内蒙古呼和浩特市2024届高三第一次质量监测文科数学试题（ 含答案解析 ）

2024届呼和浩特市高三年级第一次质量监测文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上，本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上．）1.若，则z的虚部是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】求出z即可得到虚部.【详解】，故z的虚部是1.故选：B2.设集合，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】应用集合的并、补运算求集合即可.【详解】由题设，所以.故选：D3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图确定几何体构成，应用圆柱体体积公式求几何体体积.【详解】由三视图知：几何体是将底面半径为1、高为2的圆柱体去掉四分之一所得，所以，几何体体积是圆柱体的，即.故选：C4.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理得，从而得，再由内角和为，求得.【详解】因为，所以由正弦定理得，即，因为，故或（舍）所以，由得，故选：D5.已知是奇函数，则（）A. B. C.0 D.1【答案】C【解析】【分析】根据奇函数求参数值，注意验证所得参数值是否满足函数为奇函数即可.【详解】由题设，则，而满足题设.所以.故选：C6.正六边形的边长是2，则（）A. B. C. D.12【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，从而利用平面向量数量积坐标公式计算即可.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则，故.故选：D7.设O为平面直角坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则点A落在区域内的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据几何概型的概率公式，由面积之比即可求解.【详解】表示圆心为原点，半径为2的圆以及内部，区域表示圆心为原点，半径为2和半径为1的圆环以及内部，所以概率，故选：D8.若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】应用零点存在定理结合函数单调性列不等式求解即可.

【详解】若函数存在1个零点位于内，单调递增,又因为零点存在定理，.故选：A.9.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】应用古典概型的概率求法求甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的概率.【详解】由题意，甲乙抽到的主题都有6种，故甲乙抽到主题的组合有种，甲乙抽到相同主题的组合有6种，所以甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的概率为.故选：A10.已知函数的最小正周期为，时函数图像位于最低点，则（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根据最小正周期可得，且，再应用诱导公式求的值即可.【详解】由题意，则，且，所以.故选：C11.已知实数x，y满足方程．则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，将化为的三角函数求最小值.【详解】令，则，因为，当时取最小值，所以的最小值为.故选：D12.设A，B为双曲线右支上两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用点差法，结合一元二次方程根与系数关系进行求解判断即可.【详解】设，则有，两式相减，得，因为线段AB的中点为，所以，因此由，即直线AB的斜率为，方程为，代入双曲线方程中，得，因为，所以线段AB存在，故选：C第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答；第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡的相应位置．）13.若x，y满足约束条件，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，再借助目标函数的几何意义求出最小值作答.【详解】不等式组表示的平面区域，如图中阴影，其中，目标函数，即表示斜率为2，纵截距为的平行直线系，画直线，平移直线到直线，当直线过点时，直线的纵截距最大，最小，，所以的最小值为.故答案为：14.若，，则__________．【答案】##【解析】【分析】应用平方关系作“1”的代换，结合正余弦齐次式求目标式的值.【详解】由题设.故答案为：15.已知点在抛物线C：上，则A到焦点F的距离为__________．【答案】4【解析】【分析】求出抛物线方程，根据抛物线定义求A到焦点F距离.【详解】因为在上，故，A到准线的距离为，故A到焦点F的距离为4.故答案：416.已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，满足，，，若平面ABC，则__________．【答案】【解析】【分析】易得，以为长宽高作长方体，则长方体的体对角线即为三棱锥的直径，再利用勾股定理即可得解.【详解】由，，，得，所以，又平面ABC，如图，以为长宽高作长方体，则长方体的体对角线即为三棱锥的直径，即，所以.故答案为：.三、解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.某教育集团为了办好人民满意的教育，每年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评（满意度最高120分，最低0分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低）．去年测评的结果（单位：分）如下甲校：96，112，97，108，100，103，86，98；乙校：108，101，94，105，96，93，97，106；（1）分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数及方差；（2）根据以上数据，你认为这两所学校中哪所学校的人民满意度比较好．【答案】（1）甲、乙的平均数都为100，方差分别为55.25，29.5（2）乙的人民满意度比较好【解析】【分析】（1）利用平均数和方差的运算公式进行求解即可；（2）根据方差的性质进行求解即可.【小问1详解】，，，；【小问2详解】甲乙的平均数相同，但是甲的方差大，数据波动就大，乙的方差小，数据相对集中，所以乙的人民满意度比较好18.记为数列的前n项和，已知．（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出，再利用与的关系求解作答.（2）由（1）的结论，确定数列的负数、正数项的n值，再分类讨论求解作答.【小问1详解】依题意，，当时，，，当时，满足上式，所以的通项公式是.【小问2详解】由（1）知时，，时，当时，当时，所以.19.如图所示，AB为圆O的直径，平面ABC，Q在线段PA上．（1）求证：平面平面ACQ；（2）若Q为靠近P的一个三等分点，，，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）主要是线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定.（2）等体积法求三棱锥的体积.【小问1详解】证明：由题知，∵平面ABC，平面ABC，∴，又∵，平面ACQ，平面ACQ，∴平面ACQ；又∵平面BCQ，∴平面平面ACQ.【小问2详解】.20设函数，．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）若在R上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）求出，，写出切线方程；（2），讨论，，确定的正负找出单调区间.（3）恒成立，讨论的单调性，由得a的取值范围．【小问1详解】∵∴，，，∴切线方程为：.【小问2详解】，①当时，，在R上单调递增；②当时，，负0正减极小值增综上所述：时，的单调递增区间为R；时，的单调递减区间为，单调递增区间.【小问3详解】，令，即，.①时，，单调递增，，故不成立，舍去.②时，恒成立，此时.③时，由（2）知，，故只需即可，，即.综上所述：.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.21.已知抛物线C：焦点为，直线l与抛物线C交于，两点，且，（O为坐标原点）．（1）求抛物线C的方程；（2）求证：直线l过定点．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由焦点坐标有求参数，即可得抛物线方程；（2）设l：，，，联立抛物线消去x，应用韦达定理、向量数量积的坐标表示列方程求参数，并写出直线方程，即可证结论.【小问1详解】由题设，则，所以抛物线方程为.【小问2详解】令l：，，，联立得：，则，，，解得或，由得：，故，∴l：过定点.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分．［选修4-4：坐标系与参数方程］22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）．（1）写出的直角坐标方程；（2）若与只有一个公共点，写出的直角坐标方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在等式两边同时乘以可得，利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可得出曲线的直角坐标方程，由可得出的范围，即可得解；（2）分析可知当与只有一个公共点，直线与曲线相切，且直线的斜率存在，设直线的方程为，且，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，求出的值，即可得出直线的直角坐标方程.【小问1详解】解：在等式两边同时乘以可得，化为普通方程可得，即，又因为，故曲线表示圆的上半圆，因此，曲线的直角坐标方程为.【小问2详解】解：由题意可知，曲线是过点且倾斜角为的直线，由图可知，当与只有一个公共点，直线与曲线相切，且直线的斜率存在，设直线的方程为，且，即，由题意可得，解得，因此，的直角坐标方程为.