黑龙江省哈尔滨市德乐高级中学2022年高三数学文月考试题含解析

黑龙江省哈尔滨市德乐高级中学2022年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等差数列的前项和为，，，则数列的前100项和为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A2.已知，，若对任意，都存在，使，则的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略3.已知（为锐角），则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略4.已知实数,，则“”是“”的（

）A.充要条件 B.必要不充分条件C充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：C【分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断.【详解】且，，等号成立的条件是，又，，等号成立的条件是,，反过来，当时，此时，但，不成立，“”是“”的充分不必要条件.故选:C【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.5.设是定义域为R，最小正周期为3π的函数，且在区间上的表达式为，则（

）A．

B．

C．1

D．-1参考答案：D6.三角函数的振幅和最小正周期分别是（

）A．，

B．，

C．，

D．，参考答案：D试题分析：，振幅为，周期为．故选D．考点：三角函数的性质．【名师点睛】简谐运动的图象对应的函数解析式：（为常数）．其中物理意义如下：是振幅，为相位，为初相，周期，频率为．7.已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=ax?g（x）（a＞0，且a≠1），，若数列的前n项和大于62，则n的最小值为(

) A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：A考点：简单复合函数的导数；数列的函数特性．专题：计算题；压轴题．分析：由f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）可得单调递增，从而可得a＞1，结合，可求a．利用等比数列的求和公式可求，从而可求解答： 解：∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），∴f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，∴，从而可得单调递增，从而可得a＞1，∵，∴a=2．故=2+22+…+2n=．∴2n+1＞64，即n+1＞6，n＞5，n∈N*．∴n=6．故选：A．点评：本题主要考查了利用导数的符合判断指数函数的单调性，等比数列的求和公式的求解，解题的关键是根据已知构造函数单调递增．8.已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，若点F2关于渐近线的对称点M也在双曲线上，则该双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.参考答案：D【分析】根据双曲线的方程，先写出点的坐标，以及其中一条渐近线方程，再求出点坐标，代入双曲线方程，即可得出结果.【详解】因为双曲线方程为，所以其中一条渐近线方程为，又是双曲线右焦点，记；设点关于渐近线对称点为，则有，解得即，又点在双曲线上，所以，整理得，所以离心率为.故选D【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.9.各项均为正数的等比数列的前n项和为Sn，若Sn=2,S30=14,则S40等于（A）80（B）30

(C)26

(D)16参考答案：答案：B解析：由等比数列的性质可知选B10.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，，则数列{an}的公比q=（）A.-1 B.1 C.±1 D.2参考答案：C【分析】分别在和列出和，构造方程求得结果.【详解】当时，，满足题意当时，由得：，即，解得：综上所述：本题正确选项：C【点睛】本题考查等比数列基本量的求解问题，易错点是忽略的情况造成求解错误.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若集合,,则=________.参考答案：12.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为______．参考答案：13.某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的体积为__________．参考答案：

14.

。参考答案：15.设直线，与圆交于A，B，且，则a的值是______．参考答案：10或因为，圆心为，半径为，，由垂径定理得，所以圆心到直线的距离为4．，，故填10或．16.在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，已知a=4，B=，S△ABC=6，则b=．参考答案：

【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式可求c的值，进而利用余弦定理可求b的值．【解答】解：∵a=4，B=，S△ABC=6=acsinB=，∴解得：c=6，∴由余弦定理可得：b===．故答案为：．17.已知函数，则

