考点24 数列求和及综合应用

考点24数列求和及综合应用1.(2021·浙江高考·T10)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an1+an(n∈N*).记数列{an}的前n项和为Sn,则A.12<S100<3 B.3<S100C.4<S100<92 D.92<S【命题意图】本题主要考查数列的综合应用及均值不等式.考查考生分析问题及解决问题的能力.【解析】选A.因为数列{an}满足a1=1,an+1=an1+an(n∈N*),所以a2=12,a3=1-22,0<an+1由an+1=an1+an,可得1an+1=1a所以1an+1<1an+122,所以1an+1<1an+12,即1an+1−1an<12,由累加法得1an≤1+n-12=n+12所以an+1an≤n+1n+3,则an+1an·anan-1·an-1an-2即an+1a1≤3×2(n+3)(n+2),所以61101-1102+1100-1101+…+13-14+12-1【反思总结】本题解题关键是通过倒数法先找到an,an+1的不等关系,再由累加法可求得an≥4(n+1)2,由题目条件可知要证S100小于某数,从而通过局部放缩得到an,an+1的不等关系,改变不等式的方向得到an2.(2021·北京新高考·T10)数列{an}是递增的整数数列,且a1≥3,a1+a2+…+an=100,则n的最大值为 ()A.9 B.10 C.11 D.12【命题意图】本题考查数列求和、数列单调性、整数的性质等问题,意在考查考生的化归与转化思想,逻辑推理、数学运算素养.【解析】选C.要想n最大,前面的项越小越好.考虑从3开始的连续整数,3到13的和不足100,3到14的和超过100,所以要想n最大,需取3到12,再添上一个数使得和为100(此数为25,但不需要算出),此时有11个数,即n最大为11.3.(2021·新高考I卷·T16)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸,对折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240dm2,对折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三种规格的图形,它们的面积之和S2=180dm2,以此类推,则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为;如果对折n次,那么∑k=1nSk=【命题意图】本题主要考查实际应用问题,旨在考查数据处理能力及逻辑推理能力.【解析】对折3次有2.5×12,6×5,3×10,20×1.5共4种,面积和为S3=4×30=120dm2,对折4次有1.25×12,2.5×6,3×5,1.5×10,20×0.75共5种,面积和为S4=5×15=75dm2,对折n次有n+1种类型,Sn=2402n(n+1),因此∑k=1nS12∑k=1nSk=240·222+323答案:5240·34.(2021·浙江高考·T20)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-94,且4Sn+1=3Sn-9(n∈N*)(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}满足3bn+(n-4)an=0(n∈N*),记{bn}的前n项和为Tn.若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围.【命题意图】本题主要考查构造递推公式、错位相减等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.【解析】(1)当n=1时,4(a1+a2)=3a1-9,4a2=94-9=-274,∴a2=-当n≥2时,由4Sn+1=3Sn-9①,得4Sn=3Sn-1-9②,①-②得4an+1=3an,a2=-2716≠0,∴an≠0,∴an+1an=34∴{an}是首项为-94,公比为34的等比数列,∴an=-94·34(2)由3bn+(n-4)an=0,得bn=-n-43an=(n-4)34n,所以Tn=-3×34-2×342-1×343+0×334Tn=-3×342-2×343-1×344+…+(n-5)·34两式相减得14Tn=-3×34+342+343+344+…+=-94+9161-34n-11-34-(n-4)34n+1=-9所以Tn=-4n·34n+1,由Tn≤λbn得-4n·34n+1≤λ(n-4)·34n恒成立,即λ(nn=4时不等式恒成立,n<4时,λ≤-3nn-4=-3-12n-n>4时,λ≥-3nn-4=-3-12n-4,得λ≥-3,【反思总结】本题易错点:(1)已知Sn求an不要忽略n=1的情况;(2)恒成立分离参数时,要注意变量的正负零讨论,如(2)中λ(n-4)+3n≥0恒成立,要对n-4=0,n-4>0,n-4<0讨论,还要注意n-4<0时,分离参数不等式要变号.5.(2021·北京新高考·T21)(12分)定义Rp数列{an}:对实数p,满足:①a1+p≥0,a2+p=0;②∀n∈N*,a4n-1<a4n;③am+n∈{am+an+p,am+an+p+1},m,n∈N*.(Ⅰ)对于前4项2,-2,0,1的数列,可以是R2数列吗?说明理由;(Ⅱ)若{an}是R0数列,求a5的值;(Ⅲ)是否存在p,使得存在Rp数列{an},对∀n∈N*,Sn≥S10?若存在,求出所有这样的p;若不存在,说明理由.【命题意图】本题考查数列通项、求和等等,意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象素养.【解析】(I)不可以是R2数列.理由如下:当m=n=1时,a2∉{a1+a1+2,a1+a1+3},不满足③,故不可以是R2数列;(II)若an是R0是数列,则a2+0=0,故a2=0,令m=n=1,a2∈{2a1,2a1+1故a1=0或a1=-12(舍),则a1=0,令m=1,n=2,得到a3∈{0,1令m=n=2,得到a4∈{0,1},又a3<a4,所以a3=0,a4=1,令m=2,n=3,a5∈{0,1},令m=1,n=4,a5∈{1,2},故a5=1;(Ⅲ)存在p=2,使得存在Rf数列{an},对∀n∈N*,Sn≥S10.由题意知,a2=-p,a2∈{2a1+p,2a1+p+1},又a1+p≥a2+p,故a1≥a2,可得a1=-p,因为a3∈{-p,-p+1},a4∈{-p,-p+1},且a4>a3,故a3=-p,a4=-p+1,因为a5∈{-p+1,-p+2},a5∈{-p,-p+1},故a5=-p+1,a6∈{-p+1,-p+2},a6∈{-p,-p+1},故a6=-p+1,a7∈{-p+1,-p+2},a8∈{-p+1,-p+2},又a8>a7,故a7=-p+1,a8=-p+2,a9∈{-p+2,-p+3},a9∈{-p+1,-p+2},故a9=-p+2,a10∈{-p+2,-p+3},a10∈{-p+1,-p+2},故a10=-p+2,a11∈{-p+2,-p+3},a12∈{-p+2,-p+3},又a12>a11,故a