北京市东城区高三月综合练习（二模）理数试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合QUOTE，则QUOTE（）A。QUOTE或QUOTEB.QUOTE或QUOTEC。QUOTED。QUOTE【答案】A【解析】QUOTE,所以QUOTE，故选择A.2。下列函数中为奇函数的是（)A。QUOTEB.QUOTEC。QUOTED。QUOTE【答案】B【解析】A和C为非奇非偶函数，QUOTE为偶函数,令QUOTE,定义域为QUOTE，QUOTE，故QUOTE为奇函数，故选B。3.若QUOTE满足QUOTE，则QUOTE的最大值为（)A。QUOTEB.QUOTEC.QUOTED。QUOTE【答案】C【解析】由约束条件QUOTE，作出可行域如图：

由QUOTE，解得QUOTE,化目标函数QUOTE为直线方程的斜截式,得QUOTE，由图可知，当直线QUOTE过QUOTE点时，直线在QUOTE轴上的截距最大，QUOTE最大，此时QUOTE,故选C.点睛:本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题。求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线）；（2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；(3）将最优解坐标代入目标函数求出最值。4。设QUOTE是非零向量，则“QUOTE共线”是“QUOTE"的（）A.充分而不必要条件B。必要而不充分条件C。充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B5.已知等比数列QUOTE为递增数列，QUOTE是其前QUOTE项和.若QUOTE，则QUOTE（）A。QUOTEB.QUOTEC。QUOTED.QUOTE【答案】D【解析】∵数列QUOTE为等比数列且QUOTE，∴QUOTE，又∵QUOTE且QUOTE为递增数列，∴QUOTE，QUOTE，则公比QUOTE，故QUOTE，故选D.6。我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202-1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例。若输人的QUOTE，则程序框图计算的是（）A。QUOTEB。QUOTEC.QUOTED.QUOTE【答案】A7.动点QUOTE从点QUOTE出发，按逆时针方向沿周长为QUOTE的平面图形运动一周,QUOTE两点间的距离QUOTE与动点QUOTE所走过的路程QUOTE的关系如图所示,那么动点QUOTE所走的图形可能是（)A。B。C.D。【答案】C【解析】由题意可知：对于QUOTE、QUOTE，当QUOTE位于QUOTE，QUOTE图形时,函数变化有部分为直线关系，不可能全部是曲线，由此即可排除QUOTE、QUOTE,对于QUOTE,其图象变化不会是对称的，由此排除QUOTE，故选C.点睛：本题考查的是函数的图象与图象变化的问题．在解答的过程当中充分体现了观察图形、分析图形以及应用图形的能力．体现了函数图象与实际应用的完美结合，在解答时首先要充分考查所给四个图形的特点，包括对称性、圆滑性等，再结合所给QUOTE，QUOTE两点连线的距离QUOTE与点QUOTE走过的路程QUOTE的函数图象即可直观的获得解答。8。据统计某超市两种蔬菜QUOTE连续QUOTE天价格分别为QUOTE和QUOTE，令QUOTE,若QUOTE中元索个数大于QUOTE,則称蔬菜QUOTE在这QUOTE天的价格低于蔬菜QUOTE的价格,记作:QUOTE，现有三种蔬菜QUOTE下列说法正确的是（）A.若QUOTE,则QUOTEB.若QUOTE同时不成立，则QUOTE不成立C.QUOTE可同时不成立D.QUOTE可同时成立【答案】C点睛：本题主要考查了“新定义”问题，属于中档题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.在该题中，可以采取特例法，直接根据定义得到结果。第Ⅱ卷(共110分）二、填空题(每题6分，满分30分，将答案填在答题纸上)9.复数QUOTE在平面内所对应的点的坐标为__________．【答案】QUOTE【解析】QUOTE在复平面内对应点的坐标为QUOTE。10.在极坐标系中，直线QUOTE与圆QUOTE相切，则QUOTE__________．【答案】QUOTE【解析】直线QUOTE的直角坐标方程为QUOTE，圆QUOTE的直角坐标方程为QUOTE，∵直线与圆相切,∴圆心到直线的距离为QUOTE，解得QUOTE，故答案为1。点睛：本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，以及直线与圆的位置关系，难度一般;主要是通过QUOTE，QUOTE，QUOTE将极坐标方程转化为直角坐标方程,即可得圆与直线的方程,圆与直线相切等价于圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离即可得到结果。