▲

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|（1）求函数f（x）的最小值；（2）若a，b∈R且|a|＜2，|b|＜2，求证：|a+b|+|a﹣b|＜f（x）参考答案：【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据绝对值不等式的性质进行求解即可．（2）根据（a+b）（a﹣b）的符号关系，将绝对值不等式进行化简，结合绝对值不等式的性质进行证明即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|x﹣1|+|x+3|≥|1﹣x+x+3|=4，…函数f（x）的最小值为4，…（Ⅱ）若（a+b）（a﹣b）≥0，则|a+b|+|a﹣b|=|a+b+a﹣b|=2|a|＜4，…若（a+b）（a﹣b）＜0，则|a+b|+|a﹣b|=|a+b﹣（a﹣b）|=2|b|＜4…因此，|a+b|+|a﹣b|＜4，而f（x）≥4，故：|a+b|+|a﹣b|＜f（x）成立…【点评】本题主要考查绝对值不等式的应用，考查学生的运算和推理能力．19.设△ABC的内角A，B，C的对边长a，b，c成等比数列，，延长BC至D，若BD=2，则△ACD面积的最大值为

.

参考答案：，，①又成等比数列，，由正弦定理可得，②①-②得，，解得，由，得，，为正三角形，设正三角形边长为，则，，时等号成立。即面积的最大值为，故答案为.

20.(本小题满分12分)已知数列，前项和，且方程有一根为（＝1，2，3……）（Ⅰ）求的值（Ⅱ）猜想数列的通项公式，并给出严格证明。（Ⅲ）设数列的前项和，试比较与的大小参考答案：(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝．……3分

当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝．……

5分

(Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，Sn2－2Sn＋1－anSn＝0．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0①由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝．由①可得S3＝．由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…．……7分

下面用数学归纳法证明这个结论．(i)n＝1时已知结论成立．(ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝，当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，故n＝k＋1时结论也成立．……

11分

综上，由(i)、(ii)可知Sn＝对所有正整数n都成立．……

12分21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，且椭圆C过点．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若椭圆C的右顶点为A，直线l交椭圆C于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF，若点P为EF中点，求直线AP斜率的最大值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意可知：抛物线y2=4x的焦点（1，0），c=1，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程由韦达定理，求得E点坐标，由AE⊥AF，及中点坐标公式求得P坐标及直线AP的方程，当k≠0时，t=，利用换元法及基本不等式的性质，即可求得直线AP斜率的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：抛物线y2=4x的焦点（1，0）与椭圆C有相同的焦点，即c=1，a2=b2+c2=b2+1，由椭圆C过点，代入椭圆方程：，解得：a=2，b=，则椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），则，可得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，由2+xE=，可得xE=，yE=k（xE﹣2）=﹣，由于AE⊥AF，只要将上式的k换为﹣，可得xF=，yF=，由P为EF的中点，即有P（，），则直线AP的斜率为t==，当k=0时，t=0；当k≠0时，t=，再令s=﹣k，可得t=，当s=0时，t=0；当s＞0时，t=≤=，当且仅当4s=时，取得最大值；综上可得直线AP的斜率的最大值为．22.在平面直角坐标系中，设点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），称d（P1，P2）=max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}（其中max{a，b}表示a、b中的较大数）为P1、P2两点的“切比雪夫距离”；（1）若P（3，1）、Q为直线y=2x﹣1上的动点，求P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值；（2）定点C（x0，y0），动点P（x，y）满足d（C，P）=r（r＞0），请求出P点所在的曲线所围成图形的面积．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】新定义；分类讨论；分析法；函数的性质及应用．【分析】（1）设Q（x，2x﹣1），可得d（P，Q）=max{|x﹣3|，|2﹣2x|}，讨论|x﹣3|，|2﹣2x|的大小，可得距离d，再由函数的性质，可得最小值；（2）运用分段函数的形式求得d（C，P），分析各段与不等式表示的区域的图形，即可得到面积．【解答】解：（1）设Q（x，2x﹣1），可得d（P，Q）=max{|x﹣3|，|2﹣2x|}，由|x﹣3|≥|2﹣2x|，解得﹣1≤x≤，即有d（P，Q）=|x﹣3|，当x=时，取得最小值；由|x﹣3|＜|2﹣2x|，解得x＞或x＜﹣1，即有d（P，Q）=|2x﹣2|，d（P，Q）的范围是（3，+∞）∪（，+∞）=（，+∞）．综上可得，P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为；（2）