利用夹逼准则求极限之欧阳与创编

欧阳与创编欧阳与创编2021.03.08欧阳与创编欧阳与创编2021.03.082021.03.08欧阳与创编欧阳与创编2021.03.08 欧阳与创编2021.03.08利用夹逼准则求极限创作：欧阳与时间：2021.03.08创作：欧阳与夹逼准则的使用方法：定理1用夹逼准则求极限，就是将数列放大和缩小。要求放大和缩小后的极限容易求出，此时常将其放大到最大项的整数倍，缩小到最小项的整数倍，并且此时两者极限相等，即两者是等价无穷小，此时就可以得到原数列极限的值。题型1夹逼准则常用于求若干项和的极限推论1极限变化过程中最小项与最大项之比为1时可以使用夹逼准则求其极限。证明：不妨设最小项为M%),最大项为P(%),数列有n项，则整数倍为n倍，na(%) a(%)lim 二1二lim .由定理1可知 nP(%) P(%)lim(. +• +…+. )例1.求nT9nn2+2 nn2+4 vn2+2n.1 n2+2n n2+2 n2+2lim———i =lim .=lim =limA.1=1.nT9nT9nn2+2n nT9\n2+2n nT9解：nn2+2由推论1,1由推论1,1"与%&十.nn2+2 nn2+41+...+1 <T1.nn2+2n nn2+2由夹逼准则可得所求极限为1.欧阳与创编欧阳与创编2021.03.08欧阳与创编欧阳与创编2021.03.082021.03.08欧阳与创编欧阳与创编2021.03.08欧阳与创编欧阳与创编2021.03.082021.03.08lim(—1—+—1—+…+—1—).例2.求n-8n2+n+1n2+n+2 n2+n+n解：limn-8=limn-8n2+n+1 =1. V + +…+n2+n+nn2+n+1n2+n+2<—n——0.n2+n+nn2+n+1由夹逼准则可得所求极限为0.lim(例3.求n-―n—).n2+n+n解：由推论1，1n(n+1)—— 2 2nn(n+1) < + +…+ <n2+n+n n2+n+1n2+n+2 n2+n+n1由夹逼准则可得所求极限为2.由以上例题可以看出用夹逼准则求极限的关键在于对数列进行恰当的放缩接下来的例题稍有难度，难处仍难在放缩的技巧2nlim—例4.求n-8n!.0<生=2X2X2义...义2<±.（放到第二项最大）解：n! 123nn!4 2nlim—=0 . 八lim—=0.且n-8n!.故由夹逼准则可知n-8n!nlim (a>1).例5.求n-8。n解军：设a=1+h(h>0),则n0< <从而an0< <从而an(n-1)h2因为limnfS(n-1)h2=0,lim—=0.由夹逼准则可知nfsan「3n2sin(n!)lim 例6.求nfs n+10<解：由于0<解：由于f i3n2sin(n!)<3n2n(三角函数有界性)1——；=<即3n1——；=<即3n3n2sin(n!)<.lim-「=lim-=0,

3n,而nfs3nnfs3n「3n2sin(n!) _lim =0.由夹逼准则可知nfs n+11例7.求lim(l+2n+3n)n.n+=lim3[d)+(2)n+1n]n=limn+解：原式nfs 3 3 nfs12 12[力乏0<(—)n+(—)n<11<(—)n+(--)n+1<3两边同时乘以3n得到3n<1+2n+3n<3n+1,再两边同时开n次方根得到3<[1+2n+3n]n<3义3n.右边=lim(3x3n)=3xlim3；=3x1=3=lim3=左边.nfSnnfSnfSnfS1故由夹逼准则可得吗(1+2n+3n)n=3.口lim——.例8.求xfSx欧阳与创编欧阳与创编欧阳与创编2021.03.08 欧阳与创编2021.03.08 欧阳与创编2021.03.08欧阳与创编2021.03.082021.03.08解：由取整函数的性质可知x-1«1卜x.x-1,ILxi,lxLi<<,即1--<<1;当x>0时，xxxxxx-1、x1、口「>—>-,即1-->—>1;当x<0时，xxxxx1M1-1)=1, 同出;1.因为x二 x/ 由央逼准则可得xexlim-xl—\(a>0,b>0).例9.求x-0+aLx」解由取