11。某校开设QUOTE类选修课QUOTE门，QUOTE类选修课QUOTE门，每位同学需从两类选修课中共选QUOTE门。若要求至少选一门QUOTE类课程,则不同的选法共有__________种。（用数字作答）【答案】QUOTE【解析】可分为以下两类:①选一门QUOTE类课程：QUOTE;②选一门QUOTE类课程：QUOTE，则至少选一门QUOTE类课程不同的选法共有QUOTE种，故答案为QUOTE.12.如图，在四边形QUOTE中，QUOTE,则QUOTE___________；三角形QUOTE的面积为__________．【答案】（1）.QUOTE（2）。QUOTE13。在直角坐标系中QUOTE中，直线QUOTE过抛物线QUOTE的焦点QUOTE，且与该抛物线相交于QUOTE两点，其中点QUOTE在QUOTE轴上方。若直线QUOTE的倾斜角为QUOTE，则QUOTE__________．【答案】QUOTE【解析】抛物线QUOTE的焦点QUOTE的坐标为QUOTE，∵直线QUOTE过QUOTE,倾斜角为QUOTE，

∴直线QUOTE的方程为:QUOTE，即QUOTE，代入抛物线方程，化简可得QUOTE，∴QUOTE，或QUOTE，∵A在QUOTE轴上方，故QUOTE，则QUOTE，则QUOTE，故答案为QUOTE。14.已知函数QUOTE。①若QUOTE有且只有QUOTE个实根,则实数QUOTE的取值范围是__________．②若关于QUOTE的方程QUOTE有且只有QUOTE个不同的实根，则实数QUOTE的取值范闱是__________．【答案】(1)。QUOTE（2)。QUOTE【解析】函数QUOTE图像如下图，根据上图,若QUOTE只有1个实根，则QUOTE；若将函数QUOTE的图像向左平移T=2个单位时，如下图所得图像与QUOTE的图像在QUOTE上重合，此时方程QUOTE有无穷多个解，所以若方程有且只有3个不同的实根，平移图像,如下图观察可知QUOTE或QUOTE，方法点睛：本题主要考查函数图像，理解QUOTE函数并画出函数图像，然后将方程QUOTE有且只有1个实根转化为两个函数图像有且只有一个交点，主要考查函数零点的划归与转化能力。另外本题考查函数图像平移，将方程QUOTE有且只有QUOTE个不同的实根，转化为平移后两个函数图像有且只有3个交点，考法新颖、创新性强,考查学生分析问题、解决问题的能力，重点考数形结合思想.三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）15。已知函数QUOTEQUOTE。（1）若QUOTE，求QUOTE的值；(2）若QUOTE在QUOTE上单调递减，求QUOTE的最大值。【答案】（1）QUOTE;(2）QUOTE.试题解析：(1）因为QUOTE，所以QUOTE,所以QUOTE。（2)由题意QUOTEQUOTE.其中QUOTE,所以QUOTE，且QUOTE，所以当QUOTE时，QUOTE,所以QUOTE。所以QUOTE，所以QUOTE，所以QUOTE的最大值为QUOTE.考点：1。三角恒等变换公式；2.正弦型函数的单调性。16.小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园，根据旅游局统计数据,该主題公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，QUOTE以下为舒适，QUOTE为一般,QUOTE以上为拥挤）,情况如图所示，小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览QUOTE天。（1)求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（2）设QUOTE是小明游览期间遇上舒适的天数，求QUOTE的分布列和数学期望;（3）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大?（结论不要求证明）【答案】（1）QUOTE;（2）QUOTE的分布列为QUOTE的期望QUOTE；（3）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大.试题解析：设QUOTE表示事件“小明8月11日起第QUOTE日连续两天游览主題公园”QUOTE，根据题意，QUOTE,且QUOTE.（1）设QUOTE为事件“小明连续两天都遇上拥挤”.则QUOTE，所以QUOTE。（2）由题意,可知QUOTE的所有可能取值为QUOTE。且QUOTE；QUOTE；QUOTE，所以QUOTE的分布列为故QUOTE的期望QUOTE.（3)从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大。考点：1。古典概型;2。离散性随机变量分布列和期望；3。方差.17.如图，在几何体QUOTE中，平面QUOTE平面QUOTE,四边形QUOTE为菱形，且QUOTE为QUOTE中点.