求递推数列通项的特征根法

求递推数列通项的特征根法（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）

求递推数列通项的特征根法求递推数列通项的特征根法（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）-----07、08广东卷压轴题深圳东升学校陈胜华内容摘要：针对07、08年广东高考题绝大部分同学感觉很难，无从下手！对其思路、方法分析、归纳，以共参考.关键词：特征方程一、形如是常数）的数列形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①若①有二异根，则可令是待定常数）若①有二重根，则可令是待定常数）再利用可求得，进而求得下面以08广东卷理科21题来看其应用：设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；（3）若，，求的前项和．解析：（1）由是方程的两个实根，则；故，（2）设，则，由得，消去，得，是方程的根，由题意可知，①当时，此时方程组的解记为即、分别是公比为、的等比数列，由等比数列性质可得,,两式相减，得，，，，即，②当时，由①可知，，即，等式两边同时除以，得，即数列是以1为公差的等差数列，,综上所述，（3）把，代入，得，解得二、形如的数列(不动点法)对于数列，是常数）其特征方程为，变形为…②若②有二异根，则有，再进一步求得.如07广东卷理科21题：已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，（n=1,2,……）（1）求的值；（2）证明：对任意的正整数n，都有；；（3）记（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn。解析：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根，∴；（2），，其特征根方程为，即由.,∴,则.（3），同理，，又.参考文献《奥林匹克数学中的代数问题》湖南师范大学出版社浅谈特征根法在求递推数列通项中的运用高三数学组徐朝生以往浙江每年高考理科数学都会考数列，而且往往以压轴题出现，难度都比较大，09年浙江高考理科没有考数列大题，文科考了等差数列，题目相对简单，但在全国其它省市中（如安徽、山东、广东、宁夏、海南、天津、江西等）经常考数列大题，题目有难有易，比如广东和江西的较难。而各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。如：（08年广东高考）设p、q为实数，α、β是方程x2-px+q=0的两个实数根，数列{xn}满足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5……)1）……………2）求数列{xn}的通项公式。3）若，，求数列{xn}的前n项的和sn(09年江西高考)各项均为正数的数列中，，1）当。像上述两道题，如果不能顺利求出数列的通项公式，就不能继续做后面的题，想得高分就难，对于那些有可能上重点大学的绩优学生来说重点大学之梦就可能是两个字——遗憾。本文就一、两种题型进行探讨，重点强调求解数列通项公式的方法之一——特征根法的运用，希望能对部分同学有帮助。类型一、递推公式为（其中p，q均为非零常数）。先把原递推公式转化为，其中满足，显然是方程的两个非零根。如果，则，成等比，很容易求通项公式。如果，则{}成等比。公比为，所以，转化成：，(I)又如果，则{}等差，公差为，所以，即：可以整理成通式：Ii)如果，则令，，,就有，利用待定系数法可以求出的通项公式所以，化简整理得：，小结特征根法：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。简例应用（特征根法）：数列：，的特征方程是：,。又由，于是故下面再看特征根法在08年广东高考题中的应用：设p、q为实数，α、β是方程x2-px+q=0的两个实数根，数列{xn}满足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5……)1）……………2）求数列{xn}的通项公式。3）若，，求数列{xn}的前n项的和sn解：2）显然xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5……)的特征根方程就是x2-px+q=0，而α、β是方程x2-px+q=0的两个实数根，所以可以直接假设：当α=β时，设，因为x1=p,x2=p2-q，所以解得当时，设，因为x1=p,x2=p2-q，所以解得，+3），时，，由第2）小题的⑴项可以直接得到，可以用错位相减法求和顺利拿下第3）小题。本题是08年广东高考真题，开始前两问均以字母的形式出现，给考生设置了接题障碍，如果在考前曾经学过特征根法，记住公式，那本题对这同学来说无疑是几分种的事情，或对特征根法有一定的了解，也许是多花点时间的问题，至少是接题思路和方向明确，绝不会象无头苍蝇一样乱撞。知道特征根法的来龙去脉、公式、以及运用也是学生能力拓展的一种表现。特征根法还能应用于下面一种数列题型的解答：类型二、解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,如果则；如果则是等差数列。当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。