专题36三角板中的角度计算（含解析）

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专题36三角板中的角度计算

1．如图1，已知，有一个三角板BDE与共用一个顶点B，其中．

（1）若BD平分，求的度数；

（2）如图2，将三角板绕着点B顺时针旋转度（），当时，求的度数．

2．将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．

（1）如图1，若∠AOD＝35°，求∠BOC的度数．

（2）若三角板AOB保持不动，将三角板COD的边OD与边OA重合，然后将其绕点O旋转．试猜想在旋转过程中，∠AOC与∠BOD有何数量关系？请说明理由．

3．直角三角板的直角顶点在直线上，平分．

(1)在图1中，若，求；

(2)在图1中，若，________（用含的式子表示）；

(3)将图1中的三角板绕顶点旋转至图2的位置，探究：写出和的度数之间的关系，并说明理由．

4．将一副三角板按照如图1所示的位置放置在直线EF上，现将含30°角的三角板OCD绕点O逆时针旋转180°，在这个过程中，

(1)如图2，当OD平分，求的度数

(2)当OC在直线EF上方，且时，求的度数

(3)若，，请直接写出，满足的数量关系．

5．如图①．直线上有一点，过点在直线上方作射线，将一直角三角板（其中）的直角顶点放在点处，一条直角边在射线上，另一边OA在直线DE的上方，将直角三角形绕着点O按每秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为t秒．

(1)当直角三角板旋转到图②的伩置时，射线恰好平分，此时，与之间的数量关系为____________．

(2)若射线的位置保持不变，且，

①在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线，射线，射线中的某一条射线是另外两条射线所夹锐角的角平分线若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；

②在旋转过程中，当边与射线相交时，如图③，请直接写出的值____________．

6．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

（1）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠CON的度数；

（2）将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第几秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC？

（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．

7．如图1，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方．

（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分．此时______度；

（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由；

（3）将图1中的三角板绕点O按每秒v的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若第t秒时，三条射线恰好构成相等的角，则t的值为_______（直接写出结果）．

8．一块三角尺ABC如图放置，顶点B在直线MN上，，BP是的三等分线，．

（1）如图①，三角尺ABC在直线MN的上方，若，则___________度；

（2）将三角尺ABC绕点B旋转到直线MN的下方，如图②，若，求的度数；

（3）将三角尺ABC绕点B旋转一周，探究旋转过程中与的数量关系．（请直接写出结论）

9．将一副三角板如图1摆放，，，平分，平分．

（1）_______；

（2）将图1的三角板绕点逆时针旋转度至图2位置．

①当时，求的度数．

②当时，请直接写出，，之间的数量关系．

10．将一副三角板叠放在一起：

（1）如图1，在此种图案的情形下，如果，求的度数；

（2）如图2，在此种图案的情形下，是否成立？若成立，请求出的度数；若不成立，请说明理由．

11．(1)如图()，将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起

①若，则__________；若，则___________.

②猜想与的度数有何特殊关系，并说明理由.

(2)如图()，两个同样的三角尺锐角的顶点重合在一起，则与的度数有何关系？请说明理由.

(3)如图()，已知，作(，都是锐角且)，若在的内部，请直接写出与的度数关系.

12．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．

(1)将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OM恰好平分．

①t的值是_________；

②此时ON是否平分？说明理由；

(2)在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分？请说明理由；

(3)在（2）的基础上，经过多长时间，？请画图并说明理由．

13．综合与探究：

将直角三角板和直角三角板按如图1所示的方式放置，两个顶点重合于点O，且，，，平分，平分．将三角板绕，点O逆时针旋转一周的过程中（旋转中和均是指小于的角），探究的度数．

(1)当三角板绕点O旋转至如图2的位置时，与重合，则_________，_________．

(2)当三角板绕点O旋转至如图3的位置时，此时B，O，D三点在同一直线上，求的度数．

(3)三角板绕点O旋转过程中，的度数还有其他可能吗？若有，请直接写出的度数；若没有，请说明理由．

(4)类比拓展：当的度数为时，其他条件不变，在旋转过程中，请直接写出的度数．（用含的代数式表示）

参考答案：

1．（1）；（2）．

【分析】（1）由角平分线性质解题，再由解题即可；

（2）画出示意图，当时，与三角板有重叠角，根据角的和差解题即可．

【详解】（1）平分，

；

（2）当时，

．

【点睛】本题考查角平分线的性质、与三角板有关的角的和差计算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