（1）求证：QUOTE平面QUOTE；(2）求直线QUOTE与平面QUOTE所成角的正弦值；(3）在棱QUOTE上是否存在点QUOTE，使QUOTE？若存在，求QUOTE的值；若不存在，说明理由。【答案】(1)见解析；（2)QUOTE；(3）见解析。试题解析：（Ⅰ）取QUOTE中点QUOTE，连结QUOTE．因为QUOTE分别为QUOTE中点,所以QUOTE∥QUOTE．又QUOTE平面QUOTE且QUOTE平面QUOTE,所以QUOTE∥平面QUOTE，因为QUOTE∥QUOTE，QUOTE，所以QUOTE∥QUOTE，QUOTE．所以四边形QUOTE为平行四边形．所以QUOTE∥QUOTE．又QUOTE平面QUOTE且QUOTE平面QUOTE，所以QUOTE∥平面QUOTE，又QUOTE,所以平面QUOTE∥平面QUOTE．又QUOTE平面QUOTE，所以QUOTE∥平面QUOTE．(Ⅱ）取QUOTE中点QUOTE，连结QUOTE，QUOTE．因为QUOTE，所以QUOTE．因为平面QUOTE平面QUOTE,所以QUOTE平面QUOTE，QUOTE．因为QUOTE，QUOTE，所以△QUOTE为等边三角形．因为QUOTE为QUOTE中点,所以QUOTE．设直线QUOTE与平面QUOTE成角为QUOTE，QUOTE所以直线QUOTE与平面QUOTE所成角的正弦值为QUOTE．（Ⅲ）设QUOTE是QUOTE上一点，且QUOTE，QUOTE，因此点QUOTE．QUOTE．由QUOTE，解得QUOTE．所以在棱QUOTE上存在点QUOTE使得QUOTEQUOTE，此时QUOTE．点睛:本题主要考查了线面平行的判定，利用空间向量求空间角以及探究性问题在立体几何中的体现，常见的证明线面平行的方法有：1、利用三角形的中位线；2、构造平行四边形;3、通过面面平行得到线面平行等；直线的方向向量与平面的法向量所成的角满足QUOTE，对于线线垂直转化为向量垂直，即数量积为0。18。设函数QUOTEQUOTE)。（1)当QUOTE时，求曲线QUOTE在点QUOTE处的切线方程；（2)设QUOTE,若对任意的QUOTE，存在QUOTE使得QUOTE成立，求QUOTE的取值范围。【答案】(1）QUOTE；（2)QUOTE或QUOTE。试题解析：（1）当QUOTE时,因为QUOTE，所以QUOTE，又因为QUOTE，所以曲线QUOTE在点QUOTE处的切线方程为QUOTE，即QUOTE.(2)“对任意的QUOTE，存在QUOTE使得QUOTE成立”等价于“在区间QUOTE上，QUOTE的最大值大于或等于QUOTE的最大值"。因为QUOTE,所以QUOTE在QUOTE上的最大值为QUOTE。QUOTEQUOTEQUOTE,令QUOTE，得QUOTE或QUOTE。①当QUOTE,即QUOTE时，QUOTE在QUOTE上恒成立，QUOTE在QUOTE上为单调递增函数，QUOTE的最大值大为QUOTE，由QUOTE,得QUOTE；③当QUOTE，即QUOTE时，QUOTE在QUOTE上恒成立，QUOTE在QUOTE上为单调递减函数，所以QUOTE的最大值大为QUOTE，由QUOTE，得QUOTE，又因为QUOTE,所以QUOTE，综上所述，实数QUOTE的取值范围是QUOTE或QUOTE.考点:1.导数的几何意义;2.利用导数研究函数的最值；3。“任意”、“存在”类问题。方法点睛：利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值，导数几何意义等内容是考查的重点.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“任意"和“存在”问题的等价转化，可以简化解题过程。本题“对任意的QUOTE，存在QUOTE使得QUOTE成立”等价于“在区间QUOTE上，QUOTE的最大值大于或等于QUOTE的最大值”.19。已知椭圆QUOTE的短轴长为QUOTE，右焦点为QUOTE，点QUOTE时是椭圆QUOTE上异于左、右顶点QUOTE的一点.（1）求椭圆QUOTE的方程；（2)若直线QUOTE与直线QUOTE交于点QUOTE,线段QUOTE的中点为QUOTE。证明:点QUOTE关于直线QUOTE的对称点在直线QUOTE上。【答案】（1)QUOTE；（2)见解析。【解析】试题分析：(Ⅰ）由短轴长为QUOTE，得QUOTE，结合离心率及QUOTE可得椭圆的方程；（Ⅱ）“点QUOTE关于直线QUOTE的对称点在直线QUOTE上”等价于“QUOTE平分QUOTE”，设出直线QUOTE的方程为QUOTE，可解出QUOTE,QUOTE的坐标,联立直线与椭圆的方程可得QUOTE点坐标，分为当QUOTE轴时，即可求得QUOTE的角平分线所在的直线方程，可得证,当QUOTE时，利用点到直线的距离可求出点QUOTE到直线QUOTE的距离QUOTE,即可得结果。①当QUOTE轴时，QUOTE，此时QUOTE．所以QUOTE．此时,点QUOTE在QUOTE的角平分线所在的直线QUOTE或QUOTE,即QUOTE平分QUOTE．②当QUOTE时，直线QUOTE的斜率为QUOTE，所以