第二讲转化思想在解三角形中的应用（原卷版）

第2讲转化思想在解三角形中的应用转化思想是高中生必备的灵活性思维方式，也是解决数学问题的有效途径之一，其要点在于将陌生的问题情形转化为熟悉的情形，将复杂、抽象的数学问题简单化、直观化，或从不同角度切入以分析问题，逐步探索出解决问题的有效方法。解三角形作为高中数学教学的重要内容之一，对于学生数学思维品质有着较高要求，需要学生运用三角形相关知识，结合已有条件求出三角形的三个边或三个角，其中便涉及到对转化思想的运用，例如将题干内的抽象语言转化为直观的图形、“爪型”问题的相关求解、边角互化的应用及三角形内角转化在解三角形中都有广泛的重要应用，而本文会重点就转化思想在解三角形中的几类应用展开详细讲解。【应用一】转化思想在解三角形边角互化中的应用形如我们在学习解三角形时，会学习正弦定理及其变化的相关应用，对于基础型的“对边对角”类型，我们可以利用正弦定理直接求解，但有时也会遇到形如“、、、”等类型的等式来求对应角的问题，那么此时我们该如何求解呢？我们不妨重新学习一下正弦定理，基本公式为（其中为外接圆的半径），可变形为①②③其实上面3个变形已经解释了边角互化的本质，即能否被抵消掉，能同时被抵消则可以实现边角互化。我们在做题过程中遇见“边是一次”时，通常边化角；遇见“正弦乘积是二次或边与正弦乘积是二次”时，通常角化边后用余弦定理求解；例如下面这两道例题：【例】（2022秋·云南保山·高三统考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角A；(2)若，的面积为，求.本题是模考或高考中解三角形较常规的题型，解题关键突破口在于利用正弦定理进行边角互化求角，通过刚才分析，我们发现这是边为一次的齐次类型，我们可以边化角，即得到，此时我们发现有三个角，于是我们可以利用三角形内角和为，进行角度转化，那么要替换哪个角呢？通过观察我们发现，角的正余弦值是乘积关系，于是我们可以替换角，即，进而化简得到，利用辅助角公式化简即可求值。【例】（2023春·江西宜春·高三上校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(1)求角B；(2)若，求BC边上的高.本题是模考或高考中解三角形较常规的题型，解题关键突破口在于利用正弦定理进行边角互化求角，通过刚才分析，我们发现这是正弦值为二次的齐次类型，我们可以角化边，即得到，利用余弦定理求解即可。【思维提升】通过两题我们不难发现，对于已知边的一次齐次式、正弦值或边与正弦值的乘积的二次齐次式，我们都可以用边角互化来求解，通过学习本题达到学习一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究解三角形中其他形式的求值问题【变式1.1】（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校考阶段练习）在中，角的对边分别为.(1)求角；(2)若的面积为，求的周长.【变式1.2】（2023秋·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知在锐角中，分别为内角的对边，若．(1)求；(2)若，求周长的取值范围．【变式1.3】（2023春·四川自贡·高一统考期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.(1)求A；(2)点D在AB边上，，且，求sin∠BCD.

【变式1.4】（2023秋·山西大同·高三统考开学考试）在中，内角的对边分别为，且．(1)求角的大小；(2)若，是边的中点，且，求的内切圆的半径．【应用二】转化思想在借助内角和为180度转化角度的解三角形中的应用我们在学习解三角形时，经常会遇到利用三角形内角和为180度的角度转化。即在三角形中有，不妨表示为，即有，，。我们有时也经常结合边角互化把待求问题转换为角度问题，进一步由三角形内角和、三角函数值的符号或三角函数范围可求解相关问题，例如下面这道例题：【例2】（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．本题第二问，求的最小值，我们首先可以进行边角互化，即求的最小值，通过观察发现，转化代数式中仍然有三个角，我们需要利用三角形内角和关系进行角度转化，那么该转化哪个角呢？通过第一问我们得到，即，进而得到，所以两个角都可以用角来表示，即得到，进而利用基本不等式求出最小值即可。当然我们还需要考虑能否取等，即能否成立，于是我们还需要对角的范围进行计算，由可得，又由，得到，从而验证等号成立。【思维提升】通过本题我们不难发现，对于边长型最值或正余弦型最值等相关问题，我们可以边角互化转化为关于三角函数角度的讨论或值域问题，过程中很重要的是要利用三角形内角和的关系用一些角来表示另一些角，当然也要对角度的范围进行讨论。通过学习本题达到学习一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究解三角形中其他形式的最值问题【变式2.1】（2023秋·广东肇庆·高二校考开学考试）记钝角的内角的对边分别为，已知．(1)若，求；(2)求的取值范围．【变式2.2】（2023春·山西朔州·高三校考阶段练习）记△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求；(2)求的最小值．【变式2.3】（2023秋·四川泸州·高二四川省泸县第四中学校考开学考试）记的内角的对边分别为，已知.(1)若，求；(2)求的最小值.【应用三】转化思想在“爪型”图形类解三角形中的应用我们在学习解三角形时，经常会遇到关于图形类解三角形的相关问题求解。此类问题中，如果题目中带有图形，则可直接分析作答；若题干中无图形，我们需要根据题干条件先转化作图后再分析作答。常见的“爪型”图形类关联问题有“高线类型”、“中线类型”和“角平分线类型”，解题的关键在于转化到某个三角形或某些三角形中，利用正弦定理、余弦定理或面积公式来求解，例如下面这道例题：【例】（2023·全国·统考高考真题）已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．本题第一问结合已知条件易求得，即，可求得，第二问是关于高线的求解，我们不妨先作图，如图所示：求高线长即求CD长，我们可以转化到三角形ABC中的面积求解。通过刚才的求解，我们知道了A角、C角和c边，如果我们能求出b边，则可表示出三角形的面积，进而建立等式求解。那么我们该如何求解b边呢，通过观察发现，如果我们能表示出B角，则可用正弦定理求解，则，由正弦定理，，可得，则，求解即可【思维提升】通过本题我们不难发现，对于图形类问题中求解边角问题时，我们常常转化到一个三角形或一些三角形中，利用正弦定理、余弦定理或面积公式来求解，通过学习本题达到学习一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究解三角形中其他较复杂的图形类问题【变式3.1】（2023·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求．【变式3.2】（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则．【变式3.3】（2023·全国·统考高考真题）在中，已知，，.(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积.巩固练习1.（2023·河南开封·统考三模）在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．(1)求角B；(2)若，的内切圆半径，求的面积．2．（2023秋·陕西汉中·高三统考阶段练习）在中，角的对边长分别为，且.(1)求；(2)若的面积为，，求的周长.3．（2023秋·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.(1)求角；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.4．（2022·陕西汉中·校联考模拟预测）的内角、、的对边分别为、、，已知.(1)求；(2)若，的面积为，求的周长.5．（2021·陕西榆林·陕西省神木中学校考三模）在中，角的对边分别是，且.(1)求证：；(2)若，求的面积.6．（2023春·青海海东·高一统考阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求；(2)若，的面积为，求的周长．7．（2023春·四川德阳·高一统考期末）记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.(1)若，求c的值；(2)以a、b、c为边长的正三角形的面积分别记为、、，求的最小值.8．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）在中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1