2．（1）∠BOC=35°；（2）∠AOC+∠BOD=180°，理由见解析

【分析】（1）先求出∠BOD的度数，进而可求出∠BOC的度数；

（2）分两种情况，根据∠AOB=∠COD=90°即可求出答案．

【详解】解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOD=35°，

∴∠BOD=90°-35°=55°，

∵∠COD=90°，

∴∠BOC=90°-55°=35°；

（2）∠AOC+∠BOD=180°，

如图1时，

∵∠AOB=∠COD=90°，

∴∠AOC+∠BOD

=∠AOB+∠BOC+∠BOD

=∠AOB+∠COD

=90°+90°

=180°；

如图2时，

∠AOC+∠BOD=360°-90°-90°=180°；

综上可知，∠AOC+∠BOD=180°．

【点睛】本题考查了三角板中角的计算，正确识图是解题的关键．

3．(1)

(2)

(3)．理由见解析

【分析】（1）由∠BCE=40°和平角的定义可得∠BCD=180°-40°=140°，利用CF平分∠BCD，可得∠BCF=70°，用∠ACB-∠BCF，结论可得；

（2）利用（1）的解答方法解答即可；

（3）先求出，再根据角平分线的定义表示出∠BCF，然后根据∠ACF=∠ACB-∠BCF求解即可．

【详解】（1）解：∵，，

∴，，

又平分，

∴，

∴；

（2）解：∵，，

∴，，

又平分，

∴，

∴；

（3），理由如下：

∵点在上，

∴，

∵平分，

∴，

∵，

∴，

即：．

【点睛】本题考查了角平分线的定义，直角的定义，平角的定义．利用平角的定义计算出它的邻补角是解题的关键．

4．(1)112.5°

(2)15°

(3)当∠AOD在∠AOB内部时，；

当∠AOD在∠AOB外部时，

①旋转角度大于45°而小于等于90°，；

②旋转角度大于90°而小于等于180°，．

【分析】（1），由计算求解即可；

（2）由计算求解即可；

（3）分情况讨论当∠AOD在∠AOB内部时，；当∠AOD在∠AOB外部时，①旋转角度大于而小于等于，；②旋转角度大于而小于等于，计算求解即可．

【详解】（1）解∵OD平分∠AOB时

∴

又∵∠COD＝90°

∴．

（2）∵∠COE＝30°，∠COD＝90°，∠AOB＝45°

∵

∴．

（3）当∠AOD在∠AOB内部时，；

当∠AOD在∠AOB外部时，

①旋转角度大于而小于等于，＝135°；

②旋转角度大于而小于等于，＝225°．

【点睛】本题考查了旋转，角的计算，三角板等知识．解题的关键在于全面的讨论旋转中角度的关系．

5．(1)

(2)①；②

【分析】（1）根据OB平分∠COE，得出∠COB=∠EOB，根据∠AOB=90°，得出∠BOC+∠AOC=90°，∠BOE+∠AOD=90°，利用等角的余角性质得出∠AOC=∠AOD即可；

（2）①存在，根据，得出∠COE=180°-∠COD=180°-120°=60°，当OB平分∠COE时，直角边在射线上，∠EOB=∠BOC=，列方程15°t=30°，解得t=2；当OC平分∠EOB时，∠BOC=∠EOC=60°，∠EOB=2∠EOC=120°＞90°，∠EOB不是锐角舍去，当OE平分∠BOC时，∠EOB=∠EOC=60°，∠BOC=2∠EOC=120°＞90°∠BOC不是锐角舍去即可；

②如图根据∠COD=120°，可得AB与OD相交时，∠BOC=∠COD-∠BOD=120°-∠BOD，∠AOD=∠AOB-∠BOD=90°-∠BOD，代入计算即可．

