同济第六版《高等数学》教案WORD版-第03章-中值定理与导数的应用名师

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同济第六版《高等数学》教案WORD版-第03章中值定理与导数的应用名师（完整版）资料(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）第三章中值定理与导数的应用教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。知道方程近似解的二分法及切线性。教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。教学难点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。§3.1中值定理一、罗尔定理费马引理设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义并且在x0处可导如果对任意xU(x0)有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))那么f(x0)0罗尔定理如果函数yf(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且有f(a)f(b),那么在(a,b)内至少在一点,使得f()0.简要证明(1)如果f(x)是常函数,则f(x)0,定理的结论显然成立.(2)如果f(x)不是常函数,则f(x)在(a,b)内至少有一个最大值点或最小值点,不妨设有一最大值点(a,b).于是所以f(x)=0.罗尔定理的几何意义:二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那么在(a,b)内至少有一点(a<<b),使得等式f(b)f(a)f()(ba)成立.拉格朗日中值定理的几何意义:f()定理的证明:引进辅函数令(x)f(x)f(a)(xa).容易验证函数f(x)适合罗尔定理的条件:(a)(b)0,(x)在闭区间[a,b]上连续在开区间(a,b)内可导,且(x)f(x).根据罗尔定理,可知在开区间(a,b)内至少有一点,使()0,即f()0.由此得f(),即f(b)f(a)f()(ba).定理证毕.f(b)f(a)f()(ba)叫做拉格朗日中值公式.这个公式对于b<a也成立.拉格朗日中值公式的其它形式:设x为区间[a,b]内一点,xx为这区间内的另一点(x>0或x<0),则在[x,xx](x>0)或[xx,x](x<0)应用拉格朗日中值公式,得f(xx)f(x)f(xqx)x(0<q<1).如果记f(x)为y,则上式又可写为yf(xqx)x(0<q<1).试与微分dyf(x)x比较:dyf(x)x是函数增量y的近似表达式,而f(xqx)x是函数增量y的精确表达式.作为拉格朗日中值定理的应用,我们证明如下定理:定理如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零,那么f(x)在区间I上是一个常数.证在区间I上任取两点x1,x2(x1<x2),应用拉格朗日中值定理,就得f(x2)f(x1)f()(x2x1)(x1<<x2).由假定,f()0,所以f(x2)f(x1)0,即f(x2)f(x1).因为x1,x2是I上任意两点,所以上面的等式表明:f(x)在I上的函数值总是相等的,这就是说,f(x)在区间I上是一个常数.例2.证明当x0时,.证设f(x)ln(1x),显然f(x)在区间[0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件,根据定理,就有f(x)f(0)f()(x0),0<<x。由于f(0)0,,因此上式即为.又由0x,有.三、柯西中值定理设曲线弧C由参数方程(axb)表示,其中x为参数.如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线,那么在曲线C上必有一点x,使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB,曲线C上点x处的切线的斜率为,弦AB的斜率为.于是.柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且F(x)在(a,b)内的每一点处均不为零,那么在(a,b)内至少有一点,使等式成立.显然,如果取F(x)x,那么F(b)F(a)ba,F(x)1,因而柯西中值公式就可以写成:f(b)f(a)f()(ba)(a<<b),这样就变成了拉格朗日中值公式了.§3.3泰勒公式对于一些较复杂的函数,为了便于研究,往往希望用一些简单的函数来近似表达.由于用多项式表示的函数,只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算,便能求出它的函数值,因此我们经常用多项式来近似表达函数.在微分的应用中已经知道,当|x|很小时,有如下的近似等式:ex»1+x,ln(1+x)»x.这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子.