考点31 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积

考点31空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积1.(2021·全国甲卷·T11)已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为 ()A.212 B.312 C.24 【命题意图】本题考查球、棱锥的概念及其体积的求法,考查考生空间想象能力以及运算求解能力.【解析】选A.因为AC⊥BC,AC=BC=1,所以AB=2,所以OO'=OA2-AO'2=12-222=22.所以VO-ABC=13·S△ABC·OO'【方法技巧】球的截切问题常用方法有:(1)三条棱两两互相垂直时,可恢复为长方体,利用长方体的体对角线为外接球的直径,求出球的半径;(2)直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行,借助球的对称性,球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点,再根据勾股定理求球的半径;(3)如果涉及几何体有两个面相交,可过两个面的外心分别作两个面的垂线,垂线的交点为几何体的球心.2.(2021·全国甲卷·T6)在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G,该正方体截去三棱锥A-EFG后,所得多面体的三视图中,正视图如图所示,则相应的侧视图是 ()【命题意图】本题考查空间几何体的结构特征,考查三视图和直观图以及学生的空间想象能力的掌握情况.【解析】选D.由题可得直观图,如下图.3.(2021·新高考I卷·T3)已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为()A.2 B.22 C.4 D.42【命题意图】本题考查旋转体的结构特征,旨在考查直观想象与数学运算的核心素养.【解析】选B.设母线长为l,则底面周长为22π,其侧面展开图半周长为πl,故πl=22π,所以l=22.4.(2021·浙江高考·T4)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是 ()A.32 B.3 C.322 【命题意图】本题主要考查空间几何体的三视图及体积的计算.【解析】选A.由三视图易得该几何体为以一个上底为2,下底为22的等腰梯形为底面的四棱柱,高为1.所以体积=12×(2+22)×22×1=5.(2021·北京新高考·T4)某四面体的三视图如图所示,该四面体的表面积为 ()A.3+32 B.12C.【命题意图】本题考查由三视图求表面积,意在考查考生的化归与转化思想,直观想象、逻辑推理、数学运算素养.【解析】选A.画正方体,删去不需要的点,剩下4个点就是所求三棱锥的顶点,如图.S=3×12×1×1+34×(1+1)=6.(2021·北京新高考·T8)定义:24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度.其中小雨(<10mm),中雨(10~25mm),大雨(25~50mm),暴雨(50~100mm),小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水,如图,则这天降雨属于哪个等级()A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨【命题意图】本题考查空间几何体圆锥体积的实际应用,意在考查考生的化归与转化思想,数学建模、数学运算、逻辑推理素养.【解析】选B.根据圆锥的特征得,大、小圆锥截面的两三角形相似,小圆锥底面半径r=2002×12=50(mm),所以V小=13×π×502×150=503π(mm3),积水厚度h=V小S大圆=503π7.(2021·新高考II卷·T5)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为 ()A.20+123 B.282C.563 【命题意图】本题考查空间几何体的结构特征及体积计算等问题,意在考查直观想象及数学运算等核心素养.【解析】选D.作出图形,连接该正四棱台上、下底面的中心,如图,因为该四棱台上、下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,所以该棱台的高h=22-(2下底面面积S1=16,上底面面积S2=4,所以该棱台的体积V=13h(S1+S2+S1S2)=13×2×(16+4+【方法总结】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上、下底面面积,再由棱台的体积公式即可得解.8.(2021·全国甲卷·T14)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的侧面积为.

【命题意图】本题考查圆锥的概念,圆锥的体积,侧面积公式,考查考生的空间想象能力,运算求解能力等.【解析】依题设可知:30π=13πr2h=12πh所以h=52,母线l=13所以该圆锥的侧面积为πrl=6×132π=39π答案:39π9.(2021·全国乙卷文科·T16)同(2021·全国乙卷理科·T16)以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为(写出符合要求的一组答案即可).

【命题意图】本题没有给出“几何体”的空间图形,只给出这个“几何体”的正视图,要求考生在所给的四个图中选出两个分别作为侧视图和俯视图,与正视图组成这个“几何体”的三视图.本题的正确答案有两组,具有开放性.考生可以先从侧视图入手,借助于线面空间关系,确定相应的俯视图;也可以先从俯视图入手,然后选定相应的侧视图.【解析】由高度可知,侧视图只能为②或③.侧视图为②,如图(1),平面PAC⊥平面ABC,PA=PC=2,BA=BC=5,AC=2,俯视图为⑤.侧视图为③,如图(2),PA⊥平面ABC,PA=1,AC=AB=5,BC=2,俯视图为④.答案:②⑤或③④【反思总结】不同的答案对应着不同的思考方案,其思维的灵活性体现在方案的选择上,考查了考生的空间想象能力.10.(2021·全国乙卷文科·T18)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,M为BC的中点,且PB⊥AM.(1)证明:平面PAM⊥平面PBD;(2)若PD=DC=1,求四棱锥P-ABCD的体积.【命题意图】本题主要考查立体几何的线面垂直及面面垂直的证明,以及利用公式求四棱锥的体积.突出考查分析问题和解决问题的能力.【解析】(1)证明:因为PD⊥平面ABCD,AM⊂平面ABCD,所以PD⊥AM.因为PD⊥AM,PB⊥AM,PB∩PD=P,PB⊂平面PBD,PD⊂平面PBD,所以AM⊥平面PBD.又因为AM⊂平面PAM,所以平面PAM⊥平面PBD.(2)因为M为BC的中点,所以BM=12AD,且AB=DC=1①因为AM⊥平面PBD,BD⊂平面PB