北京市第四中学高一下学期期中考试数学试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精北京四中2016—2017学年下学期高一年级期中考试数学试卷试卷分为两卷，卷（I）100分，卷(II）50分，共计150分考试时间：120分钟卷（I)一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.不等式x2+x-2〉0的解集为（）A.｛x|x<—2或x>1｝B。{x｜—2〈x<1｝C.｛x|x<-1或x>2}D.｛x|—1〈x〈2}【答案】A【解析】,解得，故选A.2.在△ABC中，若a2=b2+c2-bc,则A等于（）A。120°B。60°C。45°D。30°【答案】B【解析】在△ABC中，由余弦定理可得：，所以,故选B。3.Sn是等差数列｛an｝的前n项和，如果S10=120，那么a1+a10的值是(）A。12B.24C。36D。48【答案】B【解析】试题分析:根据等差数列的性质可知，项数之和为11的两项之和都相等，即可求出a1+a10的值．解：S10=a1+a2+…+a10=（a1+a10）+(a2+a9）+(a3+a8)+（a4+a7）+（a5+a6）=5（a1+a10)=120所以a1+a10=24故选B考点：等差数列的前n项和．4.对于任意实数a、b、c、d,下列结论：①若a〉b，c≠0，则ac〉bc;②若a>b，则ac2>bc2;③若ac2〉bc2,则a>b；④若a〉b，则〈;正确的结论为（）A.①B。②C。③D.④【答案】C【解析】①若a〉b，当时有，，故不正确;②若a>b，当时有，故不正确;。。.③若，显然，两边同除以，可得，正确;④若a〉b,当a>0〉b,时>，故不正确；故选C.5。在△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，则B等于（）A。60°B。60°或120°C。30°D。30°或150°【答案】B【解析】在△ABC中,由正弦定理可得，解得,故选B。6。已知等差数列{an｝的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a1等于（）A。-4B.—6C。-8D。—10【答案】C【解析】等差数列{an}的公差为2，所以,又a1,a3，a4成等比数列,所以有，即,解得，故选C。7.已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A.24B。20C.16D.12【答案】B【解析】试题分析:画出可行域如图所示，为目标函数，可看成是直线的纵截距四倍，画直线，平移直线过点时有最大值20，故选B。考点：简单线性规划8.在下列函数中，最小值是2的是（）A。y=B.y=(x>0）C.y=sinx+（0〈x〈）D.y=7x+7—x【答案】D【解析】A.，当时，不满足；B。，当且仅当时成立，因为x〉0，故等号不成立，不满足；C。y=sinx+，0〈x〈，所以，y=sinx+,不满足；D。，当且仅当时成立,满足,故选D。9.如图所示，C、D、A三点在同一水平线上，AB是塔的中轴线，在C、D两处测得塔顶部B处的仰角分别是和，如果C、D间的距离是a，测角仪高为b,则塔高为（）A。B.C。D。【答案】A【解析】在△B中,，∴即在△A1B中,.∴.即B=B⋅sinβ=。则塔高为.故选：A.10。设｛an｝是等差数列，下列结论中正确的是(）A。若a1+a2>0,则a2+a3>0B.若a1+a3>0，则a1+a2〈0C。若0〈a1<a2，则a2>D。若a1〈0，则(a2—a1）（a2—a3）>0【答案】C【解析】若a1+a2>0,d〈0,则a2+a3>0不一定成立，故A错误；a1+a2=a1+a3-d，若a2+a3<0，当d〈0时不一定有a1+a3—d〈0成立,故B错误；若0〈a1〈a2，则a2=>，故C正确；若a1〈0，则(a2−a1)(a2−a3）=−d2⩽0，故D错误；故选：C。点睛:等差数列的常考性质：｛an}是等差数列,若m+n=p+q,则。二、填空题:（本大题共6小题,每小题4分，共24分）11。在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=_________.【答案】【解析】在△ABC中,由正弦定理可得：,解得，有∠A=，所以∠B必然为锐角，所以∠B=。12.数列{an｝的前n项和Sn=2an-3（n∈N*）,则a5=__________。【答案】48【解析】当时，，得。当时，，整理得:。..∴数列｛｝是以3为首项，2为公比的等比数列∴a5=.故答案为48。13.如果c<b<a，且ac〈0，那么下列不等式中：①ab>ac；②c（b—a）〉0；③cb2<ab2；④ac(a—c）<0，不一定成立的是__________（填序号）。【答案】③【解析】∵且,∴．

①∵a＞0，c＜b，∴ac＜ab，即ab＞ac成立．

②∵b＜a,∴b-a＜0,∴c（b-a）＞0成立．

③∵b∈R，∴当b=0时，cb2＜ab2不成立．

④∵c＜b＜a，a＞0，c＜0，∴a-c＞0，ac（a-c）＜0，成立．

故答案为:③.14。设x,y∈R+,且满足x+4y=40，则lgx+lgy的最大值是_________。【答案】2【解析】由,且，解得,当且仅当时取最大100，又.最大值为2。点睛：本题主要考查基本不等式,应具备三个条件:一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中,含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等:含变量的各项均相等,取得最值。15。在△ABC中，a=4，b=5,c=6，则=__________。【答案】1【解析】试题分析：根据余弦定理,有，，同理有,故.考点:解三角形、正余弦定理．16.两等差数列{an｝和｛bn}前n项和分别为Sn，Tn，且，则=__________。【答案】【解析】数列｛an}和{bn}为等差数列，所以.点睛：等差数列的常考性质：｛an｝是等差数列，若m+n=p+q,则.三、解答题（本大题共3小题，共26分）17。已知△ABC中，BC=7，AB=3，且。（1）求AC;（2)求∠A。【答案】(1)5；（2）∠A=120°。【解析】试题分析:(Ⅰ）由正弦定理,根据正弦值之比得到对应的边之比，把AB的值代入比例式即可求出AC的值；