但是这种近似表达式还存在着不足之处:首先是精确度不高,这所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小;其次是用它来作近似计算时,不能具体估算出误差大小.因此,对于精确度要求较高且需要估计误差时候,就必须用高次多项式来近似表达函数,同时给出误差公式.设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数,现在我们希望做的是:找出一个关于(x-x0)的n次多项式pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+×××+an(x-x0)n来近似表达f(x),要求pn(x)与f(x)之差是比(x-x0)n高阶的无穷小,并给出误差|f(x)-pn(x)|的具体表达式.我们自然希望pn(x)与f(x)在x0的各阶导数(直到(n+1)阶导数)相等,这样就有pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+×××+an(x-x0)n,pn¢(x)=a1+2a2(x-x0)+×××+nan(x-x0)n-1,pn¢¢(x)=2a2+3×2a3(x-x0)+×××+n(n-1)an(x-x0)n-2,pn¢¢¢(x)=3!a3+4×3×2a4(x-x0)+×××+n(n-1)(n-2)an(x-x0)n-3,××××××,pn(n)(x)=n!an.于是pn(x0)=a0,pn¢(x0)=a1,pn¢¢(x0)=2!a2,pn¢¢¢(x)=3!a3,×××,pn(n)(x)=n!an.按要求有f(x0)=pn(x0)=a0,f¢(x0)=pn¢(x0)=a1,f¢¢(x0)=pn¢¢(x0)=2!a2,f¢¢¢(x0)=pn¢¢¢(x0)=3!a3,××××××f(n)(x0)=pn(n)(x0)=n!an.从而有a0=f(x0),a1=f¢(x0),,×××,,.(k0,1,2,,n)于是就有pn(x)=f(x0)+f¢(x0)(x-x0)(x-x0)2+×××(x-x0)n.泰勒中值定理如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)的阶导数,则当x在(a,b)内时,f(x)可以表示为(x-x0)的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和:其中(介于x0与x之间).这里多项式称为函数f(x)按(x-x0)的幂展开的n次近似多项式,公式+×××,称为f(x)按(x-x0)的幂展开的n阶泰勒公式,而Rn(x)的表达式其中(介于x与x0之间).称为拉格朗日型余项.当n=0时,泰勒公式变成拉格朗日中值公式:f(x)=f(x0)+f¢()(x-x0)(在x0与x之间).因此,泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.如果对于某个固定的n,当x在区间(a,b)内变动时,|f(n+1)(x)|总不超过一个常数M,则有估计式:,及.可见,妆x®x0时,误差|Rn(x)|是比(x-x0)n高阶的无穷小,即Rn(x)=o[(x-x0)n].在不需要余项的精确表达式时,n阶泰勒公式也可写成+×××当x0=0时的泰勒公式称为麦克劳林公式,就是,或,其中.由此得近似公式:误差估计式变为:.例1．写出函数f(x)ex的n阶麦克劳林公式.解:因为f(x)f(x)f(x)f(n)(x)ex,所以f(0)f(0)f(0)f(n)(0)1,于是(0<),并有.这时所产性的误差为|Rn(x)||xn1|<|x|n1.当x1时,可得e的近似式:.其误差为|Rn|<.例2．求f(x)sinx的n阶麦克劳林公式.解:因为f(x)cosx,f(x)sinx,f(x)cosx,,,,f(0)0,f(0)1,f(0)0,f(0)1,f(4)(0)0,,于是.当m1、2、3时,有近似公式sinxx,,.§3.4函数单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法如果函数yf(x)在[a,b]上单调增加（单调减少）,那么它的图形是一条沿x轴正向上升（下降）的曲线.这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）,即yf(x)0(yf(x)0).由此可见,函数的单调性与导数的符号有着密切的关系.反过来,能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？定理1(函数单调性的判定法)设函数yf(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.(1)如果在(a,b)内f(x)>0,那么函数yf(x)在[a,b]上单调增加;(2)如果在(a,b)内f(x)<0,那么函数yf(x)在[a,b]上单调减少.证明只证(1).在[a,b]上任取两点x1,x2(x1<x2),应用拉格朗日中值定理,得到f(x2)f(x1)f()(x2x1)(x1<<x2).由于在上式中,x2x1>0,因此,如果在(a,b)内导数f(x)保持正号,即f(x)>0,那么也有f()>0.