【数学课件】抛物线的简单几何性质 2023-2024学年高二数学（人教A版2019选择性必修第一册）

3.3.2抛物线的简单几何性质(1)范围：(2)对称性：关于x轴对称抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.(3)顶点(抛物线与轴的交点)：(4)离心率：(5)p对抛物线的影响：p越大，开口越大

1.抛物线的简单几何性质抛物线的焦点弦

的性质及运用抛物线的弦长抛物线中互相垂直的焦点弦[应用]抛物线的焦点弦长[应用]抛物线的焦点弦长探究2：抛物线的焦半径上－下+小结1：抛物线焦点弦的性质与韦达定理or弦中点坐标有关xOyF小结2：抛物线焦半径的性质(焦半径比例与倾斜角有关)(涉及焦半径比例时可用)(AB⊥x轴时S最小)[应用]抛物线的焦半径[应用]抛物线的焦半径联立求xMMM1小结：抛物线焦点弦的性质(焦点弦中点到准线的距离)AD(2018新课标II)设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点，|AB|=8.(1)求直线l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.(2018新课标II)设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点，|AB|=8.(1)求直线l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.∴所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.抛物线与直线1.抛物线与直线的位置关系2.抛物线中的定值定点问题3.抛物线中点弦问题(点差法)4.抛物线中的对称问题1.抛物线与直线的位置关系(1)只有1个公共点：(2)有2个公共点：(3)无公共点：先考虑二次项系数是否为0，再考虑△小结1：抛物线与直线的位置关系的判定(代数法)设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，直线Ax＋By＋C＝0，联立直线与抛物线方程，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋q＝0．①若m≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点(相交)；当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点(相切)；当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点(相离)．②若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合．[应用1]抛物线与直线的位置关系析：若l的斜率存在，则设l：y=kx+1.[练习2]求抛物线y2=4x上一点到直线l：2x+y+4=0的最短距离.3[例1]如图,已知直线l:y=2x－4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求出这个最大面积.[应用1]抛物线与直线的位置关系关键：转化为二次函数的最值.[例1]如图,已知直线l:y=2x－4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求出这个最大面积.[应用1]抛物线与直线的位置关系关键：点P到AB的距离的最值转化为二次函数的最值.A(5,0)kl=1[例1]如图,已知直线l:y=2x－4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求出这个最大面积.[应用1]抛物线与直线的位置关系关键：(数形结合法)点P到AB的距离的最值转化为两平行线间距离的最值.2.抛物线与直线中的定值定点问题2.抛物线与直线中的定值定点问题2.抛物线与直线中的定值定点问题0-4p2小结：抛物线与直线中的定值问题(用⊥时记忆结论)[应用2.1]抛物线与直线中的定值问题(法1)(法2)[应用2.1]抛物线与直线中的定值问题(法3)[应用2.1]抛物线与直线中的定值问题[应用2.2]抛物线与直线中的定点问题[例3]已知抛物线的方程是y2=4x,直线l交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)若弦AB的中点为(3,3),求直线l的方程;(2)若y1y2=﹣12,求证:直线l过定点.

当l的斜率不存在时,∵y1y2=-12,∴x1=x2=3,l过定点(3,0).

综上,l过定点(3,0).∴l的方程为y=kx－3k=k(x－3)，过定点(3,0).[应用2.2]抛物线与直线中的定点问题3.抛物线的中点弦——点差法[变式2]已知抛物线y2=6x,过点A(4,1)引抛物线的一条弦PQ,使它恰好被点A平分,求这条弦所在的直线方程及|PQ|的值.3.抛物线的中点弦问题(点差法)[例4]已知抛物线y2