青岛版九年级数学上册 （一元二次方程根的判别式）教育教学课件

4.5一元二次方程根的判别式

1.理解并会计算一元二次方程根的判别式.2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.学习目标一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，将a，b，c代入式子

就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.知识回顾两个不相等实数根

两个相等实数根没有实数根两个实数根判别式的情况

根的情况我们把b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“”表示，即=

b2-4ac.

>0

=0

<0

≥0一元二次方程根的判别式新课讲解按要求完成下列表格：练一练

的值04根的情况有两个相等的实数根没有实数根有两个不相等的实数根3.判别根的情况，得出结论.1.化为一般式，确定a,b,c的值.要点归纳根的判别式使用方法2.计算的值，确定的符号.例1:已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是()

A.该方程有两个相等的实数根

B.该方程有两个不相等的实数根

C.该方程无实数根

D.该方程根的情况不确定解析：原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1×（-1）=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.B方法归纳判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.b2-4ac<0时,方程无实数根.例2:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A.k>-1B.k>-1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠0解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即，k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B.B例3:不解方程，判断下列方程的根的情况．（1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9;(3)7y=5(y2+1).解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3,

∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0.∴方程有两个不相等的实数根．（2）方程化为：4x2－12x+9=0,∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.∴方程有两个相等的实数根．解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0,∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.∴方程有两个相等的实数根．1.关于x的一元二次方程有两个实根，则m的取值范围是

.注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况.解：∴随堂练习2.不解方程，判断下列方程的根的情况．（1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+=0;(3)x2-x+1=0.解：（1）2x2+3x-4=0，a=2,b=3,c=-4,

∴b2-4ac=32-4×2×(-4)=41＞0.∴方程有两个不相等的实数根．（2）x2-x+=0,a=1,b=-1,c=.∴b2-4ac=(-1)2-4×1×=0.∴方程有两个相等的实数根．（3）x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1.∴b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0.∴方程无实数根．(3)x2-x+1=0.3.不解方程，判别关于x的方程的根的情况.解：所以方程有两个实数根．能力提升：在等腰△ABC

中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC

的周长.解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，所以Δ=b2－4ac=(b-2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0.所以b=-10或b=2.将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；所以△ABC

的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13.根的判别式b2-4ac务必将方程化为一般形式课堂小结应用根的判别式时要注意：(1)要注意一元二次方程的二次项系数不为0,在运用根的判别式时,要找准a,b,c的值.(2)此判别式只适用于一元二次方程,当无法判定方程是不是一元二次方程时,应对方程进行分类讨论.4.6一元二次方程根与系数的关系

教学目标

了解一元二次方程

的两个根分别是、，那么：这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理.新课引入

的两个根为x1，x2，则：ax2+bx+c又

ax2+bx+c=

于是.所以

即：这表明，当时，一元二次方程根与系数之间具有如下关系：

两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.例1根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x1，x2的和与积：(1)(2)(3)（1）（2）整理得：（3）整理得：

课堂练习1．根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x1，x2的和与积．(1)2x2－4x－3＝0；(2)x2－4x＋3＝7；(3)5x2－3＝10x＋4.2．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两实数根．(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．解：(1)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0，∴x1＋x2＝2(m＋1)，x1·x2＝m2＋5，∴(x1－1)(x2－1)＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＝m2＋5－2(m＋1)＋1＝28，解得：m＝－4或m＝6.∵m＝－4时原方程无解，∴m＝6；(2)①当7为底边时，此时方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，解得：m＝2.∴方程变为x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3.∵3＋3＜7，∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1＝7，代入方程得：49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得：m＝10或4.当m＝10时，方程变为x2－22x＋105＝0，解得：x＝7或15.∵7＋7＜15，不能组