浙教版数学八年级上册第2章特殊三角形微专题-动点问题训练2（含解析）

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第2章特殊三角形微专题——动点问题训练2

1．如图，在中，，点D是线段BC上一个动点，点F在线段上，且，．垂足E在的延长线上．

(1)如图1，当点D与点C重合时，线段和的数量关系是______；

(2)如图2，当点D不与点B，C重合，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由．

2．如图1，在△ABC中，，若AB=2BC，则有，利用以上结论解决问题：

如图2，等边△ABC的边长为20cm，动点P从B出发，以每秒1cm的速度向终点A运动，动点Q从点A出发，以每秒acm的速度向终点C运动，两动点同时出发，当动点P到达终点A时，动点Q也随之停止运动．设动点P的运动时间为t秒．

(1)填空：＝________度；t的取值范围是________；

(2)当时，t为多少秒时，是等边三角形；

(3)当时，t为多少秒时，是直角三角形．

3．在中，，，点F为直线上一动点，连接，将线段绕点E逆时针旋转，得到线段，连接．

(1)如图1，当时，请写出线段和线段之间的数量关系，并证明；

(2)如图2，当时，其它条件不变，试判断线段、、的数量关系，并证明．

4．在中，，，．

(1)如图1，求点到边的距离；

(2)如图2，点是线段上一动点．过点作交于点，当时，求的长；

(3)如图3，点是直线上一动点，连接，请直接写出当为何值时，为等腰三角形．

5．是等边三角形，D是边（端点除外）上一动点，连接．

(1)如图1，以为边作等边，连接．

①求证：；

②，F为的中点，连接，当的长取最小值时，求的长．

(2)如图2，M是延长线上的点，，N为的中点，连接，求证：．

6．如图，在中，平分，动点P在线段上移动，交的延长线于点E．

(1)若，求的度数；

(2)若，且，求的度数．

7．如图，中，，，点是上一动点，连接，过点作，并且始终保持，连接．

(1)求证：；

(2)若平分交于，探究线段，，之间的数量关系，并证明；

(3)在（2）的条件下，若，，直接写出的长．

8．如图，中，于D，且；已知，如图，动点M从点B出发以每秒的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）．

(1)若的边与平行，求t的值；

(2)在点N运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

9．如图中，，动点P从点C开始以每秒1个单位的速度，按的路径运动，设运动的时间为t秒．

(1)当P在上，；当P在上，；．（用t表示)

(2)当t为何值时，？

(3)在运动过程中，当为等腰三角形时，请直接写t的值．

10．已知为等边三角形，点D为直线上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边作等边三角形，连接．

(1)如图1，当点D在边上时．求证：；

(2)如图2，当点D在边的延长线上时，其他条件不变，请写出线段、、之间的数量关系，并写出证明过程．

11．如图，在等腰中，，，垂足为，已知，．

(1)求与的长；

(2)点是线段上的一动点，当为何值时，为等腰三角形．

12．如图，在中，，的平分线交于点，点为上一动点，过点作直线于点，分别交直线、、于点、、．

(1)如图1，当点与点重合时，求证：；

(2)如图2，当点在的延长线上时，、、之间具有怎样的数量关系？并说明理由．

13．在中，，，，点D为边上的一个动点，连接，点A关于直线的对称点为点E，直线交于点F．

(1)如图1，当时，根据题意将图形补充完整，并直接写出的度数；

(2)如图2，当时，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．

14．如图，为等边三角形．点D，点E为直线和上的动点．

(1)如图1所示，点D为延长线上一点，点E为上一点时，连结，．且，求证：；

(2)如图2所示，当点E为延长线上一点时，，、、之间有怎样的数量关系？请直接写出结论．

15．已知是等边的高，为边上的一个动点（不与、重合），与相交于点，连接．

(1)求证：；

(2)当是以为腰的等腰三角形时，求的度数；

(3)作，交于点，猜想、的数量关系并说明理由．

16．如图1，在中，于点O，，，过点A作于点H，交于点P．

(1)求线段的长度；

(2)连接，求的度数；

(3)如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．

17．如图，在中，，，为边上一动点，且不与点点重合，连接并延长，在延长线上取一点，使，连接．

(1)若，则_____，_____．

(2)若，小明说一定是，你认为正确吗？请说明理由．

(3)如图，过点作于点，的延长线与的延长线交于点，求证：．

18．如图，是的角平分线，是线段上的一动点，连接，已知长为6．

(1)当点运动到时，求证：是等腰三角形．

(2)当点运动到时，此时的长为3，请画出图形并求的面积．

参考答案：

1．(1)

(2)成立，理由见解析

【分析】（1）延长与交于点G，先证明，判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，再根据，可得，据此判断即可．

（2）过点D作，与交于H，与的延长线交于G，根据，，判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出；最后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，所以，据此判断即可．

