曲线即为Nyquist图Nyquist图的缺陷：无对应频率信息

横轴对数坐标rad/s，纵轴分贝、度，Bode图幅值与相位关系，Nichols图，无频率信息9/17/2023109控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用4.5.1单变量系统的频域分析8/6/2023109控Nyquist曲线绘制grid命令绘制等M和等N圆9/17/2023110控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用Nyquist曲线绘制8/6/2023110控制系统计算Bode图绘制Nichols图由nichols()函数绘制可以同样处理连续、离散、延迟、多变量系统，格式不变9/17/2023111控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用Bode图绘制8/6/2023111控制系统计算机辅助设计例4-30开环传递函数Nyquist曲线绘制MATLAB曲线特色读取频率信息；频率范围9/17/2023112控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-30开环传递函数8/6/2023112控制系统计算Bode图绘制快捷菜单读取特性Nichols图的绘制用鼠标读取频率信息弥补了传统Nichols图的不同其他频域响应曲线9/17/2023113控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用Bode图绘制其他频域响应曲线8/6/2023113控制系例4-31对下面模型离散化，MATLAB求解不同采样周期的离散模型Bode图9/17/2023114控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-31对下面模型离散化，8/6/2023114控制系例4-32离散系统Nyquist图与Nichols图9/17/2023115控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-32离散系统8/6/2023115控制系统计算机辅例4-33延迟系统模型MATLAB求解9/17/2023116控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-33延迟系统模型8/6/2023116控制系统计算4.5.2利用频率特性分析系统

的稳定性

Nyquist定理可以进一步解释为

9/17/2023117控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用4.5.2利用频率特性分析系统

的稳定性8/6/202

可以用开环的系统模型，绘制Nyquist图并以此分析闭环系统的稳定性。9/17/2023118控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用8/6/2023118控制系统计算机辅助设计---MATL例4-34Nyquist图闭环阶跃响应9/17/2023119控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-348/6/2023119控制系统计算机辅助设计--4.5.3系统的幅值裕度和相位裕度幅值裕度和相位裕度相位裕度幅值裕度9/17/2023120控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用4.5.3系统的幅值裕度和相位裕度幅值裕度和相位裕度相稳定性裕度分析如果系统的Nyquist图不与负实轴相交，则系统的幅值裕度为无穷大。

如果系统的Nyquist图不与单位圆相交，则系统的相位裕度为无穷大。9/17/2023121控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用稳定性裕度分析如果系统的Nyquist图不与负实轴相交，如果系统的Nyquist图在第三象限与单位圆有若干个交点，则系统的相位裕度以与离负实轴最近的为准。MATLAB求解方法如果某个裕度为无穷大，则返回Inf，相应的频率值为NaN。9/17/2023122控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用如果系统的Nyquist图在第三象限与单位圆有若干个交点例4-35MATLAB求解

由于幅相裕度小，系统闭环响应有强振荡9/17/2023123控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-358/6/2023123控制系统计算机辅助设计---4.5.4多变量系统的频域分析例4-36多变量系统的Nyquist图用nyquist函数直接求解9/17/2023124控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用4.5.4多变量系统的频域分析例4-36多变量系统的N多变量系统分析概述前面的Nyquist图对多变量系统分析没有太大帮助，所以一般不采用这样的方法英国学派的频域方法SirHowardHRosenbrock教授提出的逆Nyquist阵列的方法(INA方法)剑桥大学SirMacFarlane教授特征轨迹方法帝国理工SirDQMayne教授序贯设计方法Sheffield大学的Owens教授的并矢算法9/17/2023125控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用多变量系统分析概述前面的Nyquist图对多变量系统分析MFD工具箱英国剑桥大学的Maciejowski教授开发基于MATLAB的工具箱多变量系统的描述还可以用传递函数描述，但需要已知公分母。所以过程烦琐。可以求出系统的传递函数矩阵模型9/17/2023126控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用MFD工具箱英国剑桥大学的Maciejowski教授开例4-37多变量模型传递函数矩阵变换9/17/2023127控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-37多变量模型8/6/2023127控制系统计算机辅得出公分母分子矩阵用这样的方法可以得出传递函数矩阵模型可以得出MFD能使用的模型9/17/2023128控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用得出公分母8/6/2023128控制系统计算机辅助设计---对角优势分析多变量频域分析的最重要内容是系统模型是不是解藕的模型，如果不是则需要变换如何判定是否解藕？

闭环系统传递函数矩阵回差矩阵9/17/2023129控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用对角优势分析多变量频域分析的最重要内容是系统模型是不是解藕的利用回差矩阵的逆矩阵性质，所以在频域分析中用逆的Nyquist矩阵分析更方便Rosenbrock教授采用逆Nyquist阵列方法单变量系统，Nyquist图是研究包围(-1,j0)点的周数来研究稳定性的多变量回差矩阵，研究包围(0,j0)点的情形Gershgorin定理可以分析对角占优性质，从而对系统的藕合进行分析，可以用于多变量系统的分析9/17/2023130控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用利用回差矩阵的逆矩阵性质，所以在频域分析中用逆的NyquiGershgorin定理复数矩阵

对角占优矩阵9/17/2023131控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用Gershgorin定理复数矩阵8/6/2023131控制

进一步减小半径9/17/2023132控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用8/6/2023132控制系统计算机辅助设计---MATL假设在w下，多变量系统前向回路INA为Gershgorin带，对不同的w值若对全部的w来说，各个对角元素的Gershgorin带均不包含圆心，则称原系统为对角占优系统。显而易见，对角优势矩阵的特征根不位于原点处，则单位反馈的闭环系统是稳定的。9/17/2023133控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用假设在w下，多变量系统前向回路INA为8/6/202MATLAB求解MFD工具箱的频域响应数据INA绘制9/17/2023134控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用MATLAB求解MFD工具箱的频域响应数据8/6/20MATLAB函数编写9/17/2023135控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用MATLAB函数编写8/6/2023135控制系统计算机辅由该函数可以直接绘制多变量系统的INA图，并分析其对角占优性质。采用更小的半径，非传统半径。9/17/2023136控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用由该函数可以直接绘制多变量系统的INA图，并分析其对角占优例4-38多变量模型MATLAB求解9/17/2023137控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-38多变量模型8/6/2023137控制系统计算机辅前置补偿矩阵MATLAB求解对角占优性质明显9/17/2023138控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用前置补偿矩阵8/6/2023138控制系统计算机辅助设计--其他频域响应数据生成方法

其他9/17/2023139控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用其他频域响应数据生成方法8/6/2023139控制系统计算例4-39多变量延迟系统MATLAB求解9/17/2023140控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用例4-39多变量延迟系统8/6/2023140控制系统计算

校正后特性绘制Gershgorin带的稳定性判定定理9/17/2023141控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用8/6/2023141控制系统计算机辅