极坐标与参数方程

坐标系与参数方程1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ,y＝ρsinθ))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2,tanθ＝\f(y,x)x≠0)).2．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过点M(b，eq\f(π,2))且平行于极轴：ρsinθ＝b.3．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρeq\o\al(2,0)－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；(3)圆心位于M(r，eq\f(π,2))，半径为r：ρ＝2rsinθ.4．直线的参数方程过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t为参数)．5．圆的参数方程圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋rcosθ，,y＝y0＋rsinθ))(θ为参数，0≤θ≤2π)．6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，,y＝bsinθ))(θ为参数)．(2)抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2,y＝2pt)).真题感悟1．(2013·广东)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．2．(2013·江西)设曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t,y＝t2))(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．3．(2013·湖北)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ,y＝bsinφ))(φ为参数，a>b>0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin(θ＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．4．(2011·陕西)在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋cosθ，,y＝4＋sinθ))(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则AB的最小值为________．5．(2012·湖南)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝1－2t))(t为参数)与曲线C2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝asinθ，,y＝3cosθ))(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.6.[2014·广东卷](坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sinθ与ρcosθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为________．7．[2014·湖南卷]在平面直角坐标系中，曲线C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)的普通方程为________．8．[2014·陕西卷]C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))到直线ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝1的距离是________．题型与方法题型一极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化例1已知直线l的参数方程：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝1＋2t))(t为参数)和圆C的极坐标方程：ρ＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))(θ为参数)．(1)将直线l的参数方程和圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)判断直线l和圆C的位置关系．变式训练1已知直线l的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝4t＋a))(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝4eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))).(1)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若圆上有且仅有三个点到直线l的距离为eq\r(2)，求实数a的值．题型二曲线的极坐标方程例2在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．变式训练2(2012·辽宁)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．题型三曲线的参数方程及应用例3(2012·福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，\f(π,2)))，圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cosθ，,y＝－\r(3)＋2sinθ))(θ为参数)．(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；(2)判断直线l与圆C的位置关系．变式训练3已知直线l的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)t,y＝\f(\r(2),2)t＋4\r(2)))(t是参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋eq\f(π,4))．(1)求圆心C的直角坐标；(2)由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．典例(10分)在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\r(2)，\f(π,4)))，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2cosα，,y＝\r(2)sinα))(α为参数)．(1)求直线OM的直角坐标方程；(2)求点M到曲线C上的点的距离的最小值．规范解答1．已知圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝1＋sinα))(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________________．2．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝1＋sinα))(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为________．3．点P(x，y)在曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋cosθ,y＝sinθ))(θ为参数，θ∈R)上，则eq\f(y,x)的取值范围是________．4．若直线l1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－2t，,y＝2＋kt))(t为参数)与直线l2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝s，,y＝1－2s))(s为参数)垂直，则k＝______.6．(2012·广东)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝\r(t)))(t为参数)和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)cosθ，,y＝\r(2)sinθ))(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．专题限时规范训练一、填空题1．曲线C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋2cosα,y＝2sinα))(α为参数)，若以点O(0,0)为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是________．2．已知两曲线参数方程分别为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(5)cosθ，,y＝sinθ))(0≤θ<π)和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,4)t2，,y＝t))(t∈R)，它们的交点坐标为________．3．已知曲线C的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ,y＝\r(3)sinφ))(φ为参数，a>0)，直线l的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋t,y＝－1－t))(t为参数)，曲线C与直线l有一个公共点在x轴上，则曲线C的普通方程为________．4．(2013·重庆)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝t3))(t为参数)相交于A，B两点，则AB＝________.二、解答题5．设直线l1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋t，,y＝1＋3t))(t为参数)，直线l2的方程为y＝3x＋4，求l1与l2间的距离．6．在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5cosφ，,y＝3sinφ))(φ为参数)的右焦点，且与直线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4－2t，,y＝3－t))(t为参数)平行的直线的普通方程．7．(2012·江苏)在极坐标系中，已知圆C经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，圆心为直线ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．8．已知直线的极坐标方程为ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)，圆M的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝－2＋2sinθ))(其中θ为参数)，极点在直角坐标原点，极轴与x轴正半轴重合．(1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求圆M上的点到直线的距离的最小值．9．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acosθ(a>0)，已知过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋\f(\r(2),2)t，,y＝－4＋\f(\r(2),2)t，))直线l与曲线C分别交于M，N两点．(1)写出曲线C和直线l的普通方程；(2)若PM，MN，PN成等比数列，求a的值．10．(2013·福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为(eq\r(2)，eq\f(π,4))，直线l的极坐标方程为ρcos(θ－eq\f(π,4))＝a，且点A在直线l上．(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cosα，,y＝sinα))(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．2013、2014年全国高考理科数学试题分类汇编：坐标系与参数方程一、选择题AUTONUM\*Arabic．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））在极坐标系中,圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （）A． B．C． D．二、填空题AUTONUM\*Arabic．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知圆的极坐标方程为,圆心为C,点P的极坐标为,则|CP|=______.AUTONUM\*Arabic．（2013年高考上海卷（理））在极坐标系中,曲线与的公共点到极点的距离为__________AUTONUM\*Arabic．（2013年高考北京卷（理））在极坐标系中,点(2,)到直线ρsinθ=2的距离等于_________.AUTONUM\*Arabic．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为的直线与曲线(为参数)相交于两点,则AUTONUM\*Arabic．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线的参数方程为(为参数),在点处的切线为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_____________.AUTONUM\*Arabic．（2013年高考陕西卷（理））C.(坐标系与参数方程选做题)如图,以过原点的直线的倾斜角为参数,则圆的参数方程为______.AUTONUM\*Arabic．（2013年高考江西卷（理））(坐标系与参数方程选做题)设曲线的参数方程为(为参数),若以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线的极坐标方程为__________AUTONUM\*Arabic．（2013年高考湖南卷（理））在平面直角坐标系中,若右顶点,则常数________.AUTONUM\*Arabic．（2013年高考湖北卷（理））在直角坐标系中,椭圆的参数方程为.在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,直线与圆的极坐标方程分别为与.若直线经过椭圆的焦点,且与圆相切,则椭圆的离心率为___________.三、解答题AUTONUM\*Arabic．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））选修4—4;坐标系与参数方程已知动点都在曲线为参数上,对应参数分别为与,为的中点.(Ⅰ)求的轨迹的参数方程;(Ⅱ)将到坐标原点的距离表示为的函数,并判断的轨迹是否过坐标原点.AUTONUM\*Arabic．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中以为极点,轴正半轴为极轴建立坐标系.圆,直线的极坐标方程分别为.(=1\*ROMANI)求与交点的极坐标;(=2\*ROMANII)设为的圆心,为与交点连线的中点.已知直线的参数方程为,求的值.AUTONUM\*Arabic．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点的极坐标为,直线的极坐标方程为,且点在直线上.(1)求的值及直线的直角坐标方程;(2)圆c的参数方程为,(为参数),试判断直线与圆的位置关系.AUTONUM\*A