对数函数（精讲）

4.4对数函数（精讲）一．对数函数的概念1.概念：一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).(1)因为对数函数是指数函数变化而来的，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a>0，且a≠1.(2)形式上的严格性：在对数函数的定义表达式y＝logax(a>0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数.二．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0<x<1时，y<0，当x>1时，y>0当0<x<1时，y>0，当x>1时，y<0单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数对数函数图像两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”，如图.四.反函数一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域和值域正好互换.对数函数的判断1.系数：对数符号前面的系数为12.底数：对数的底数大于0且不等于13.真数：对数的真数仅有自变量x二．定义域1.分母不能为0；2.根指数为偶数时，被开方数非负；3.对数的真数大于0，底数大于0且不为1.三．比较对数值大小1.同底数的利用对数函数的单调性.2.同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.3.底数和真数都不同，找中间量.4.若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.四.y＝logaf(x)型函数性质1.定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域.2.值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域.3.单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定)4.奇偶性：根据奇偶函数的定义判定.5.最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值.6.logaf(x)<logag(x)型不等式的解法(1)讨论a与1的关系，确定单调性；(2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零.7.两类对数不等式的解法(1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式.①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0；②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x).(2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab.①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab；②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab.考点一对数函数的概念【例11】（2023·全国·高一课堂例题）（多选）下列函数中为对数函数的是（

）A． B．C． D．（是常数）【答案】CD【解析】对于A，真数是，故A不是对数函数；对于B，，真数是，不是，故B不是对数函数；对于C，的系数为1，真数是，故C是对数函数；对于D，底数，真数是，故D是对数函数．故选：CD【例12】（2023秋·高一课时练习）若函数是对数函数，则a的值是（

）A．1或2 B．1C．2 D．且【答案】C【解析】∵函数是对数函数，∴，且，解得或，∴，故选：C．【一隅三反】1．（2022秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）下列函数是对数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】形如的函数叫作对数函数，它的定义域是，对于A，满足，故A正确；对于B，C，D，形式均不正确，均错误.故选：A2．（2023秋·高一课前预习）在中，实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】要使式子有意义，则，解得或.故A，C，D错误.故选：B.3．（2023秋·高一课时练习）（多选）函数中，实数的取值可能是（）A． B．3C．4 D．5【答案】AC【解析】因为，所以根据对数函数的定义得：，即：，所以或，故选：AC.考点二对数函数的定义域【例21】（2022秋·广东东莞·高一校联考期中）函数的定义域为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意得：，解得，定义域为.故选：A.【例22】（2023秋·辽宁）已知函数的定义域为，则函数的定义域为.【答案】【解析】已知函数的定义域为，所以，，所以函数的定义域为，又，且，解得，且，所以定义域为.故答案为：.【例23】（2023秋·江苏连云港·）若函数f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为R，则实数m的取值范围是．【答案】(2,2)【解析】由题意得在R上恒成立，所以，解得.故答案为：.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数的定义域是（

）A．B．或C．D．或【答案】D【解析】由题意得，∴或，故定义域为或，故选：D.2．（2023秋·宁夏银川）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意得，解得.故选：D3．（2023春·浙江温州）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，解得且，所以的定义域为.故选：D.考点三对数函数图像的辨析【例31】（2023·云南保山）函数与（其中）的图象只可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】对于A，因为，故为R上的减函数，其图象应下降，A错误；对于B，时，为R上的减函数，为上增函数，图象符合题意；对于C，时，为上增函数，图象错误；对于D，时，为上增函数，图象错误；故选：B【例32】（2023秋·江西南昌·高一统考期末）若，则函数的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】，在上单调递减，且过第一，第四象限，图像向左平移个单位，得到，故函数的图象不经过第一象限，故选：．【例33】（2023秋·高一课时练习）若函数且的图象恒过定点，则实数，．【答案】－22【解析】】∵函数的图象恒过定点，∴将代入，得．又当，且时，恒成立，，．故答案为：；【一隅三反】1．（2023·全国·高一假期作业）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，，的一个是（