于是f(x2)f(x1)f()(x2x1)>0,即f(x1)<f(x2),这函数yf(x)在[a,b]上单调增加.注:判定法中的闭区间可换成其他各种区间.例1判定函数yxsinx在[0,2]上的单调性.解因为在(0,2)内y1cosx>0,所以由判定法可知函数yxcosx在[0,2]上的单调增加.例2讨论函数yexx1的单调性.（没指明在什么区间怎么办？)解yex1.函数yexx1的定义域为(,).因为在(,0)内y<0,所以函数yexx1在(,0]上单调减少;因为在(0,)内y>0,所以函数yexx1在[0,)上单调增加.例3.讨论函数的单调性.解:函数的定义域为(,).当时,函数的导数为(x0),函数在x0处不可导.当x0时,函数的导数不存在.因为x<0时,y<0,所以函数在(,0]上单调减少;因为x>0时,y>0,所以函数在[0,)上单调增加.如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续,那么只要用方程f(x)0的根及导数不存在的点来划分函数f(x)的定义区间,就能保证f(x)在各个部分区间内保持固定的符号,因而函数f(x)在每个部分区间上单调.例4.确定函数f(x)2x39x212x3的单调区间.解这个函数的定义域为:(,).函数的导数为:f(x)6x218x126(x1)(x2).导数为零的点有两个:x11、x22.列表分析:(,1][1,2][2,)f(x)f(x)↗↘↗函数f(x)在区间(,1]和[2,)内单调增加,在区间[1,2]上单调减少.例5.讨论函数yx3的单调性.解函数的定义域为:(,).函数的导数为:y3x2.除当x0时,y0外,在其余各点处均有y>0.因此函数yx3在区间(,0]及[0,)内都是单调增加的.从而在整个定义域:(,)内是单调增加的.在x0处曲线有一水平切线.一般地,如果f(x)在某区间内的有限个点处为零,在其余各点处均为正（或负）时,那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.例6.证明:当x1时,.证明:令,则.因为当x>1时,f(x)>0,因此f(x)在[1,)上f(x)单调增加,从而当x>1时,f(x)>f(1).由于f(1)0,故f(x)>f(1)0,即,也就是(x1).二、曲线的凹凸与拐点凹凸性的概念x1x1x2yxOf(x2)f(x1)x1x2yxOf(x2)f(x1)定义设f(x)在区间I上连续,如果对I上任意两点x1,x2,恒有,那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧);如果恒有,那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧).定义设函数yf(x)在区间I上连续,如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的.凹凸性的判定:定理设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么(1)若在(a,b)内f(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;(2)若在(a,b)内f(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的.简要证明只证(1)设x1x2[ab]且x1x2记由拉格朗日中值公式得两式相加并应用拉格朗日中值公式得即所以f(x)在[a,b]上的图形是凹的拐点:连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点.确定曲线yf(x)的凹凸区间和拐点的步骤:(1)确定函数yf(x)的定义域;(2)求出在二阶导数f`(x);(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点;(4)判断或列表判断,确定出曲线凹凸区间和拐点;注:根据具体情况（1）（3）步有时省略.例1.判断曲线ylnx的凹凸性.解,.因为在函数ylnx的定义域(0,)内,y<0,所以曲线ylnx是凸的.例2.判断曲线yx3的凹凸性.解y3x2,y6x.由y0,得x0因为当x<0时,y<0,所以曲线在(,0]内为凸的;因为当x>0时,y>0,所以曲线在[0,)内为凹的.例3.求曲线y2x33x22x14的拐点.解y6x26x12,.令y0,得因为当时,y0;当时,y0,所以点(,)是曲线的拐点.例4.求曲线y3x44x31的拐点及凹、凸的区间.解(1)函数y3x44x31的定义域为(,);(2),;(3)解方程y0,得,;(4)列表判断:(,0)0(0,2/3)2/3(2/3,)f(x)00f(x)111/27在区间(,0]和[2/3,)上曲线是凹的,在区间[0,2/3]上曲线是凸的.点(0,1)和(2/3,11/27)是曲线的拐点.例5问曲线yx4是否有拐点？解y4x3,y12x2.当x0时,y>0,在区间(,)内曲线是凹的,因此曲线无拐点.例6求曲线的拐点解(1)函数的定义域为(,);(2),;(3)无二阶导数为零的点,二阶导数不存在的点为x0;(4)判断:当x<0当,y>0;当x>0时,y<0.因此,点(0,0)曲线的拐点.