【详解】（1）如图1，延长与交于点G，

，

，

，

∵，

∴，

在和中

，

∴，

，

，

，

即，

在和中，

，

，

，

又，

．

故答案为：．

（2）结论：，

理由如下：如图2，过点D作，与交于H，与的延长线交于G，

，

，，

，

，

又，

同理（1）可得，，

∴．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

2．(1)60；

(2)

(3)t为4或10

【分析】（1）根据等边三角形的性质解答；

（2）根据等边三角形的性质列出方程，解方程即可；

（3）分或两种情况，根据题意列出方程，解方程即可．

【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴，，

∵动点Q从点A出发，以每秒2cm的速度向终点C运动，两动点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，

∴，

故答案为：60；；

（2）当△APQ是等边三角形时，，

∴20-t=2t，

解得，，

∴当t运动秒时，是等边三角形；

（3）由结论可知，当AP=2AQ或AQ=2AP时，是直角三角形，

①时，20-t=2×2t，

解得，，

②时，2(20-t)=2t，

解得，，

∴当t为4或10时，是直角三角形．

【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的判定，掌握等边三角形的判定、直角三角形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．

3．(1)，证明见解析

(2)，证明见解析

【分析】（1）根据证明，即可得出结论；

（2）根据证明，得出，，证明，根据勾股定理即可证明结论．

【详解】（1）解：，证明如下：

由题意得：，，

∴，

即，

在和中，，

∴，

∴；

（2）解：，证明如下：

∵，

∴，

在和中，，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

在中，，

∴．

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．

4．(1)

(2)

(3)的长为或或时，为等腰三角形

【分析】（1）过点作于点，先运用勾股定理求得长，再运用面积公式列出关于的方程即可求得点到边的距离

（2）连接，用证得，得到，最后由即求得的值，设，则,在中，，勾股定理即可求解；

（3）分三种情况讨论：第一种情况，当时，为等腰三角形；第二种情况，当时为等腰三角形，第三种情况，当时，为等腰三角形，分别画出图形即可求解．

【详解】（1）解：如图，

过点作于点，

在中，由勾股定理得，，

即，解得．

，，

，

点到边的距离为；

（2）连接，如下图2．

，

，

，

在与中，

∴，

，

，

的长为；

设，则,

在中，，

，

解得：，

即;

（3）分三种情况计论：

第一种情况，当时，为等腰三角形；

，

．

，

，，

，

，

，

；

第二种情况，当时为等腰三角形，

第三种情况，当时，为等腰三角形，

如图，过点作于点，

由（1）可得，

∴，

，

∴，

综上所述，的长为或或时，为等腰三角形．

【点睛】此题考查用勾股定理计算长度和等腰三角形的性质判定，掌握相关基本技能是关键．最后一问要注意分情况讨论．

5．(1)①见解析；②

(2)见解析

【分析】（1）①根据等腰和的性质证明，则；

②根据可得，再根据垂线段最短和含的直角三角形的性质求解即可；

（2）过点A作交的延长线于点P，连接，分别证明和并结合等边三角形和平行线的性质即可证明结论．

【详解】（1）①∵都是等边三角形，

∴，，，，

∴，即，

在和中，

，

∴，

∴；

②解：∵，

∴，

∵，F为的中点，

∴，

当点时，的长取最小值，

此时，，，

∴；

（2）证明：过点A作交的延长线于点P，连接，

∴，

∵N是中点，

∴，

在和中

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴

∴是等边三角形，

∵，

∴．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质和含的直角三角形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．

6．(1)；

(2)．

【分析】（1）由，根据三角形内角和定理可得，由平分可得，进而求得，由即可求得∠E；

（2）利用等腰三角形的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理及推论即可求出∠E．

【详解】（1）解：∵，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

（2）解：∵，

∴．

∵平分，

∴．

设，则．

∵，

∴，解得．

∴，

∴．

∵，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键．

7．(1)见解析

(2)，理由见解析

(3)

【分析】（1）利用，只要证明即可解决问题；

（2）连接，只需证明，，利用勾股定理即可得到结论；

（3）过点作于，根据，，由（2）可知，可以得出，又因为，，所以，根据即可解决问题．

【详解】（1）证明：∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，

在和中，

，

∴（）

（2）结论：．理由如下：

如图，连接，

∵，，

∴，

由（1）可知，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∵平分，

∴，

在和中

，

∴（），

∴，

∴

（3）如图，过点作于，

∵，，

由（2）可知，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了三角形的综合题、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

8．(1)5或6

(2)能，5或6或

【分析】（1）设，根据三角形的面积公式求出x，再根据等腰三角形的性质求出t；

（2）分、、三种情况，根据等腰三角形的概念和性质计算即可．

【详解】（1）解：设，，，

则，

在中，由勾股定理得：，

∴，

∴是等腰三角形；

∵，，

∴，

∴，，，．

∵，

∴，

①当时，，，

∴，

∴，即，

∴；

②当时，，

∴；

综上所述，若的边与BC平行时，t值为5或6．

（2）能成为等腰三角形，分三种情况：

①当时，；

②当时，，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴；

③当时，

过D作于点G，

则，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

综上所述，能成为等腰三角形，t的值为5或6或．

【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、三角形面积以及分类讨论等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．

