2023-2024学年四川省成都市锦江区名校高三（上）开学数学试卷（文科）（含解析）

2023-2024学年四川省成都市锦江区名校高三(上)开学数学试2023-2024学年四川省成都市锦江区名校高三(上)开学数学试卷(文科)一、单选题(本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)1.已知集合A=(x\x2—x—6<0},B={x\x>0),则AC\B=()A,(x|—2<x<3}B.(x|0VxV3}C.(x|—3<x<2}D.(x|0<x<2)2.若i为虚数单位，则复数z==的虚部为()llAYB.一号C.9号3.已知向Sa.=(l,m),b=(-l,0)»且\a-b\=ab+6^Pl!l|a|=()A.y/~5B.2>/~3C.y/~22D.2"4.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线.将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形.若记图①三角形的面积为彳I则第〃个图中阴影部分的面积为()A.岑.(#"+1B.决.矛C.督.盼D.f.(j)n5.已知矩形4BCD中，AB=2BC,现向矩形ABCD内随机投掷质点P,则满足乙4PB为锐角的概率是()6.在如图所示的程序框图中，程序运行的结果S为3840,那么判断框中可以填入的关于比的判断条件是()A.kVA.kV5D.k>49.—-―-A.y/~2B.C.<3D.2Cg则四面体ABCD的外接球的表面积为()A.2nB.4nC.6nD.8tt11.己知函数f(x)=2sin2x一2cos2x.若对任意x】6[0,,存在北€(0,+oo),使/(右)<2mx2+x2+^成立，则?n的取值范围是()7.若命题p：VxG(0,+oo),x4-i>1,命题q：3x0ER,Xq-x0+1<0,则下列命题为真命题的是()OVqD.(T)A(3)8.已知Fi、F2是椭圆的两个焦点，满足福•硒=。的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A.(0,1)B(0,|]c(0,#D.#,1)A.m>-1B.m>—C.m>-^D.m>12.对于函数y=/(%),若存在非零实数祁，使得，3。)=一『(一工0)，则称点。0(工0))与点(-XoJ(-Xo))^函数的一对“隐对称点”.若m>0时，函数f(x)={Tn；]'xv0的图象上恰有2对“隐对称点”，则实数m的取值范围为()A.(0,§)B.(1,+8)C.(0,凯(§,+8)D.(0,l)U(l,+8)二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)y>y>013设.x,y满足约束条件%-y>0,则z=2x-y的最大值为%+y<214.在&ABC中，角4,B,C所对的边分别为q,b,c,a=2,b=2y/~3.B=^则△ABC的面积为15.如图，正方体ABCD-A^C.D,的棱长为4,E是侧棱44】的中点，则平面BiCE截正方体ABCD-A.B.C^所得的截面图形的周长是.16.己知4、B是椭圆^+^=l（a>b>0）与双曲线g-#=l（a>0,b>0口的公共顶点，P是双曲线上一点，PA,PB交椭圆于M,N.若MN过椭圆的焦点F,且tan/MMB=-3,则双曲线的离心率为.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如（1口估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数；（2口统计今年以来元月〜5月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下：预测该品牌汽车在今年6月份的销售量约为多少万辆？附：对于一组样本数据31，%口》2，无…，3〃其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计值分别为b=厂假,a=~__b-.lj=lxf-nxz【解析】解.,集合A={x\x2—x—6<0}=(x|-2<x<3),B={x\x>0),AC\B—(x|0VxV3}.故选：B.求出集合A,B,由此能求出AdB.本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.【解析】解：Z==f+其虚部为!.故选：D.根据复数的除法运算化简复数z,再根据复数的概念即可得答案.本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.【解析】解：a=b=(-1,0)»'•a—b=(2,m),a-b=—1»又|布一R=布亍+6，:.22+m2=5»解得矛=21,故选：C.根据\a-b\=a-b+6求得m,再利用向量的模公式求解.本题考查向量的坐标运算，方程思想，属基础题.【解析】解：依题意，设图①阴影面积为¥,设图71的阴影面积为S”，则S】=与xj则图②阴影为图①面积的$2=：'¥=¥(如'图③阴影为图②面积的j，S3=卜脆.