初中数学有理数的巧算与速算学法指导

wordword#/4有理数的巧算与速算计家娥有理数的计算题在大大小小的考试中都占有很重要的地位，而有理数的题目又变化多样，可以说是形形色色，怎样解决这类题目呢？当然，灵活运用有理数的运算法则、运算律，适当地添加或去括号改变运算顺序，常可达到简化运算的效果。而凑整、分组、拆项、相消、分解相约、整体处理等是有理数运算常用的方法与技巧。例1.求1+2+3+4+...+59的值。分析1：根据题目特点，可以凑整求和，再把和相加。解：原式二G+59）+（2+58）+（3+57）+…+（29+31）+30=60+60+60+...+60+30=60x29+30=1770分析2：根据题目特点，把算式倒写，然后把两个算式相加，也可以凑整求出。解：设S=1+2+3+4+...+59，贝US=59+58+57+...+3+2+1，所以S+S=（L+59）+（2+58）+（3+57）+.••+（59+1）=60x59所以S=1770。这种方法实质上就是常说的利用梯形的面积公式求和法，即:原式=1xG+59）x59=17702友情提示：连续数求和,都可利用梯形面积公式S二|（上底+下底）x高。上底是指最小的数，即首项，下底是指最大的数，即末项，高是指数的个数，即项数。上例中，上底是1,下底是59,共有59个数相加,所以高是59,上面的公式还可以写成S=2（首项+末项）x项数,而解决此类问题的关键是找准项数，可采用公式:项数=项数=末项-首项+项差

项差例如：在求1+4+7+...+25的值时，首项是1,末项是25,项差是3,所以项数是25-1+3 =9,因此，3原式=1G+25）x9=117。2演练场.求和231+232+...+384。.求和1+3+5+...+19+21。.求和2+4+6+...+20。例2.求和 1 1 +…+ 1x22x33x4 9x10分析：考虑到拆项11，一

9x109 10然后相加，正负相消，只剩首末两项，1--1分析：考虑到拆项11，一

9x109 10然后相加，正负相消，只剩首末两项，1--1=21 —— ，1010问题得解。解：原式二1-11111 1 1 +...+ 910-1=1」=21010友情提示:一些分数求和题可借助公式:n(n一些分数求和题可借助公式:n(n+k)k（k为正整数），对题目各项进中，k中，k是2。例如求和+ +...+ 例如求和5x7 19x21原式二211原式二211+-33+一」］1921)1021演练场:1.求和—1021演练场:1.求和—+

2x4 1 +...+ 4x66x8 18x202.求和—+2.求和—+1x44x77x101+...+ 28x313.求和^―+—+—+1+ 1一3.2x55x88x1111x1414x17例3.求和S=1+2+22+23+...+215+216。分析：考虑到所有加数都是以2为底的幕，显然不能求出各自的幕再相加，考虑到相邻两项的比都是2（即后：前=2），可以重新构造一个新方程，在S=1+2+22+23+...+215+216①的两边都乘以共同的比2得:2S=2+22+23+...+216+217，②然后用②-①得：S=217—1。解：因为S=1+2+22+23+…+215+216，①所以2s=2(+2+22+23+...+215+216)，即：2s=2+22+23+...+216+217②②-①是：2S—S=G+22+23+...+216+217)—(+2+2+23+…+215+216)所以S=1+2+22+23+...+215+216=217-1。友情提示：同底数幕求和时，常考虑构造方程求解。即设原式二S,然后两边都乘以相邻两项的比k（后：前二k）,再把两等式相加或相减，消去相同的项，从而求出S。演练场：1.求1+1+1+1+12481632的值。2.求1+3+32+33+...+32008的值。例4.求（2+1为2+内+办8+内6+伟勺值。分析：整个题目是几个或多个数的积，而这些因数都是两项的和，且后一个因数中的两项都是前一个因数中的两项的平方，这样整个题目就成了一些平方和的积，如果按乘法公式展开，工作量相当大，也不是本题目考查的目的，本题目必然有技巧，考虑到我们学习过的平方差公式，特点与题目中的平方和很相似，这样在首项前再多乘以一个两项的差（2-1），与首项（2+1）相乘得t-1），I-1）再与第二项凑成平方差公式，…，最后得结果。32-1），然后再除以最初乘的因数G-1)，得结果。解：设(2+1)22+1)24+1)28+1X16+1)=S，则:(2-1)6+工2+X+1)(+1X16+1)=(2-1b即：I-J]+1)L+1)(+1X16+1)=(2-1b232-1=(2-1)S，两边都除以（2-1），得S=232-1。友情提示：平方差公式Q-b）Q+b）=a2-b2可以简化乘法运算，要注意灵活运用，此类题目为凑平方差公式而乘的两数之差不一定都是1,一定要注意最后再除以这个差，避免把原数放大或缩小。演练场：1.的值。.求(L+24+22)(+24).+(+232)+1的个位数字。81.求11+-[1+=1+二的值。81I3人例5.求例5.求1x—299100的值。解析：这个题目的特点很明显，前一个分数的分母与后一个相邻分数的分子相同，相乘可以约分，最后只剩下第一个分数的分子和最后一个分数的分母，问题得解。原式