）A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）【答案】B【解析】因为，（3）是，（4）是，又与关于轴对称，（1）是．故选：B．2．（2023·广西）若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】函数的图象关于对称，其定义域为，作出函数的大致图象如图所示，由图可得，要使函数的图象不过第四象限，则，即，解得，所以实数a的取值范围为.故答案为：.3．（2023秋·高一课时练习）（多选）已知，且，则函数与的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AC【解析】若，则函数的图象单调递减且过点，函数的图象单调递减且过点；若，则函数的图象单调递增且过点，而函数的图象单调递增且过点，只有A,C的图象符合．故选：AC4．（2023秋·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考期末）函数（，且）的图象恒过点．【答案】【解析】令，解得，此时，故（，且）的图象恒过点.故答案为：考点四比较对数值的大小【例41】（2023秋·高一课时练习）比较下列各组中两个值的大小．①.②.③.④且.【答案】答案见解析【解析】①因为在上是增函数，且，则，所以②作出和的图象如下图．由图象知.③因为，,所以.④当时，函数在定义域上是增函数，则有；当时，函数在定义域上是减函数，则有.综上所述，当时，；当时，.【例42】（2023秋·河南南阳·高一统考期末）三个实数的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由于，，故，故选：B【一隅三反】1．（2023秋·重庆）若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以．故选：D2．（2023秋·湖北武汉）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由在上单调递减可知，，即；由对数函数在上单调递增可知，，即；又可知，即；所以可得.故选：A3．（2023秋·广西南宁）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，因为在定义域上是增函数，且，故.故选：C.4．（2023秋·宁夏银川）函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】】因为函数是定义在上的偶函数，可得，，由对数的运算性质，可得，，又由，所以，又因为在上单调递增，所以，即.故选：D.考点五对数型函数的单调性及应用【例51】（2023春·甘肃武威）函数的递减区间为.【答案】【解析】因为在上单调递减，由复合函数的单调性可知，的递减区间为的单调递增区间，且要满足，解得或，其中在上单调递增，故的递减区间为.故答案为：【例52】（2023·河南）设函数在上单调递增，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由函数，得，即函数的定义域为，令，由函数的对称轴为：，开口向下，所以在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增，所以当函数在上单调递增时，所以根据复合函数的单调性可知：，解得，故选：D.【一隅三反】1.（2023福建）求函数单调(1－eq\r(2)，1)减区间.【答案】(1－eq\r(2)，1)【解析】函数的定义域为－x2＋2x＋1>0，由二次函数的图象知1－eq\r(2)<x<1＋eq\r(2).∴t＝－x2＋2x＋1在(1－eq\r(2)，1)上是增加的，而在(1，1＋eq\r(2))上是减少的，而y＝为减函数.∴函数的减区间为(1－eq\r(2)，1).2.（2023安徽）已知函数在区间(－∞，eq\r(2))上是增函数，求实数a的取值范围.【答案】[2eq\r(2)，2(eq\r(2)＋1)【解析】令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,2)))上是减函数，∵0<eq\f(1,2)<1，∴y＝是减函数，而已知复合函数在区间(－∞，eq\r(2))上是增函数，∴只要g(x)在(－∞，eq\r(2))上是减少的，且g(x)>0在x∈(－∞，eq\r(2))恒成立，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(2)≤\f(a,2)，,g（\r(2)）＝（\r(2)）2－\r(2)a＋a≥0，))∴2eq\r(2)≤a≤2(eq\r(2)＋1)，故所求a的取值范围是[2eq\r(2)，2(eq\r(2)＋1)].3．（2023秋·江苏南通）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是【答案】【解析】在单调递增，故在单调递减，则，又∵在恒成立，则，故，∴，考点六解对数不等式【例61】（2023秋·高一课时练习）已知函数，则使得成立的x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题设，即，因为函数在上单调递增，所以，解得.故选：B【例62】（2023秋·高一课时练习）不等式的解集为．【答案】【解析】因为，可得对数函数为单调递增函数，则原不等式等价于，解得，即原不等式的解集为.故答案为：.【例63】（2023秋·陕西渭南）已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为.【答案】或.【解析】因为函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，所以在上递增，因为是定义在上的偶函数，所以由，得，所以，所以或，所以或，解得或，所以不等式的解集为或.故答案为：或.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）不等式的解集是.【答案】【解析】易知，由可得；又函数在为单调递减，所以可得，解得.故答案为：2．（2023秋·高一课时练习）解下列关于x的不等式．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)答案见解析(3)【解析】（1）由题意可得解得，所以原不等式的解集为．（2）当时，原不等式等价于，解得，当时，原不等式等价于解得综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.（3）当时，由，可得，此时无解；当时，由，可得．综上，原不等式的解集为.考点七对数型函数的值域（最值）【例71】（2023秋·高一课时练习）函数在区间上的值域是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】在上是减函数，，即值域为.故选：A.【例72】．（2023·高一校考课时练习）求函数的值域.【答案】【解析】因为函数的定义域为：，而方程的，所以对恒成立，令：在上是减函数，所以，即原函数的值域为故答案为：【例73】（2023秋·江苏南通）已知函数，在上的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数，，令，则.所以原函数转化为,又对称轴为，所以当时，函数取得最小值，当或时，函数取得最大值为，所以所求函数的值域为，

故选：A．【例74】（2023春·重庆北碚）已知函数既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，a不等于0时，,当得，二次函数没有最大值，有最小值，没有最大值，有最小值，不合题意.当得，，二次函数没有最大值，有最小值，,没有最大值，没有最小值，当得，二次函数有最大值，没有最小值，,有最大值，没有最小值，不合题意.当无解.当,既没有最大值，也没有最小值，没有最大值，没有最小值，.故选：D.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由知，，值域是．故选：C2．（2023·全国·高一假期作业）函数的值域是．【答案】【解析】令，则，因为，所以的值域为，因为在是减函数，所以，所以的值域为，故答案为：3．（2023·全国·高一专题练习）已知，设，则函数的值域为．【答案】【解析】由题意得，则，即的定义域为，故，令，则，函数在上单调递增，故，故函数的值域为，故答案为：4．（2023·全国·高一假期作业）函数的最小值为．【答案】/【解析】显然，∴，

令，∵x∈，∴t∈[－1，2]，则，当且仅当t＝－即x＝时，有.故答案为：5．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）设且，若函数的值域是，则的取值范围是【答案】【解析】由于函数且的值域是，故当时，满足.若在它的定义域上单调递增，当时，由，.若在它的定义域上单调递减，，不满足的值域是.综上可得，.考点八对数函数性质的综合运用【例8】（2023秋·山西长治）已知函数，．(1)求函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；(3)讨论函数的值域．【答案】(1)(2)偶函数，理由见解析(3)答案见解析【解析】（1）且，得，即定义域为.（2）因为定义域关于原点对称，且，所以函数为偶函数.（3），令，由，得，则，，当时，，所以原函数的值域