=孕(护，图④阴影为图③面积的S4=^(|)4，答案和解析第71个图中阴影部分的面积为第71个图中阴影部分的面积为S,=亨.(：产,故选：D.依题意，设图①阴影面积为?，设图71的阴影面积为S”，则S]=与xj，即可归纳可得.本题考查了归纳推理，考查推理能力和计算能力，属简单题.【解析】解：根据题意，如图，矩形"CD中，设BC=1,则相=2,*0/AB的中点为0,()则矩形4BCD的面积S=2,D---------------------C以。为圆心，半径为1,在矩形内部作半圆，现向矩形ABCD内随机投掷质点P,若CAPB为锐角，符合条件P为矩形中，半圆之外的部分，如图的阴影部分，则44PB为锐角的概率p=2-£了1=4-tt.故选：A.根据题意，矩形储CD中，设BC=LAB的中点为。，求出矩形的面积，分析符合条件的P的图形以及面积，由几何概型公式计算可得答案.本题考查几何概型的计算，注意几何概型的计算公式，属于基础题.【解析】解：模拟程序的运行过程，如下：A=10,S=2，满足条件；S=2x10=20,k=8,k满足条件；S=20x8=160,k=6,化满足条件；S=160x6=960,k=4,龙满足条件；S=960x4=3840,k=2,k不满足条件；退出循环，输出S=3840,判断框中应填入A的判断条件.故选：C.模拟程序的运行过程，即可得出判断框中应填入化的判断条件.本题考查了程序框图应用问题，也考查了运算求解能力与数学思维核心素养，是基础题.故选：B.利用同角的三角函数关系将切化弦故选：B.利用同角的三角函数关系将切化弦，再根据二倍角公式以及两角和差的正余弦公式，化简求值,即得答案.本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题.10.【答案】C将四面体ABCD放在长方体AEBF-GCHD内，设该长方体的长、宽、高分别为尤、y、z,则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为R,(AB2=+y2=3由勾股定理得｛AC2=x2+z2=4,[AD2=y2+z2=5上述三个等式全加得2(乂2+y2+z2)=12,所以，该四面体的外接球直径为2R=-Jx2+y2+z2=V"6»因此，四面体ABCD的外接球的表面积为4ttR2=汗x(2R)2=6食，故选：C.将四面体4BCD放在长方体中，使得四面体各条棱作为长方体的面对角线，并计算出长方体的体对角线长，作为外接球的直径，再利用球体表面积公式可得出答案.本题考查球体的表面积的计算，解决本题的关键在于将四面体放在长方体内，利用长方体的外接球来进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.11.【答案】D【解析】解：•.•对任意XiG[0,^],存在%26(0，+8),使£2血沁2+壹成立，.KMgS+N，f(x)=2sin2x—2cos2x=2V~2sin(2x—普)，又X!e[0,|],2x1-efMmax2g,故选：D.将恒成立及存在问题转化为最值间关系，故选：D.将恒成立及存在问题转化为最值间关系，先根据三角函数值域求/•3)max=2C，再根据一元二次函数的性质，即可求解.本题考查恒成立及存在问题，化归转化思想，属中档题.12.【答案】D【解析】解：由题意可得：函数/'(X)=—mx2一mx(x<0)关于原点对称的图象g(x)=mx2-mx与函数f(x)=lnx(x>0)的图象有两个交点，即方程mx?-mx=lnx(x>0)有两个根，即m(x-1)=气,令九3)=题。>0)，则〃。)=譬，当0VxVe时，/i'(x)>0,当x>e时，/i'(x)v0,所以/i(x)在(0,e)上递增，在(e,4-00)上递减，y=m(x-1)的图象恒过点(1,0),/i(x)=题3>0)的图象也过点(1,0)，.2|<2mxl+X2+l在死G(0,+8)上成立,令t==，贝Ijt>0,由图可知当0VmV1或m>1时，h(x)=^(x>0)与y=m(x-1)的图象有2个交点,由已知结合余弦定理先求出c,然后结合三角形面积公式可求.本题主要考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题.【解析】解：如图，取4D中点H,连接EH,在正方体ABCD-A^C.D,中，因为E是A，的中点，H为AD中点，所以EH〃A]D,EH=捉]D,又在正方体ABCD-AiBiCiDi中，AiBJIDC,由务=DC,所以四边形A.B.CD为平行四边形，所以A[D〃BiC,所以EH/B1C,故梯形EB.CH即为平面BiCE截正方体4BCD-A]B]C]D]所得的截面，由已知，EH=V4+4=2/7,a/=J16+4=2V~5»B±C=V16+16=4口,CH=V16+4=2\T~S,则截面周长为EBi+B]C+HC+EH=4广§+6/2故答案为：6/W+4/M.过E点作&C的平行线即可延展平面B】CE,则可得到截面，再求周长即可.本题考查截面面积的计算，涉及正方体的几何结构，属于基础题.