2020-2021学年北师大版数学九年级下册第三章测试题及答案解析（二）

北师大版数学九年级下册第三章测试题（二）

（圆）

一、选择题

1.在平面直角坐标系xOy中，经过点（sin45°,cos30°）的直线，与以原点

为圆心，2为半径的圆的位置关系是（）

A.相交B.相切

C.相离D.以上三者都有可能

2.如图，菱形ABCD的边AB=20,面积为320,ZBAD<90°,。0与边AB,AD

都相切，A0=10,则。0的半径长等于（）

3.如图，P为。。外一点，PA、PB分别切。。于A、B,CD切。0于点E,分别

交PA、PB于点C、D,若PA=5,则4PCD的周长为（）

4.如图，AB是。。的直径，点E为BC的中点，AB=4,ZBED=120°,则图中阴

影部分的面积之和为（）

▽1

B

E

C

A.5/3B.273C.返D.1

2

5.已知点0为AABC的外心，若NA=80°,则NBOC的度数为（）

A.40°B.80°C.160°D.120°

6.点P在。0内，OP=2cm,若。0的半径是3cm,则过点P的最短弦的长度为

（）

A.1cmB.2cmC.^/5cmD.2V^cm

7.已知A为。。上的点，。。的半径为1,该平面上另有一点P,PAKQ,那么

点P与。0的位置关系是（）

A.点P在。。内B.点P在。。上C.点P在。0外D.无法确定

8.如图：点A、B、C、D为。。上的四等分点，动点P从圆心0出发，沿0-C

-D-0的路线做匀速运动.设运动的时间为t秒，ZAPB的度数为y.则下列

图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）

卜，

A.0।；B.0t

I.

C.olJD.O1

二、填空题

9.如图，CD是。0的直径，弦AB_LCD于点H,若ND=30°,CH=lcm,贝UAB=

cm.

10.在ZXA0B中,AB=0B=2,△（：（©中,CD=0C=3,ZAB0=ZDC0.连接AD、BC,

点M、N、P分别为OA、0D、BC的中点.

①若A、0、C三点在同一直线上，且NAB0=2a,则必（用含有a的

BC

式子表示）；

②固定△AOB,将绕点0旋转，PM最大值为.

11.如图，ZA0B=30°,0M=6,那么以M为圆心，4为半径的圆与直0A的位置

关系是_________

12.如图，ZXABC内接于00,ZB=Z0AC,0A=8cm,则AC=cm.

三、解答题

13.如图，在Rt^AOB中，ZB=40°,以0A为半径，0为圆心作00,交AB于

点C,交0B于点D.求百的度数.

14.如图，一面墙上有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆

弧所在的圆外接矩形，已知矩形的高AC=2米，宽CD=Zy百米.

(1)求此圆形门洞的半径；

(2)求要打掉墙体的面积.

CD

15.如图，有两条公路OM,ON相交成30°,沿公路0M方向离两条公路的交叉

处0点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米

内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的

速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿0N方向行驶时给小学带来噪音影响的时

间是多少？

学校)

16.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框

架.《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一

寸，锯道长一尺，间径几何？"（如图①）

图①图②

阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO±CD

于点A,求间径就是要求。。的直径.

再次阅读后，发现AB=寸，CD=寸（一尺等于十寸），通过运用有

关知识即可解决这个问题.请你补全题目条件，并帮助小智求出。0的直径.

17.如图，在。0中，AB是直径，CD是弦，AB1CD.

（DP是面上一点（不与C、D重合），求证：ZCPD=ZCOB；

⑵点P'在劣弧CD±（不与C、D重合）时，NCP'D与NCOB有什么数量关

系？请证明你的结论.

18.如图，已知aABC是等边三角形，以AB为直径作。0,交BC边于点D,交

AC边于点F,作DE_LAC于点E.

⑴求证:DE是00的切线;

(2)若AABC的边长为4,求EF的长度.