§3.5函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法极值的定义:定义设函数f(x)在区间(a,b)内有定义,x0Î(a,b).如果在x0的某一去心邻域内有f(x)<f(x0),则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值;如果在x0的某一去心邻域内有f(x)>f(x0),则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值.设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义如果在去心邻域U(x0)内有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点.函数的极大值和极小值概念是局部性的.如果f(x0)是函数f(x)的一个极大值,那只是就x0附近的一个局部范围来说,f(x0)是f(x)的一个最大值;如果就f(x)的整个定义域来说,f(x0)不一定是最大值.关于极小值也类似.极值与水平切线的关系:在函数取得极值处,曲线上的切线是水平的.但曲线上有水平切线的地方,函数不一定取得极值.定理1(必要条件)设函数f(x)在点x0处可导,且在x0处取得极值,那么这函数在x0处的导数为零,即f¢(x0)=0.证为确定起见,假定f(x0)是极大值(极小值的情形可类似地证明).根据极大值的定义,在x0的某个去心邻域内,对于任何点x,f(x)<f(x0)均成立.于是当x<x0时,因此f¢(x0);当x>x0时,因此;从而得到f¢(x0)=0.简要证明假定f(x0)是极大值.根据极大值的定义,在x0的某个去心邻域内有f(x)<f(x0).于是,同时,从而得到f¢(x0)=0.驻点:使导数为零的点(即方程f¢(x)=0的实根)叫函数f(x)的驻点.定理１就是说:可导函数f(x)的极值点必定是函数的驻点.但的过来,函数f(x)的驻点却不一定是极值点.考察函数f(x)=x3在x=0处的情况.定理２(第一种充分条件)设函数f(x)在点x0的一个邻域内连续,在x0的左右邻域内可导.(1)如果在x0的某一左邻域内f¢(x)>0,在x0的某一右邻域内f¢(x)<0,那么函数f(x)在x0处取得极大值;(2)如果在x0的某一左邻域内f¢(x)<0,在x0的某一右邻域内f¢(x)>0,那么函数f(x)在x0处取得极小值;(3)如果在x0的某一邻域内f¢(x)不改变符号,那么函数f(x)在x0处没有极值.定理２¢(第一种充分条件)设函数f(x)在含x0的区间(a,b)内连续,在(a,x0)及(x0,b)内可导.(1)如果在(a,x0)内f¢(x)>0,在(x0,b)内f¢(x)<0,那么函数f(x)在x0处取得极大值;(2)如果在(a,x0)内f¢(x)0,在(x0,b)内f¢(x)0,那么函数f(x)在x0处取得极小值;(3)如果在(a,x0)及(x0,b)内f¢(x)的符号相同,那么函数f(x)在x0处没有极值.定理2(第一充分条件)设函数f(x)在x0连续且在x0的某去心邻域(x0x0)(x0x0)内可导(1)如果在(x0x0)内f¢(x)>0,在(x0x0)内f¢(x)<0,那么函数f(x)在x0处取得极大值;(2)如果在(x0x0)内f¢(x)0,在(x0x0)内f¢(x)0,那么函数f(x)在x0处取得极小值;(3)如果在(x0x0)及(x0x0)内f¢(x)的符号相同,那么函数f(x)在x0处没有极值.定理2也可简单地这样说:当x在x0的邻近渐增地经过x0时,如果f¢(x)的符号由负变正,那么f(x)在x0处取得极大值;如果f¢(x)的符号由正变负,那么f(x)在x0处取得极小值;如果f¢(x)的符号并不改变,那么f(x)在x0处没有极值(注:定理的叙述与教材有所不同).确定极值点和极值的步骤:(1)求出导数f¢(x);(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点;(3)列表判断(考察f¢(x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况,以便确定该点是否是极值点,如果是极值点,还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值);(4)确定出函数的所有极值点和极值.例1求函数的极值解(1)f(x)在()内连续除x1外处处可导且(2)令f(x)0得驻点x1x1为f(x)的不可导点(3)列表判断x(1)1(11)1(1)f(x)不可导0f(x)↗0↘↗(4)极大值为f(1)0极小值为定理3(第二种充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f¢(x0)=0,f¢¢(x0)¹0,那么(1)当f¢¢(x0)<0时,函数f(x)在x0处取得极大值;(1)当f¢¢(x0)>0时,函数f(x)在x0处取得极小值;证明在情形(1),由于f¢¢(x0)<0,按二阶导数的定义有.根据函数极限的局部保号性,当x在x0的足够小的去心邻域内时,.但f¢(x0)=0,所以上式即.从而知道,对于这去心邻域内的x来说,f¢(x)与x-x0符号相反.因此,当x-x0<0即x<x0时,f¢(x)>0;当x-x0>0即x>x0时,f¢(x)<0.