够【解析】解：由题意可知：A(-a,0),B(a,0),如图，设P(.x0,y0),of得直线的斜率分别为kPA=入0uA0*u所以双曲线的离心率故答案为：与I由双曲线与椭圆的性质可得MN垂直x轴，然后结合两角和的正切公式及椭圆离心率的求法求解即本题考查了双曲线与椭圆的性质，重点考查了两角和的正切公式，属中档题.17.【答案】解1）.直方图的组距为1,则各组数据的频率即为相应小矩形的高，因为点P在双曲线上，则耳一耳=1,整理得3-.&=马，所以kpA.kpB=当,设点可得直线MA,MB的斜率kMA=^,kMB=^因为点Mg,yi）在椭圆上，则§+尊=1，整理得号％•矗=一%所以加人.Amb=一%'即鼠.*mb=一%'可得Amb=-kpB=-kfjN，所以直线MB与NB关于x轴对称，又因为椭圆也关于x轴对称，且M,N过焦点F,则MNlx轴，令F(c,0)，则|MF|=|NF|=§,因为tan"MF=”=蟹，tan站MF=节=宇则taSMB=tan(Z^F+3")=也怀螺又BC又BC=CE=0E=1,CELAE,CE1BC,所以四边形OBCE为正方形,所以BELOC,又P01BE,且OCDPO=。，OC,POu平面POC,所以BE1平面POC,又PCu平面POC,所以BE1PC；(2)解：由题意得，点Q为线段PA上一点，且4Q=|AP,即PQ=?P4，所以Vp-BCQ=Vq_pbc=^A-PBC=^P-ABCf又由(1)知P。1平面4BCE,所以P0为三棱锥P-ABC的高，由为正三角形，且PA=2,可得P0=",=§X?X：X1X1XV~3=竖，【解析】(1)根据题意，证得CE1平面R4E,从而得到平^ABCE1平面PAE,取4E中点。，连接P。,OB,OC,证得P01平面ABCE,从而证得BE1平面POC,结合线面垂直的性质，即可证得BE1PC.(2)由AQ=^AP,得到Vp_BCQ=，Q-P8C=§E4-P8CABC，结合棱锥的体积公式，即可求解.本题考查线线垂直的证明，三棱锥的体积的求解，线面垂直的判定定理与性质，化归转化思想,属中档题.19.【答案】解：(1)由4-2az+3%+…+nan=3"-1,取n=1,得a】=2,当n>2时，有％+2a2+...+(n一l)an_t=3n-1一1,两式作差可得：nan=3n-3“t=2x3“t,an=2x(n>2)»验证Q1=2适合上式，cin=x3”T(2)如=也1)Q"=x2x512=(n+1)•3”T，S"=2x3°+3x3】+4x32+...4-n•3n~2+(n+1)•3“t,3S〃=2x3】+3x32+4x33+...+n•3n-1+(n+1)•3",-2Sn=2+-2Sn=2+3】+32+...+3“解得：Sn=G+»3n__：.【解析】（1口由已知数列递推式利用作差法求0打的通项公式；（2口把（1口中求得通项公式代入如=竺业，再由错位相减法求数列｛如｝的前71项和S”.本题考查数列递推式，考查作差法求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中(2)设点P(XQ,yo)(xQ>O,yo>。)，D(0,m),E(0,n),则直线PD的方程为y=+m,即(％-ni)x一xoy+mx0=0,因为圆心M(-l,0)到直线PD的距离为1,即-y"o+，即(7o-血/+必=(y0一m*-2xom(yo-m)+x^m2,由此可知，m,n为方程(x0+2)x2-2yox-x0=0的两个实根，所以m+n=mn=-三备Xq+2Xq+Z|DE|=\m-n\=yj(m+n)2-4mn=J+调=因为点P(x0/y0)在椭圆C上，则哥+博=1,则博=1一多则四=I2寻8气4=穿,则好+4心-5=0,因为Xo>0,赫22+赫22+y2=i.20.【答案】解1口由题知+2解得=2,b2=故椭圆C的方程为：则则*0=1,凭=1一导=即>0=空’故存在点P(l,g)满足题设条件.【解析】(1)根据已知条件求得a2,b2,从而求得椭圆C的标准方程.(2)设出P,D,£的坐标，根据切线PD,PE求得|DE|,由|DE|=峭求得P点的坐标.本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查分运算求解能力，属于中21.【答案】解：(1)己知f(x)=ex-ax,函数x€R,若a<0,则尸(x)>0恒成立,所以/'(x)的增区间为(一8,+8),无减区间；若Q>0,当xVIna时，「(X)<0：当x>Ina时，((x)>0,所以函数/'3)的减区间为(一8,Ina),增区间为(Zna,+oo),综上所述，当a<0时，函数f(x)的增区间为(-oo,+oo),无减区间；当a>0时，函数/Xx)的减区间为(-co,Ina),增区间为(/na,+oo)；(2)若当x>-1时，f(x)>ax,即2axVex,当x=0时，显然成立；当"［一1,0)时，2x<0,可得a>£,不妨设g(x)=&，可得所以函数g(x)在［-1,0)上单调递减，此时g(x)Yg(-l)=-土，解得Q>—§;当X€(0,4-00)时，2x>0,可得Q<&，—ItLSinp—ItLSinp(t为参数)，代入曲线M的直角坐标方程，设|PA|=|0|,"|=|以1，可得IIP4I