（证明方法如同类型一，从略）例：已知数列满足性质：对于且求的通项公式.解:数列的特征方程为变形得其根为故特征方程有两个相异的根，则有∴∴即例：已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？解：作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根(1)∵对于都有(2)∵∴令，得.故数列从第5项开始都不存在，当≤4，时，.(3)∵∴∴令则∴对于∴(4)、显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且≥2.∴当（其中且N≥2）时，数列从第项开始便不存在。于是知：当在集合或且≥2}上取值时，无穷数列都不存在。变式:（2005，重庆,文,22,本小题满分12分）数列记（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求数列的通项公式及数列的前n项和解：由已知,得,其特征方程为解之得,或,,下面再欣赏用特征根法解决09年江西高考真题各项均为正数的数列中，，1）当解：由得化间得，作特征方程，，。所以从上面的解答不难看出特征根法在某些特殊的数列递推题型中有比较轻巧灵活简便的运用，而离开特征根法，这些题目不仅难度较大，运算较烦，许多同学只能是望题兴叹！其实从网络上搜索便知特征根法在许多的数学分支领域、科学应用领域都有着广泛的应用。求递推数列通项的特征根法-----07、08广东卷压轴题深圳东升学校陈胜华内容摘要：针对07、08年广东高考题绝大部分同学感觉很难，无从下手！对其思路、方法分析、归纳，以共参考.关键词：特征方程一、形如是常数）的数列形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①若①有二异根，则可令是待定常数）若①有二重根，则可令是待定常数）再利用可求得，进而求得下面以08广东卷理科21题来看其应用：设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；（3）若，，求的前项和．解析：（1）由是方程的两个实根，则；故，（2）设，则，由得，消去，得，是方程的根，由题意可知，①当时，此时方程组的解记为即、分别是公比为、的等比数列，由等比数列性质可得,,两式相减，得，，，，即，②当时，由①可知，，即，等式两边同时除以，得，即数列是以1为公差的等差数列，,综上所述，（3）把，代入，得，解得二、形如的数列(不动点法)对于数列，是常数）其特征方程为，变形为…②若②有二异根，则有，再进一步求得.如07广东卷理科21题：已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，（n=1,2,……）（1）求的值；（2）证明：对任意的正整数n，都有；；（3）记（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn。解析：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根，∴；（2），，其特征根方程为，即由.,∴,则.（3），同理，，又.参考文献《奥林匹克数学中的代数问题》湖南师范大学出版社求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法mw.w例1在数列{}中，,，求通项公式.解：原递推式可化为：则，……，逐项相加得：.故.二、作商求和法例2设数列{}是首项为1的正项数列，且（n=1,2,3…），则它的通项公式是=▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为：=0∵＞0，则……，逐项相乘得：，即=.三、换元法例3已知数列{}，其中，且当n≥3时，，求通项公式（1986年高考文科第八题改编）.解：设，原递推式可化为：是一个等比数列，，公比为.故.故.由逐差法可得：.例4已知数列{}，其中，且当n≥3时，，求通项公式。解由得：，令，则上式为，因此是一个等差数列，，公差为1.故.。由于又所以，即四、积差相消法例5（1993年全国数学联赛题一试第五题）设正数列，，…，，…满足=且，求的通项公式.解将递推式两边同除以整理得：设=，则=1，，故有⑴⑵…………(由⑴+⑵+…+(得=，即=.逐项相乘得：=，考虑到，故.五、取倒数法例6已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式。解将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.六、取对数法例7若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁（2002年上海高考题）.解由题意知＞0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列，，即.七、平方（开方）法例8若数列{}中，=2且（n），求它的通项公式是.解将两边平方整理得。数列{}是以=4为首项，3为公差的等差数列。。因为＞0，所以。八、待定系数法待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下：1、（A、B为常数）型，可化为=A（）的形式.例9若数列{}中，=1，是数列{}的前项之和，且（n），求数列{}的通项公式是.