根据定理2,f(x)在点x0处取得极大值.类似地可以证明情形(2).简要证明在情形(1),由于f¢¢(x0)<0,f¢(x0)=0,按二阶导数的定义有.根据函数极限的局部保号性,在x0的某一去心邻域内有.从而在该邻域内,当x<x0时,f¢(x)>0;当x>x0时,f¢(x)<0.根据定理2,f(x)在点x0处取得极大值.定理3表明,如果函数f(x)在驻点x0处的二导数f¢¢(x0)¹0,那么该点x0一定是极值点,并且可以按二阶导数f¢¢(x0)的符来判定f(x0)是极大值还是极小值.但如果f¢¢(x0)=0,定理3就不能应用.讨论:函数f(x)=-x4,g(x)=x3在点x=0是否有极值？提示f(x)4x3,f(0)0f(x)12x2,f(0)0.但当x0时f(x)0,当x0时f(x)0,所以f(0)为极小值.g(x)3x2,g(0)0g(x)6x,g(0)0.但g(0)不是极值．例2求函数f(x)=(x2-1)3+1的极值.解(1)f¢(x)=6x(x2-1)2.(2)令f¢(x)=0,求得驻点x1=-1,x2=0,x3=1.(3)f¢¢(x)=6(x2-1)(5x2-1).(4)因f¢¢(0)=6>0,所以f(x)在x=0处取得极小值,极小值为f(0)=0.(5)因f¢¢(-1)=f¢¢(1)=0,用定理3无法判别.因为在-1的左右邻域内f¢(x)<0,所以f(x)在-1处没有极值;同理,f(x)在1处也没有极值.二、最大值最小值问题在工农业生产、工程技术及科学实验中,常常会遇到这样一类问题:在一定条件下,怎样使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等问题,这类问题在数学上有时可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.极值与最值的关系:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则函数的最大值和最小值一定存在.函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得,如果最大值不在区间的端点取得,则必在开区间(a,b)内取得,在这种情况下,最大值一定是函数的极大值.因此,函数在闭区间[a,b]上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者.同理,函数在闭区间[a,b]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者.最大值和最小值的求法:设f(x)在(a,b)内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为x1,x2,×××,xn,则比较f(a),f(x1),×××,f(xn),f(b)的大小,其中最大的便是函数f(x)在[a,b]上的最大值,最小的便是函数f(x)在[a,b]上的最小值.例3求函数f(x)|x23x2|在[34]上的最大值与最小值解在(34)内f(x)的驻点为不可导点为x1和x2由于f(3)20f(1)0f(2)0f(4)6比较可得f(x)在x3处取得它在[34]上的最大值20在x1和x2处取它在[34]上的最小值0例4工厂铁路线上AB段的距离为100km.工厂C距A处为20km,AC垂直于AB.为了运输需要,要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路.已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3:5.为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省,问D点应选在何处？解设AD=x(km),则DB=100-x,.设从B点到C点需要的总运费为y,那么y=5k×CD+3k×DB(k是某个正数),即+3k(100-x)(0£x£100).现在,问题就归结为:x在[0,100]内取何值时目标函数y的值最小.先求y对x的导数:.解方程y¢=0,得x=15(km).由于y|x=0=400k,y|x=15=380k,,其中以y|x=15=380k为最小,因此当AD=x=15km时,总运费为最省.例2¢工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km,A点到火车站B的距离为100km.欲修一条从工厂到铁路的公路CD.已知铁路与公路每公里运费之比为3:5.为了使火车站B与工厂C间的运费最省,问D点应选在何处？解设AD=x(km),B与C间的运费为y,则y=5k×CD+3k×DB(0£x£100),其中k是某一正数.由=0,得x=15.由于y|x=0=400k,y|x=15=380k,,其中以y|x=15=380k为最小,因此当AD=x=15km时,总运费为最省.