9．(1)；；

(2)

(3)，，，

【分析】（1）根据题意得出代数式即可；

（2）由勾股定理即可得出答案；

（3）分情况讨论，由等腰三角形的判定与性质分别求解即可．

【详解】（1），

，

设运动的时间为t秒，

，

故答案为：；；；

（2）当点P在上时，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

（3）当点P在上时，；

当点P在上时，分三种情况：

①当，如图1所示：

则，

所以；

②当时，

过点C作于M，如图2所示：

则，

∵，

∴，

在中，由勾股定理得：，

∴，

∴，

∴；

③当时，如图3所示：

则，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

综上所述，当或12或10.8或13时，为等腰三角形．

故答案为：6或12或10.8或13．

【点睛】本题考查了三角形综合题，勾股定理、等腰三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．

10．(1)见解析

(2)，证明见解析

【分析】（1）利用等边三角形的性质和角之间的关系得到到条件，证明

，则，由即可得到结论；

（2）利用等边三角形的性质和角之间的关系得到到条件，证明，则，由，即可得到结论；

【详解】（1）证明：∵和是等边三角形，

∴，，，

∴

∴．

在和中，

，

∴，

∴．

∵，

∴．

（2）BC+CD=CE．

∵和是等边三角形，

∴，，，

∴，

∴．

在和中，

∴，

∴．

∵，

∴．

【点睛】此题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．

11．(1)，

(2)当或3或3.6时，为等腰三角形

【分析】（1）由勾股定理直接求得，设，由勾股定理列出的方程，即可求得；

（2）分三种情况：，，，分别进行解答即可．

【详解】（1）解：由勾股定理得，，

设，则，

在Rt中，由勾股定理得，，

解得，

；

（2）解：当时，为等腰三角形，

当时，如图，

，

，

，

，

，

当时，如图，过作于点，

，

设，则，

，

即，

解得，

，

综上，当或3或3.6时，为等腰三角形．

【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．

12．(1)见解析

(2)，理由见解析

【分析】连接，根据平分，，可得，从而得到，进而得到，可得到，进而得到，再由，可得，从而得到，即可；

（2）过点C作交于点F，交于点G，连接，根据平分，，可得，同理，从而得到，进而得到，，可得到，再由，可得，从而得到，即可．

【详解】（1）证明：如图，连接，

∵平分，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（2）解：，理由如下：

如图，过点C作交于点F，交于点G，连接，

∵平分，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

同理，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，利用类比思想解答是解题的关键．

13．(1)图见解析，

(2)，证明见解析

【分析】（1）画出图形后连接，根据对称性可得，分别求出、利用三角形内角和求解即可．

（2）连接，证出，在中，利用由勾股定理得，，在中，利用由勾股定理得，，进行代换即可得出线段之间的数量关系是：．

【详解】（1）解：延长，关于作A点的对称点E，连接和延长线交于F点，如下图，

连接，

∵A点、E点关于对称，

∴是的中垂线，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

（2）猜想线段之间的数量关系是：．

证明：连接．

∵点E和点A关于对称，

∴，，，，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

在中，由勾股定理得，，

在中，由勾股定理得，，

∴，

∴．

【点睛】本题考查对称的性质、线段平分线的性质及等腰三角形的判定与性质、对称轴垂直平分对称点的连线、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，熟练掌握勾股定理是解题关键．

14．(1)证明见解析

(2)，证明见解析

【分析】（1）如图1中，作交的延长线于M．只要证明，可得即可解决问题；

（2）如图2中，结论：．证明方法类似（1）；

【详解】（1）证明：如图1中，作交的延长线于M．

∵是等边三角形，

∴，，，

∴是等边三角形，

∴，，

∴，

∵，∴，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∴，

∴．

（2）解：如图2中，结论：．

理由：作交的延长线于M．

∵是等边三角形，

∴，，，

∴是等边三角形，

∴，，

∴，

∵，∴，

∴，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查三角形综合题、等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

15．(1)见解析

(2)

(3)，理由见解析

【分析】（1）先判断出是的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质得出结论；

（2）根据是以为腰的等腰三角形可知，再利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质求解即可；

（3）先判断出，进而作辅助线构造出全等三角形，即可得出结论．

【详解】（1）证明：∵是等边的高，

∴是的垂直平分线，

∵点E在上，

∴；

（2）解：∵是等边的高，

∴，

∵是以为腰的等腰三角形，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴；

（3）解：，

理由：∵，，

∴，

∴，

∴，

过点E作，，

∵是的平分线，

∴；

在和中，，

∴，

∴．

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质以及全等三角形的判定和性质等知识，解本题的关键是掌握等边三角形的性质，是一道比较简单的中考常考题．

16．(1)1

(2)

(3)不改变，

【分析】(1)证，即可得出；

(2)过O分别作于M点，作于N点，证，得出，得出平分，即可得出结论；

(3)连接，由等腰直角三角形的性质得，，，则，证出，证，得，进而得出答案．