导数与恒成立问题

《导数与恒成立问题》教学设计南宁二中黄邵华教学背景分析：《导数》是高中数学教学中非常重要的一个章节，在每年的高考当中也几乎是必考题，而恒成立问题则是导数大题中常见的一种类型.在前段时间的学习中，学生已经学习和掌握了导数的定义及其基本应用（如求切线，求单调区间，求极值和最值等），故在此段内容的学习后，应当注重知识的深化和综合.恒成立问题是导数的综合应用中的常见问题，并且与刚刚结束的导数的基本应用的相关知识结合较为紧密，故特选此题作为一个专题进行教学.高二（25）班的学生是我校高二年级的一个普通班，此班学生头脑灵活，反应比较灵敏，但学生性格普遍沉闷，虽然大脑在积极思考，但在课上不善于表达.因此在教学方式上以教师问题为引导，通过由简到难的变式训练，让学生自主学习和发现解决恒成立问题的常用办法.教学目标：知识与技能：掌握利用导数解决恒成立问题的方法；过程与方法：通过多次变式训练的过程，体会将复杂问题化为简单问题，将陌生问题化为熟悉问题的转化数学思想，体会导数的工具性作用；情感态度与价值观：通过对相关数学问题的思考和分析，感受事物是普通联系的辩证主义思想，发现数学之美，培养数学钻研精神.教学重点：1、将恒成立问题转化为最值问题2、分离变量法求解含参的恒成立问题教学难点：如何将其他问题转化为恒成立问题教学过程：环节一、复习引入复习导数的基本应用：求切线方程、求极值、求单调区间以及求函数的最值.求切线方程>0求切线方程>0<0=0求函数极值求单调区间求函数最值教师提出：这些是利用导数可以解决的几类问题，但是很多问题并不是导数的简单应用，而是将这些导数的应用综合起来解决一个较为复杂的问题，这样复杂的问题很多，但基本都可以转化为这几种简单的问题，今天我们介绍其中的一类问题：恒成立问题.环节二、新课讲授例（2010年安徽高考理科17题改编）：已知函数，若恒成立，求实数的取值范围.解析：

法1：由恒成立可得，的最小值应该大于等于0.，令可得，.当时，，单调递减；当时，，单调递增；因此，解得.

法2（分离变量法）：恒成立，令，则有，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；因此，所以.▲教师引导学生总结：；变式一：已知函数，若在上单调递增，求实数的取值范围.解析：由在上单调递增，可得在上恒成立，即：在上恒成立，易得：（或由分离变量法求得）.▲教师引导学生总结：；变式二：求证：当且时，有.证明：设，要证原不等式，即证：在上恒成立.，由例题结论可得当时，，因此在上单调递增，所以，综上所述：成立.▲教师引导学生总结：；环节三、巩固深化练习（2012年天津高考理科20题改编）：已知函数，对于任意的，有，求的最小值.解析：设，则在恒成立，，令.若，则，则在恒成立，在单调递减，因此，符合题意；若，则，则时，在单调递增，因此，不符合题意.综上所述，，即的最小值为.教师通过程序框图将此题的解题步骤进行分析，并强调：1、新课标理念“适当的模式化”对解题的帮助；2、解题时缕清思路，不断地分析题目所给的问题和条件，寻找每个步骤的突破口.环节四、课堂小结1、知识层面：恒成立问题的解决办法：转化为最值问题，求参数范围时还可采用分离变量法；2、数学思想方法层面：利用转化的思想将复杂与陌生的问题转化为简单与熟悉的问题；3、学习方法与态度层面：即要注重将复杂问题进行分析与分解，更重要的是对基础知识的掌握和巩固.环节五、课后思考思