注意:f(x)在一个区间(有限或无限,开或闭)内可导且只有一个驻点x0,并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点,那么,当f(x0)是极大值时,f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值;当f(x0)是极小值时,f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值.f(f(x0)Oax0bxy=f(x)yf(x0)Oax0bxy=f(x)y应当指出,实际问题中,往往根据问题的性质就可以断定函数f(x)确有最大值或最小值,而且一定在定义区间内部取得.这时如果f(x)在定义区间内部只有一个驻点x0,那么不必讨论f(x0)是否是极值,就可以断定f(x0)是最大值或最小值.dhb例6把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁.问矩形截面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量W()dhb解b与h有下面的关系:h2=d2-b2,因而(0<b<d).这样,W就是自变量b的函数,b的变化范围是(0,d).现在,问题化为:b等于多少时目标函数W取最大值？为此,求W对b的导数:.解方程W¢=0得驻点.由于梁的最大抗弯截面模量一定存在,而且在(0,d)内部取得;现在,函数在(0,d)内只有一个驻点,所以当时,W的值最大.这时,,即..解:把W表示成b的函数:(0<b<d).由,得驻点.由于梁的最大抗弯截面模量一定存在,而且在(0,d)内部取得;现在函数W在(0,d)内只有一个驻点,所以当时,抗弯截面模量W最大这时§3.8函数图形的描绘描绘函数图形的一般步骤:(1)确定函数的定义域,并求函数的一阶和二阶导数;(2)求出一阶、二阶导数为零的点,求出一阶、二阶导数不存在的点;(3)列表分析,确定曲线的单调性和凹凸性;(4)确定曲线的渐近性;(5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标轴的交点、其它点;(6)联结这些点画出函数的图形.例1.画出函数yx3x2x1的图形.解(1)函数的定义域为(,),(2)f(x)3x22x1(3x1)(x1),f(x)6x22(3x1).f(x)0的根为x1/3,1;f(x)0的根为x1/3.(3)列表分析:x(,1/3)1/3(1/3,1/3)1/3(1/3,1)1(1,)f(x)00f(x)0f(x)↗极大↘拐点↘极小↗(4)当x时,y;当x时,y.(5)计算特殊点:f(1/3)32/27,f(1/3)16/27,f(1)0,f(0)1;f(1)0,f(3/2)5/8.(6)描点联线画出图形:例2.作函数的图形.解:(1)函数为偶函数,定义域为(,),图形关于y轴对称.(2),.令f(x)0,得x0;令f(x)0,得x1和x1.(3)列表:x(,1)1(1,0)0(0,1)1(1,)f(x)＋＋0－－f(x)＋0－－0＋yf(x)↗拐点↗极大值↘拐点↘(4)曲线有水平渐近线y0.(5)先作出区间(0,)内的图形,然后利用对称性作出区间(,0)内的图形.例3.作函数的图形.解(1)函数的定义域为(,3)(3,).(2),.令f(x)0得x3,令f(x)0得x6.(3)列表分析x(,3)(3,3)3(3,6)6(6,)f(x)0f(x)0f(x)↘↗4极大↘11/3拐点↘(4)x3是曲线的铅直渐近线,y1是曲线的水平渐近线.(5)计算特殊点的函数值f(0)=1,f(1)8,f(9)8,f(15)11/4.(6)作图.§3.9曲率一、弧微分设函数f(x)在区间(a,b)内具有连续导数.在曲线yf(x)上取固定点M0(x0,y0)作为度量弧长的基点,并规定依x增大的方向作为曲线的正向.对曲线上任一点M(x,y),规定有向弧段的值s（简称为弧s）如下:s的绝对值等于这弧段的长度,当有向弧段的方向与曲线的正向一致时s>0,相反时s<0.显然,弧s是x的函数:ss(x),而且s(x)是x的单调增加函数.下面来求s(x)的导数及微分.设x,x为(a,b)内两个邻近的点,它们在曲线yf(x)上的对应点为M,N,并设对应于x的增量x,弧s的增量为s,于是,,因为1,又y,因此.由于ss(x)是单调增加函数,从而>0,.于是dsdx.这就是弧微分公式.因为当x®0时,s~,x又s与同号,所以因此这就是弧微分公式.二、曲率及其计算公式曲线弯曲程度的直观描述:设曲线C是光滑的,在曲线C上选定一点M0作为度量弧s的基点.设曲线上点M对应于弧s,在点M处切线的倾角为,曲线上另外一点N对应于弧s+s,在点N处切线的倾角为+.我们用比值,即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度.记,称为弧段MN的平均曲率.记,称K为曲线C在点M处的曲率.在=存在的条件下,.曲率的计算公式:设曲线的直角坐标方程是y=f(x),且f(x)具有二阶导数（这时f¢(x)连续,从而曲线是光滑的）.因为tan=y¢,所以sec2d=y¢¢dx,.又知ds=dx,从而得曲率的计算公式.例1.计算直线yaxb上任一点的曲率.例2.计算半径为R的圆上任一点的曲率.讨论:1.计算直线yaxb上任一点的曲率.提示:设直线方程为yax+b,则y¢a,y¢¢0.于是K0.2.若曲线的参数方程为x(t),y(t)给,那么曲率如何计算？提示.3.计算半径为R的圆上任一点的曲率.提示圆的参数方程为xRcostyRsint例1.