【详解】（1）解：∵OB平分∠COE，

∴∠COB=∠EOB，

∵∠AOB=90°，

∴∠BOC+∠AOC=90°，∠BOE+∠AOD=90°，

∴∠AOC=∠AOD，

故答案为：∠AOC=∠AOD；

（2）解：①存在，

∵，

∴∠COE=180°-∠COD=180°-120°=60°，

当OB平分∠COE时，直角边在射线上，

∠EOB=∠BOC=，

则15°t=30°，

∴t=2；

当OC平分∠EOB时，∠BOC=∠EOC=60°，

∴∠EOB=2∠EOC=120°＞90°，

∴当OC平分∠EOB时，∠EOB不是锐角舍去，

当OE平分∠BOC时，∠EOB=∠EOC=60°，

∴∠BOC=2∠EOC=120°＞90°，

当OE平分∠BOC时，∠BOC不是锐角舍去，

综上，所有满足题意的t的取值为2，

②如图∵∠COD=120°，

当AB与OD相交时，

∵∠BOC=∠COD-∠BOD=120°-∠BOD，∠AOD=∠AOB-∠BOD=90°-∠BOD，

∴，

故答案为：30°．

【点睛】本题考查角平分线定义，三角板中角度计算，图形旋转，角的和差计算，熟练掌握角平分线的性质，分类讨论的思想运用是解答的关键．

6．（1）150°；（2）12或30；（3）∠AOM-∠NOC=30°，理由见解析

【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；

（2）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，则∠AON=30°或∠NOR=30°，即顺时针旋转300°或120°时ON平分∠AOC，据此求解；

（3）因为∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，然后作差即可．

【详解】解：（1）∵∠AOC=60°，

∴∠BOC=120°，

又∵OM平分∠BOC，

∠COM=∠BOC=60°，

∴∠CON=∠COM+90°=150°；

（2）延长NO，

∵∠BOC=120°

∴∠AOC=60°，

设在旋转的过程中，在第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，

当直线ON恰好平分锐角∠AOC，

∴∠AOD=∠COD=30°，

即顺时针旋转300°时NO延长线平分∠AOC，

由题意得10t=300，

解得t=30，

当NO平分∠AOC，

∴∠NOR=30°，

即顺时针旋转120°时NO平分∠AOC，

∴10t=120，

解得t=12，

故t=12或30；

（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，

∴∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，

∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°，

所以∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM-∠NOC=30°．

【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．

7．（1）25；（2），理由见详解；（3），，，

【分析】（1）由平角的定义先求出∠BOC的度数，然后由角平分线的定义求出∠BOM的度数，再根据角的和差关系可求解；

（2）根据题意得出∠AOM+∠AON=90°，∠AON+∠NOC=50°，然后两式相减即可求解；

（3）根据已知条件可知，在第t秒时，三角板转过的度数为vt°，然后按照OA、OC、ON三条射线构成相等的角分四种情况讨论即可求解问题．

【详解】解：（1）∵，

∴，

∵恰好平分，

∴，

∴；

故答案为25；

（2）与之间的关系为，理由如下：

∵，

∴∠AOM+∠AON=90°，∠AON+∠NOC=50°，

∴两式相减得：；

（3）∵三角板绕点O按每秒v的速度沿逆时针方向旋转一周，

∴第t秒时，三角板转过的度数为vt°，

①当三角板转到如图所示时，，

∵，，

∴，

∴；

②当三角板转到如图所示时，，

∵，

∴，

∴；

③当三角板转到如图所示时，，

∵，

∴，

∴；

④当三角板转到如图所示时，，

∵，

∴，

∴；

综上所述：t的值为，，，；

故答案为，，，．

【点睛】本题主要考查角的和差关系，关键是找出变化过程中的不变量，需要结合图形来计算，在计算分析的过程中注意动手操作．

8．（1）35；（2）；（3）．

【分析】（1）根据题意可求出的大小，从而得到，即可求出．

（2）根据平角的大小为，即．再根据已知即可求出的大小，从而求出的大小．

（3）根据平角的大小为，即，再将等式两边同时加一个，即可得到，再根据，可求出，最后即可求出和的数量关系．

【详解】（1）∵，

∴，

∴．

（2）∵，

∵，，

∴∠ABM=3∠ABP，∠CBN=∠ABP，

∴

∴，

∴，

（3）∵，

∴，

即．

∵，

∴，

∴，

∴，即．

【点睛】本题考查图形的旋转和含三角板的角度的计算．利用数形结合的思想结合题意找出角的等量关系是解答本题的关键．（3）较难，难点在于想出将等式两边同时加一个角，使等式更靠近结论．

9．（1）；（2）①；②

【分析】（1）根据角平分线的定义分别计算∠BOM和∠BON的度数，从而求解；

（2）①根据角平分线的定义分别计算∠DOM和∠BON的度数，从而求解；

②根据角平分线的定义分别表示出∠DOM和∠BON的度数，从而利用角的数量关系求解．

【详解】解：（1）在图1中，

∵平分，平分，，，

∴∠BOM=，∠BON=

∴

（2）在图2中，当时，

∵平分，平分，，

∴，

（3）当时，

∵平分，平分

∴，

=+

∴．

【点睛】本题考查角平分线的定义与角的运算，正确理解图意列出角之间的数量关系式正确计算是解题关键．

10．；成立，，理由见详解.