答案与解析

1.在平面直角坐标系xOy中，经过点(sin45°,cos30°)的直线，与以原点

为圆心，2为半径的圆的位置关系是()

A.相交B.相切

C.相离D.以上三者都有可能

【考点】MB：直线与圆的位置关系；D5：坐标与图形性质；T5：特殊角的三角

函数值.

【专题】选择题

【分析】设直线经过的点为A,若点A在圆内则直线和圆一定相交；若点在圆

上或圆外则直线和圆有可能相交或相切或相离，所以先要计算0A的长和半径2

比较大小再做选择.

【解答】解：设直线经过的点为A,

•••点A的坐标为(sin45°,cos30°),

•••呵乡产+除噂,

•.•圆的半径为2,

/.0A<2,

...点A在圆内，

直线和圆一定相交，

故选A.

【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点有特殊角的锐角三角

函数值、勾股定理的运用，判定点A和圆的位置关系是解题关键.

2.如图，菱形ABCD的边AB=20,面积为320,ZBAD<90°,。。与边AB,AD

都相切，A0=10,则。0的半径长等于（）

【考点】MC：切线的性质；L8：菱形的性质.

【专题】选择题

【分析】如图作DHLAB于H,连接BD,延长A0交BD于E.利用菱形的面积公

式求出DH,再利用勾股定理求出AH,BD,由△AOFS/XDBH,可得熟=”，即

BDBH

可解决问题.

【解答】解：如图作DH_LAB于H,连接BD,延长A0交BD于E.

•••菱形ABCD的边AB=20,面积为320,

/.AB«DH=320,

.\DH=16,

在RtZ\ADH中，AH=^AD2_DH2=12,

.*.HB=AB-AH=8,

在Rt^BDH中，BD=^DH2+BH2=875,

设。0与AB相切于F,连接AF.

VAD=AB,OA平分NDAB,

.".AE1BD,

VZ0AF+ZABE=90°,ZABE+ZBDH=90°,

/.ZOAF=ZBDH,VZAF0=ZDHB=90°,

/.△AOF^ADBH,

ApA=pFt

・•丽BH，

••1•0-=^-~OF9

8758

.•.0F=2收.

故选C.

【点评】本题考查切线的性质、菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和

性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，

属于中考常考题型.

3.如图，P为。0外一点，PA、PB分别切。。于A、B,CD切。0于点E,分别

交PA、PB于点C、D,若PA=5,则4PCD的周长为（）

【考点】MG：切线长定理.

【专题】选择题

【分析】由切线长定理可得PA=PB,CA=CE,DE=DB,由于△PCD的周长

=PC+CE+ED+PD,所以4PCD的周=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA,故可求得三角形的

周长.

【解答】解：YPA、PB为圆的两条相交切线，

/.PA=PB,

同理可得：CA=CE,DE=DB.

:△PCD的周长=PC+CE+ED+PD,

二APCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA,

/.△PCD的周长=10,

故选D.

【点评】本题考查了切线的性质以及切线长定理的运用.

4.如图，AB是。。的直径，点E为BC的中点，AB=4,ZBED=120°,则图中阴

影部分的面积之和为（）

【考点】M0：扇形面积的计算.

【专题】选择题

【分析】首先证明AABC是等边三角形.则AEDC是等边三角形，边长是2.而

统和弦BE围成的部分的面积=笳和弦DE围成的部分的面积.据此即可求解.

【解答】解：连接AE,OD、0E.

•.•AB是直径，

AZAEB=90°,

又•.♦/BED=120°,

/.ZAED=30°,

/.ZA0D=2ZAED=60o.

VOA=OD

AAOD是等边三角形，

/.Z0AD=60°,

•.•点E为BC的中点，ZAEB=90°,

；.AB=AC,

...△ABC是等边三角形，边长是4.AEDC是等边三角形，边长是2.