解递推式可变形为（1）设（1）式可化为（2）比较（1）式与（2）式的系数可得，则有。故数列{}是以为首项，3为公比的等比数列。=。所以。当n，。数列{}的通项公式是。2、（A、B、C为常数，下同）型，可化为=）的形式.例10在数列{}中，求通项公式。解：原递推式可化为：①比较系数得=-4，①式即是：.则数列是一个等比数列，其首项，公比是2.∴即.3、型，可化为的形式。例11在数列{}中，，当，①求通项公式.解：①式可化为：比较系数得=-3或=-2，不妨取=-2.①式可化为：则是一个等比数列，首项=2-2（-1）=4，公比为3.∴.利用上题结果有：.4、型，可化为的形式。例12在数列{}中，，=6①求通项公式.解①式可化为：②比较系数可得：=-6，，②式为是一个等比数列，首项，公比为.∴即故.九、猜想法运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的递推式求出……，然后猜想出满足递推式的一个通项公式，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。例13在各项均为正数的数列中，为数列的前n项和，=+，求其通项公式。求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如是常数）的数列形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①若①有二异根，则可令是待定常数）若①有二重根，则可令是待定常数）再利用可求得，进而求得．例1．已知数列满足，求数列的通项．解：其特征方程为，解得，令，由，得，．例2．已知数列满足，求数列的通项．解：其特征方程为，解得，令，由，得，．二、形如的数列对于数列，是常数且）其特征方程为，变形为…②若②有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值．这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得．若②有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值．这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得．此方法又称不动点法．例3．已知数列满足，求数列的通项．解：其特征方程为，化简得，解得，令由得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，．例4．已知数列满足，求数列的通项．解：其特征方程为，即，解得，令由得，求得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，．求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法mw.w例1在数列{}中，,，求通项公式.解：原递推式可化为：则，……，逐项相加得：.故.二、作商求和法例2设数列{}是首项为1的正项数列，且（n=1,2,3…），则它的通项公式是=▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为：=0∵＞0，则……，逐项相乘得：，即=.三、换元法例3已知数列{}，其中，且当n≥3时，，求通项公式（1986年高考文科第八题改编）.解：设，原递推式可化为：是一个等比数列，，公比为.故.故.由逐差法可得：.例4已知数列{}，其中，且当n≥3时，，求通项公式。解由得：，令，则上式为，因此是一个等差数列，，公差为1.故.。由于又所以，即四、积差相消法例5（1993年全国数学联赛题一试第五题）设正数列，，…，，…满足=且，求的通项公式.解将递推式两边同除以整理得：设=，则=1，，故有⑴⑵…………(由⑴+⑵+…+(得=，即=.逐项相乘得：=，考虑到，故.五、取倒数法例6已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式。解将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.六、取对数法例7若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁（2002年上海高考题）.解由题意知＞0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列，，即.七、平方（开方）法例8若数列{}中，=2且（n），求它的通项公式是.解将两边平方整理得。数列{}是以=4为首项，3为公差的等差数列。。因为＞0，所以。八、待定系数法待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下：1、（A、B为常数）型，可化为=A（）的形式.例9若数列{}中，=1，是数列{}的前项之和，且（n），求数列{}的通项公式是.解递推式可变形为（1）设（1）式可化为（2）比较（1）式与（2）式的系数可得，则有。故数列{}是以为首项，3为公比的等比数列。=。所以。当n，。数列{}的通项公式是。2、（A、B、C为常数，下同）型，可化为=）的形式.例10在数列{}中，求通项公式。解：原递推式可化为：①比较系数得=-4，①式即是：.则数列是一个等比数列，其首项，公比是2.∴即.3、型，可化为的形式。例11在数列{}中，，当，①求