计算等双曲线xy1在点(1,1)处的曲率.解由,得,.因此y|x11,y|x12.曲线xy1在点(1,1)处的曲率为.例4抛物线y=ax2+bx+c上哪一点处的曲率最大？解:由y=ax2+bx+c,得y¢=2ax+b,y¢¢=2a,代入曲率公式,得.显然,当2ax+b=0时曲率最大.曲率最大时,x=-,对应的点为抛物线的顶点.因此,抛物线在顶点处的曲率最大,最大曲率为K=|2a|.三、曲率圆与曲率半径设曲线在点M(x,y)处的曲率为K(K¹0)在点M处的曲线的法线上,在凹的一侧取一点D,使|DM|K1.以D为圆心,为半径作圆,这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆,曲率圆的圆心D叫做曲线在点M处的曲率中心,曲率圆的半径叫做曲线在点M处的曲率半径.设曲线在点M处的曲率为K(K¹0),在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于M且半径为K1的圆,则这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆,其圆心叫做曲率中心,其半径叫做曲率半径.曲线在点M处的曲率K(K¹0)与曲线在点M处的曲率半径有如下关系:=,K=.例3设工件表面的截线为抛物线y=0.4x2.现在要用砂轮磨削其内表面.问用直径多大的砂轮才比较合适？解砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径.y¢=0.8x,y¢¢=0.8,y¢|x=0=0,y¢¢|x=0=0.8.把它们代入曲率公式,得=08.抛物线顶点处的曲率半径为K1=125.所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长,即直径不得超过2.50单位长.《市场营销学》教学大纲一、课程基本信息课程编号：DJX093209中文名称：市场营销学英文名称：Marketing适用专业：统计学专业课程性质：专业课总学时：32总学分：6学分二、课程简介市场营销学是在西方发达国家诞生并发展起来的一门新兴学科，是现代企业经营管理经验的总结。市场营销学是一门综合性的应用科学，集经济学、管理学、社会学、心理学、行为科学等学为一体。市场营销学主要研究以满足消费者需求为中心的企业营销活动过程及其规律性，即在特定环境下，企业在市场营销调研的基础之上，选择目标市场，为满足消费者现实和潜在需求，所实施的产品策略、价格策略、分销策略、促销策略为主要内容的企业活动过程。研究内容具有综合性、实践性、应用性、战略性和策略性等特点。三、相关课程的衔接预修课程（编号）：微观经济学（DJX093203）、宏观经济学（DJX093204）金融概论（DJX093210）并修课程（编号）：国际贸易（DJX093213）货币银行学四、教学的目的、要求与方法（一）教学目的通过《市场营销学》的教学，使学生比较系统地、全面地、客观地了解和掌握市场营销学的基本理论，吸收和借鉴当今国内外市场营销理论的新观点、新方法，对市场营销学的内容有一个比较全面的认识，以适应社会发展和本人发展的需要。（二）教学要求通过本课程的学习，学生应理解和掌握市场营销的基本理论，比较系统地掌握从事市场营销活动的基本方法和策略，具有观察问题、分析问题、解决问题的能力，最终成为能为企业营销实践与市场运作提供理论基础与决策参考，为各级工商企业、管理部门、各类营销机构培养具备市场营销知识和技能、有开拓和创新精神、适应市场经济发展需要的高层次专门人才。（三）教学方法本课程采用理论与实际结合，讲授与自学结合，案例分析与课堂讨论结合的“三结合”教学方法。课程的教学形式可采用课堂讲授、利用业余时间收听、观看视频资料和自学等形式。另外，在实践教学环节，有重点地组织一些课堂讨论和案例分析以及单元测验，督促并检查学生按时完成课外作业。五、教学内容（实验内容）及学时分配第一章市场营销与市场营销观念

第一节市场营销概述了解市场营销学的学科性质，了解市场营销学的形成和发展，掌握市场营销的含义。

第二节市场营销与相关学科了解市场营销学与经济学、心理学、社会学、管理学及其他学科的关系。第三节市场营销的内涵熟练掌握市场和市场营销的含义。注意区分价值和使用价值的含义。掌握交换和交易的内涵。第四节市场营销的重要性了解市场营销的广度和深度，以及在不同行业的扩散。本章的重点：市场和市场营销的含义本章的难点：市场营销的广度和深度第二章市场营销哲学的演变第一节市场营销观念了解生产观念、产品观念、推销观念、市场营销观念、社会市场营销观念。掌握客户观念。

第二节市场营销组合的扩充与演变掌握市场营销组合的基本框架4P，大市场营销6P，了解市场营销战略分析框架10P和服务市场营销组合7P，并掌握市场营销组合的演变。第三节市场营销哲学新视野了解在市场道德和社会责任的要求下，面对全球化背景和数字化时代，市场营销哲学的转变。本章的重点：生产观念、产品观念、推销观念、市场营销观念、社会市场营销观念、客户观念本章的难点：社会市场营销观念、客户观念第三章战略计划与市场营销管理第一节战略计划与市场导向了解战略、战术等术语含义，掌握战略计划及其过程，理解战略计划过程中的市场导向。第二节市场营销管理了解市场营销管理的实质和任务。第三节市场营销管理过程掌握市场营销管理过程：分析市场机会、选择目标市场、设计市场营销组合、管理市场营销活动。第四节市场营销信息系统了解市场营销信息系统的含义、构成和管理者。本章的重点：市场营销管理的任务本章的难点：市场营销管理过程第四章市场营销环境分析