/.ZBOE=ZEOD=60°,

...熊和弦BE围成的部分的面积=症和弦DE围成的部分的面积.

，阴影部分的面积=$△时=返义2Jb.

故选：A.

【点评】本题考查了等边三角形的面积的计算，证明4EDC是等边三角形，边

长是4.理解前和弦BE围成的部分的面积=应和弦DE围成的部分的面积是关

键.

5.已知点0为aABC的外心，若NA=80°,则NBOC的度数为()

A.40°B.80°C.160°D.120°

【考点】MA：三角形的外接圆与外心.

【专题】选择题

【分析】根据圆周角定理得NB0C=2NA=160°.

【解答】解：•.•点0为AABC的外心，ZA=80°,

.,.ZB0C=2ZA=160°.

故选C.

【点评】熟练运用圆周角定理计算，即在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于

它所对的圆心角的一半.

6.点P在。0内，OP=2cm,若。0的半径是3cm,则过点P的最短弦的长度为

()

A.1cmB.2cmC.D.

【考点】M2：垂径定理；KQ：勾股定理.

【专题】选择题

【分析】过P作AB±OP交圆与A、B两点，连接0A,故AB为最短弦长，再解

RtAOPA,即可求得AB的长度，即过点P的最短弦的长度.

【解答】解：过P作ABLOP交圆与A、B两点，连接0A,如下图所示：

故AB为最短弦长，

由垂径定理可得：AP=PB

已知0A=3,0P=2

在Rt^OPA中，由勾股定理可得:

AP2=0A2-OP2

AP=5y32_22=V5cm

AB=2AP=2代cm

故此题选D.

【点评】本题考查了最短弦长的判定以及垂径定理的运用.

7.已知A为上的点，。0的半径为1,该平面上另有一点P,PA=V3,那么

点P与。0的位置关系是（）

A.点P在。。内B.点P在。。上C.点P在。。外D.无法确定

【考点】M8：点与圆的位置关系.

【专题】选择题

【分析】根据题意可知点P可能在圆外也可能在圆上，也可能在圆内，所以无

法确定.

【解答】解：..74=我，。。的直径为2

.•.点P的位置有三种情况：①在圆外，②在圆上，③在圆内.

故选D.

【点评】本题考查了圆的认识，做题时注意多种情况的考虑.

8.如图：点A、B、C、D为。0上的四等分点，动点P从圆心0出发，沿0-C

-D-0的路线做匀速运动.设运动的时间为t秒，ZAPB的度数为y.则下列

图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）

D,

9.如图，CD是。0的直径，弦AB±CD于点H,若ND=30°,CH=lcm,则AB=

273_cm.

【考点】M2：垂径定理.

【专题】选择题

【分析】连接AC,BC.利用圆周角定理知ND=NB,然后根据己知条件“CD是

。。的直径，弦ABJ_CD于点H”，利用垂径定理知BH=LB；最后再由直角三角

2

形CHB的正切函数求得BH的长度，从而求得AB的长度.

【解答】解：连接AC、BC.

VZD=ZB（同弧所对的圆周角相等），ND=30°,

.,.ZB=30°；

又「CD是GO的直径,弦AB_LCD于点H,

...BH=1AB；

2

在RtaCHB中，ZB=30°,CH=lcm,

/.BH=—皿—,即BH=Vs：

tan30°

AB=2^/3cm.

故答案是：2A/3-

【点评】本题考查了垂径定理和直角三角形的性质，解此类题目要注意将圆的

问题转化成三角形的问题再进行计算.

10.在aAOB中，AB=0B=2,中，CD=0C=3,ZAB0=ZDC0.连接AD、BC,

点M、N、P分别为0A、0D、BC的中点.

①若A、0、C三点在同一直线上，且NAB0=2a,则必2sina（用含有a

BC

的式子表示）；

②固定AAOB,将△«）口绕点0旋转，PM最大值为”.