【分析】（1）根据列式求出，再根据同角的余角相等解答即可求出解；

（2）设，根据三角板表示出、然后列出方程求解得到，再求出，然后解答即可求出解.

【详解】解：（1），

，

，

，

；

（2）成立，理由如下：

设的度数为，则，

列方程得：，

解得：，

【点睛】本题考查了余角的性质，利用假设法来求解未能确定的题型.

11．（1）①120°；40°②∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析（2）∠DAB+∠CAE=120°，理由见解析（3）∠AOD+∠BOC=或∠AOD+∠BOC=或∠BOC-∠AOD=

【分析】（1）①先求出∠BCD，再代入∠ACB=∠ACD+∠BCD求出即可；先求出∠BCD，再代入∠DCE=∠BCE-∠BCD求出即可；

②根据∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠DCE=∠BCE-∠BCD，利用角的加减化简即可

（2）先表示∠CAB、∠DAB，利用角的加减即可求解.

（3）分①OD在OB上方时②OD在∠BOC内部③OD在∠AOC内部④OD在OA下方4种情况进行讨论.

【详解】(1)①若∠DCE=60°

∵∠DCE=60°，∠ACD=∠BCE=90°

∴∠BCD=∠BCE-∠DCE=30°

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=120°；

若∠ACB=140°

∵∠ACB=140°，∠ACD=∠BCE=90°

∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=50°

∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=40°

故答案为：120°；40°

②猜想：∠ACB+∠DCE=180°，理由是：

∵∠ACD=∠BCE=90°

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+∠BCD，∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°-∠BCD

∴∠ACB+∠DCE=90°+∠BCD+90°-∠BCD=180°

（2）∠DAB+∠CAE=120°，理由是：

∵∠DAC=∠EAB=60°

∴∠DAB=∠DAC+∠CAB=60°+∠CAB，∠CAE=∠BAE-∠CAB=60°-∠CAB

∴∠DAB+∠CAE=60°+∠CAB+60°-∠CAB=120°

(3)①OD在OB上方时，如图：

∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠COD-∠BOD=∠AOB+∠COD=

②OD在∠BOC内部，如图：

∠AOD+∠BOC=∠AOB-∠BOD+∠COD+∠BOD=∠AOB+∠COD=

③OD在∠AOC内部，如图：

∠AOD+∠BOC=∠AOB-∠BOD+∠BOD-∠COD=∠AOB-∠COD=

④OD在OA下方，如图：

∠BOC-∠AOD=∠AOB-∠AOC-（∠COD-∠AOC）=∠AOB-∠COD=

综上所述：∠AOD+∠BOC=或∠AOD+∠BOC=或∠BOC-∠AOD=

【点睛】本题考查了角的有关计算的应用，能灵活运用角的和差进行计算是解此题的关键.

12．(1)①5；②是，理由见解析

(2)5，理由见解析

(3)秒或秒，理由见解析

【分析】（1）①由∠AOC的度数，求出∠COM的度数，根据互余可得出∠CON的度数，进而求出时间t；

②根据图形和题意得出∠AON+∠BOM=90°，∠CON+∠COM=90°，再根据∠BOM=∠COM，即可得出ON平分∠AOC；

（2）根据图形和题意得出∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM=45°，再根据转动速度从而得出答案；

（3）需要分两种情况，当射线OC在直线AB上方时，在直线下方时两种情况，再根据旋转建立方程即可．

【小题1】解：①∵∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB，

∵∠AOC=30°，

∴∠BOC=2∠COM=150°，

∴∠COM=75°，

∴∠CON=15°，

∴∠AON=∠AOC-∠CON=30°-15°=15°，

∴∠AON=∠CON，

解得：t=15°÷3°=5；

故答案为：①5；

②是，理由如下：

由上可知，∠CON=∠AON=15°，

∴ON平分∠AOC；

【小题2】经过5秒时，OC平分∠MON，理由如下：

∵∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM，

∵∠MON=90°，

∴∠CON=∠COM=45°，

∵三角板绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，射线OC也绕O点以每秒6°的速度顺时针旋转，

设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，

当OC平分∠MON时，∠CON=∠COM=45°，

∴∠AOC-∠AON=45°，

可得：30°+6t-3t=45°，

解得：t=5；

【小题3】根据题意，有两种情况，当射线OC在直线AB上方时，如图4①，当射线OC在直线直线AB下方时，如图4②，

则有30°+6t+10°=180°，或30°+6t-10°=180°，

解得t=或，

∴经过秒或秒时，∠BOC=10°．

【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形