（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosA,把BC,AB及求出的AC的值代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．试题解析：...（1)由正弦定理得===AC==5。(2）由余弦定理得cosA===-，所以∠A=120°。18。已知关于x的不等式ax2+5x-2〉0的解集是{x｜<x〈2}。(1）求a的值；（2)求关于x的不等式ax2—5x+a2-1〉0的解集.【答案】（1）;(2）{x｜-3<x<｝。【解析】试题分析:（1）由题意得方程ax2+5x—2=0的两个实数根为和2由韦达定理得方程组求出a，代入不等式求出即可．(2）a=-2代入求解即可.试题解析：（1）依题意，可知方程ax2+5x—2=0的两个实数根为和2，由韦达定理得:+2=-，解得：a=-2。（2）a=—2时，ax2-5x+a2-1=—2x2-5x+3=-(x+3）(2x—1)>0,解得：｛x｜—3<x<}。19。已知{an｝是一个公差为d（d≠0）的等差数列，它的前10项和S10=110，且a1，a2，a4成等比数列。（1）证明:a1=d；（2）求公差d的值和数列｛an}的通项公式.【答案】（1）见解析；（2)故d=2，an=2n。【解析】试题分析：(1）由已知可得a22=a1•a4，代入等差数列的通项可转化为（a1+d)2=a1•（a1+3d），整理可得

（2）结合（1）且有S10=10a1+d，列方程组求解即可。试题解析：（1）证明：因a1，a2,a4成等比数列,故=a1a4。而｛an｝是等差数列，有a2=a1+d，a4=a1+3d，于是(a1+d）2=a1(a1+3d），即+2a1d+d2=+3a1d，因为d≠0，化简得a1=d。（2）由S10=110得S10=10a1+d，即10a1+45d=110，由（1)a1=d，代入上式得55d=110，故d=2,an=a1+（n-1)d=2n.卷（II）一、选填题:（本大题共6小题，每小题5分，共30分）20。在R上定义运算☆：a☆b=ab+2a+b,则满足x☆（x—2）<0的实数x的取值范围为______.【答案】（—2，1）。..【解析】根据题意有:☆。解得,故答案为（—2,1）。21。设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，S6=4S3，则a4=__________。【答案】3【解析】等比数列｛｝中，a1=1，S6=4S3，若公比，显然不成立;所以，所以解得，所以。22.若锐角△ABC的面积为10，且AB=5，AC=8，则BC=_______.【答案】7考点：三角形的面积公式;余弦定理.23.在△ABC中，已知8b=5c，C=2B,则cosC=（）A.B。—C.±D.【答案】A【解析】由8b＝5c，C＝2B及正弦定理，得8sinB＝5sinC＝10sinBcosB，∴cosB＝。则cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝.24。已知O为直角坐标系原点,P，Q的坐标满足不等式组，则cos∠POQ的最小值为（）A。B。C.D.0【答案】A【解析】满足不等式组的平面区域如图所示：因为余弦函数在上是减函数，所以角最大时对应的余弦值最小，由图得，当P与A（7，1）重合，Q与B(4,3）重合时，角POQ最大。此时kOB=，k0A=7。由.故选A.点睛:线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.25。已知数列A：a1，a2，…,an（0≤a1<a2〈…<an，n≥3)具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n)，aj+ai与aj—ai两数中至少有一个是该数列中的一项。现给出以下四个结论:.。。①数列0,1，3具有性质P；②数列0，2，4，6具有性质P；③若数列A具有性质P,则a1=0；④若数列a1，a2,a3（0≤a1〈a2〈a3）具有性质P，则a1+a3=2a2.其中正确的结论有（）A。4个B。3个C。2个D.1个【答案】B【解析】①中取1和3两个元素验证，发现不正确；②显然满足题意;③若数列A具有性质P,即所以对任意i,j（1⩽i⩽j⩽n），与两数中至少有一个是该数列中的一项，那么当i=j=n时，+与−至少一个在数列中，所以a1=0正确.④数列a1，a2,a3满足条件,则a1=0,而a3+a2和a3−a2至少有一个是数列中的项，而a3+a2不可能满足,所以a3−a2=a2，所以a1+a3=a3=2a2，正确;3个正确，故选B。二、解答题：（本大题共2小题，共20分）26。已知数列｛an｝满足a1=1，an+1=，设bn=,n∈N＊。（1）证明｛bn｝是等比数列（指出首项和公比）；（2）求数列｛log2bn｝的前n项和Tn。【答案】（1）见解析；（2）Tn=.【解析】试题分析：（1）由an+1=,得=2·，再利用等比数列的定义即可得出．（2)由（1）求出通项得log2bn=log22n-1=n—1，利用等差数列求和即可。试题解析:（1）由an+1=，得=2·。所以bn+1=2bn,即。又因为b1=，所以数列{bn}是以1为首项，公比为2的等比数列.（2）由（1）可知bn=1·2n-1=2n-1，所以log2bn=log22n—1=n-1。则数列｛log2bn}的前n项和Tn=1+2+3+…+（n—1）=。点睛：证明等比数列的一把方法有两个：(1)。定义法,即;（2）.等比中项法：.27.已知向量m=（sinA，）与n=（3,sinA+cosA)共线，其中A是△ABC的内角。.。.（1）求角A的大小;（2）若BC=2，求△ABC的面积S的最大值,并判断S取得