-2-

【考点】M9：确定圆的条件；KH：等腰三角形的性质；LL：梯形中位线定理；

S9：相似三角形的判定与性质.

【专题】填空题

【分析】⑴连接BM、CN,则BM_LOA,CN±OD,由四点共圆的判定知点B、C、

M、N在以BC为直径的圆，且有MP=PN=BC-2,而MN是AAOD的中位线，有MN

等于AD的一半，故AD：BC=MN：PM,而可求得△PMNSABAO,有MN：PN=AO：

AB=2sina,从而求得AD：BC的值；

⑵当DC〃AB时，即四边形ABCO是梯形时，PM有最大值，由梯形的中位线的

公式可求解.

【解答】解：(1)连接BM、CN,

由题意知BM±OA,CN±OD,ZA0B=ZC0D=90°-a,

,：A、0、C三点在同一直线上，

AB,0、D三点也在同一直线上，

/.ZBMC=ZCNB=90°,

•IP为BC中点，

.•.在RtaBMC中，PM=±BC,在RtaBNC中，PN=1BC,

22

，PM=PN,

AB.C、N、M四点都在以点P为圆心，13C为半径的圆上,

2

...NMPN=2NMBN,

XVZMBN=±ZAB0=a,

2

，NMPN=NAB0,

/.△PMN^ABAO,

；iMW_AO；

"PMZ?BA，

由题意知MN=L\D,PM=1BC,

22

DMN

AB]

c一pM

闽DAQ

BcBA

在RtABMA中，&L=sina,

AB

,.•A0=2AM,

.2•

AO-=s1na

B.A

2i

AD-sna

BC

(2)取BO中点G,连接PG,MG,则PG=1JOC=3,GM=UB=I,

222

所以当M,P,G共线的时候PM最大=1+1.5=2.5

【点评】本题利用了相似三角形的性质和等腰三角形的性质：三线合一、四点

共圆的判定、正弦的概念、梯形的中位线的性质求解

11.（2015秋•嘉峪关期末）如图，ZA0B=30°,0M=6,那么以M为圆心，4为

半径的圆与直OA的位置关系是相交.

【考点】MB：直线与圆的位置关系.

【专题】填空题

【分析】利用直线1和。0相切=d=r,进而判断得出即可.

【解答】解：过点M作MD_LAO于点D,

VZA0B=30°,0M=6,

；.MD=3,

AMD<r

，以点m为圆心，半径为34的圆与OA的位置关系是：相交.

【点评】此题主要考查了直线与圆的位置，正确掌握直线与圆相切时d与r的

关系是解题关键.

12.（1999•重庆）如图，4ABC内接于。0,NB=N0AC,0A=8cm,则AC=8出

cm.

A

【考点】M5：圆周角定理.

【专题】填空题

【分析】结合等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形的内角和定理求得三角

形AOC是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解.

【解答】解：连接0C.

VOA=OC,

.*.ZOAC=ZOCA.

XVZB=ZOAC=1ZAOC,

2

AZA0C=90°.

AC=J^0A=8J^cm.

【点评】此题综合运用了等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形的内角和定

理以及勾股定理.

13.如图，在RtaAOB中，ZB=40°,以0A为半径，0为圆心作。0,交AB于

点C,交0B于点D.求质的度数.

【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系.

【专题】解答题

【分析】连接0C,求出NA度数，根据等腰三角形性质求出NACO,根据三角形

外角性质求出即可.

【解答】解：连接0C,

VZ0=90°,ZB=40°,

ZA=180°-90°-40°=50°,

VOA=OC,

AZAC0=ZA=50°,

...ZCOD=ZACO-ZB=10°,

.♦.加的度数是10°..

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形性质，三角形内

角和定理，三角形外角性质的应用，关键是求出NCOD的度数.

14.如图，一面墙上有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆

弧所在的圆外接矩形，已知矩形的高AC=2米，宽CD=Z\百米.

