考点18 解三角形应用举例

考点18解三角形应用举例解答题1..(2020·全国卷Ⅰ高考文科·T18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.(1)若a=3c,b=27,求△ABC的面积;(2)若sinA+3sinC=22,求【解题指南】(1)已知角B和b边,结合a,c的关系,由余弦定理建立关于c的方程,求解得出a,c,利用面积公式,即可得出结论;(2)将A=30°-C代入已知等式,由两角差的正弦和辅助角公式,化简得出有关C的三角函数值,结合C的范围,即可求解.【解析】(1)由题设及余弦定理得28=3c2+c2-2×3c2×cos150°,解得c=-2(舍去),c=2,从而a=23.△ABC的面积为12×23×2×sin150°=3(2)在△ABC中,A=180°-B-C=30°-C,所以sinA+3sinC=sin(30°-C)+3sinC=sin(30°+C),故sin(30°+C)=22而0<C<30°,所以30°+C=45°,故C=15°.填空题2.(2020·全国卷Ⅰ高考理科·T16)如图,在三棱锥P–ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=3,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=.

【命题意图】本题考查利用余弦定理解三角形,考查计算能力,属于中等题.【解题指南】利用勾股定理计算出BC,BD,可得出BF,在△ACE中,利用余弦定理可求得CE,可得出CF,然后在△BCF中利用余弦定理可求得cos∠FCB的值.【解析】因为AB⊥AC,AB=3,AC=1,由勾股定理得BC=AB2同理得BD=6,所以BF=BD=6,在△ACE中,AC=1,AE=AD=3,∠CAE=30°,由余弦定理得CE2=AC2+AE2-2AC·AEcos30°=1+3-2×1×3×32=1所以CF=CE=1,在△BCF中,BC=2,BF=6,CF=1,由余弦定理得cos∠FCB=C=1+4-62×1×2答案:-13.(2020·新高考全国Ⅰ卷)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示,O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=35,BH∥DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为cm2【命题意图】本题考查面积的求法,考查综合运用所学知识分析解决问题的能力和运算能力,体现了直观想象和逻辑推理等核心素养.【解析】由题意得A到DG的距离与A到FG的距离相等,均为5cm,所以∠AOH=45°,设O到DE的距离为5tcm,则由tan∠ODC=35得点O到DG的距离为3tcm则OAcos45°+5t=7,OAsin45°+3t=5,因此2t=2,t=1,OA=22,OH=4,所以图中阴影部分的面积为12OA2·3π4+12×4×2-12π=52答案:52解答题4.(2020·江苏高考·T16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=2,B=45°.(1)求sinC的值;(2)在边BC上取一点D,使得cos∠ADC=-45,求tan∠DAC的值【命题意图】本题主要考查正余弦定理及两角和差公式的应用,考查学生解题的严谨性.【解析】(1)由余弦定理,得cosB=cos45°=a2+c2-因此b2=5,即b=5,由正弦定理csinC=bsinB,得2sinC=522(2)因为cos∠ADC=-45所以sin∠ADC=1-cos2因为∠ADC∈π2,π,所以C所以cosC=1-sin2所以sin∠DAC=sin(π-∠DAC)=sin(∠A