第一节市场营销环境概述了解市场营销环境的含义。掌握市场营销环境的特征。熟练掌握市场营销环境分析与企业对策。第二节市场营销微观环境了解并掌握企业内部、市场营销渠道企业、顾客、竞争者、公众等要素的内容和分析方法。第三节市场营销宏观环境了解并掌握人口环境、经济环境、自然环境、科学技术环境、政治法律环境、社会文化环境等要素的内容和分析方法。

本章的重点：市场营销环境分析与企业对策、企业宏观市场营销环境分析、企业微观市场营销环境分析本章的难点：市场营销环境分析与企业对策第五章消费者市场及其购买行为第一节消费者市场了解消费者市场的含义、特点和购买对象。第二节影响消费者购买行为的因素掌握影响消费者购买行为的因素。第三节消费者购买行为及决策了解参与决策的角色和消费者的购买行为，掌握消费者购买决策过程。本章的重点：影响消费者购买行为的因素本章的难点：消费者购买决策过程第六章组织市场分析第一节组织市场了解组织市场的构成和特点。第二节产业市场购买行为了解产业市场的特点和产业购买决策的参与者，了解产业购买者的行为类型以及影响产业购买者决策的主要因素，掌握产业购买者的决策过程。第三节中间商购买行为了解中间商购买行为的主要类型和购买决策。第四节政府采购行为了解政府采购的基本概念、基本原则，掌握政府采购方式。本章的重点：产业购买者的决策过程、政府采购方式本章的难点：影响产业购买者决策的主要因素第七章目标市场营销战略

第一节市场细分掌握市场细分的含义和作用。熟练掌握市场细分的方法和步骤、消费者市场细分的依据。

第二节目标市场的选择了解目标市场的含义。了解选择目标市场的条件。熟练掌握目标市场的选择模式。熟练掌握并能够运用目标市场营销策略。第三节市场定位

了解市场定位的含义与意义。了解市场定位的步骤。掌握并能够运用市场定位的策略与重新定位策略。本章的重点：消费者市场细分的依据、目标市场的选择模式、目标市场营销策略、市场定位的步骤、市场定位的策略与重新定位本章的难点：目标市场的选择模式、市场定位的策略与重新定位第八章市场竞争策略第一节竞争者分析了解如何识别企业的竞争者，掌握如何确定竞争者的目标和战略，判断竞争者的市场反应，了解择竞争对策时应考虑的因素。第二节基本竞争战略掌握成本领先战略、差异化战略、目标集聚战略。第三节市场地位与竞争战略掌握市场主导者战略、市场挑战者战略、市场追随者战略和市场补缺者战略。第四节市场竞争新模式-战略联盟了解战略联盟的途径和形式，了解战略联盟的优势，掌握战略联盟的建立与管理。本章的重点：成本领先战略、差异化战略、目标集聚战略、市场主导者战略、市场挑战者战略、市场追随者战略和市场补缺者战略。本章的难点：差异化战略、目标集聚战略、市场挑战者战略、市场追随者战略第九章新产品开发战略第一节新产品开发的必要性掌握新产品的概念和分类，了解新产品开发的必要性。第二节新产品开发战略选择及开发过程了解新产品开发战略的选择，熟练掌握新产品开发的过程。第三节新产品的采用与扩散了解新产品的创新，了解顾客创新和企业引入顾客创新过程中的影响因素，掌握新产品采用过程和扩散过程。了解新产品失败的原因。本章的重点：新产品开发的过程、新产品的采用和扩散过程本章的难点：新产品开发的过程第十章产品与服务策略

第一节产品组合策略掌握产品整体概念。了解产品质量策略。学会产品分类。掌握并运用产品组合策略。第二节产品生命周期理论与策略了解产品生命周期的含义及研究的理论意义。掌握并运用产品生命周期各阶段的营销策略。第三节服务与服务营销了解服务的特点，掌握服务市场营销与产品市场营销的差异。了解服务谱系图。第四节服务质量管理了解服务质量的含义，理解服务质量的测定，掌握提高服务质量的战略，并运用于顾客服务。第五节服务的有形展示了解有形展示的类型和服务环境的设计。本章的重点：产品组合策略、产品生命周期各阶段的营销策略、新产品开发过程、品牌策略、服务市场营销与产品市场营销的差异本章的难点：产品组合策略、产品生命周期各阶段的营销策略、提高服务质量的战略第十一章品牌策略第一节品牌综述了解品牌的概念及整体含义，了解并掌握品牌的作用。第二节品牌资产掌握品牌资产的含义，掌握品牌资产的构成，了解品牌资产的量化。第三节品牌策略选择了解并掌握品牌策略的几种类型：品牌有无策略、品牌使用者策略、品牌统分策略，掌握品牌扩展策略、品牌更新策略。本章的重点：品牌的作用、品牌资产的含义，品牌资产的构成、品牌有无策略、品牌使用者策略、品牌统分策略，掌握品牌扩展策略、品牌更新策略本章的难点：品牌资产的构成、品牌有无策略、品牌使用者策略、品牌统分策略，掌握品牌扩展策略第十二章定价策略

第一节定价的影响因素掌握影响定价的因素包括：定价目标、产品成本、市场需求、竞争者的产品和价格。

第二节定价方法掌握成本导向定价法。了解需求导向定价法和竞争导向定价法。第三节定价策略熟练掌握并运用心理定价策略。了解地区性定价策略。掌握折扣定价策略。了解需求差别定价策略。熟练掌握并运用新产品定价策略。了解产品组合定价策略。第四节价格变动与企业对策本章的重点：定价的影响因素、定价方法、定价策略本章的难点：市场需求、竞争者的产品和价格、成本导向定价法、心理定价、新产品定价第十三章分销策略

第一节