(1)求此圆形门洞的半径；

(2)求要打掉墙体的面积.

【考点】M3：垂径定理的应用；KQ：勾股定理.

【专题】解答题

【分析】(1)先证得BC是直径，在直角三角形BCD中，由BD与CD的长，利用

勾股定理求出BC的长，即可求得半径；

（2）打掉墙体的面积=2（SOAC-SAAOC）+SOAB-SAAOB,根据扇形的面积和二角

形的面积求出即可.

【解答】解：（1）连结AD、BC,

VZBDC=90°,

...BC是直径，

**,BC=VBD2+CD2=^^

...圆形门洞的半径为迈.

3_

（2）取圆心0,连结0A.由上题可知，0A=0B=AB=2叵，

3

...△AOB是正三角形，

/.ZA0B=60°,ZA0C=120°,

33

.,.S=2（S扇形OAC-SAAOC）+S扇形（MB-SaAOB

=2产。兀X（等）2我）+,6。兀X（等）2

36033603

=?n-如

...打掉墙体面积为w”-我平方米.

9

【点评】本题考查了圆周角定理和垂径定理，扇形和三角形的面积，矩形的性

质，关键是理解阴影部分的面积是由哪几部分图形组成的，然后利用公式求

值.

15.如图，有两条公路OM,ON相交成30°,沿公路0M方向离两条公路的交叉

处0点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米

内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿0N方向行驶，它们的

速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿0N方向行驶时给小学带来噪音影响的时

【考点】M8：点与圆的位置关系；N4：作图一应用与设计作图.

【专题】解答题

【分析】过点A作AC10N,求出AC的长，第一台到B点时开始对学校有噪音

影响，第一台到C点时，第二台到B点也开始有影响，第一台到D点，第二台

到C点，直到第二台到D点噪音才消失.

【解答】解：如图，

过点A作AC,0N,

VZM0N=30°,0A=80米,

/.AC=40米，

当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响，此时AB=50,

由勾股定理得：BC=30,

第一台拖拉机到D点时噪音消失，

所以CD=30.

由于两台拖拉机相距30米，则第一台到D点时第二台在C点，还须前行30米

后才对学校没有噪音影响.

所以影响时间应是：90+5=18秒.

答：这两台拖拉机沿ON方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒.

【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，根据拖拉机行驶的方向，速度，以

及它在以A为圆心，50米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对小学产生噪

音的时间.

16.（2015秋•朝阳区期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了

中国传统数学的基本框架.《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知

大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？"（如图①）

图①图②

阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中B01CD

于点A,求间径就是要求。。的直径.

再次阅读后，发现AB=1寸,CD=10寸（一尺等于十寸），通过运用有关

知识即可解决这个问题.请你补全题目条件，并帮助小智求出。0的直径.

【考点】M3：垂径定理的应用；KQ：勾股定理.

【专题】解答题

【分析】根据题意容易得出AB和CD的长；连接0B,设半径CO=OB=x寸，先根

据垂径定理求出CA的长，再根据勾股定理求出x的值，即可得出直径.

【解答】解:（1）根据题意得:AB=1寸,CD=10寸;

故答案为：1,10；

⑵连接CO,如图所示：

VB0±CD,

CA*D=5.

设C0=0B=x寸，则A0=（x-1）寸，

在Rt^CAO中，ZCA0=90°,

/.AO2+CA2=CO2.

二（x-1）2+52=X2.

解得：x=13,

.•.00的直径为26寸.

B

【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用；根据题意作出辅助线，构

造出直角三角形，运用勾股定理得出方程是解答此题的关键.

17.（2003•江西）如图，在。0中，AB是直径，CD是弦,AB1CD.

（DP是而上一点（不与C、D重合），求证：ZCPD=ZC0B；

（2）点P'在劣弧CD上（不与C、D重合）时，NCP'D与NC0B有什么数量关

系？请证明你的结论.

【考