湖南省娄底市小富中学高三数学文下学期摸底试题含解析

湖南省娄底市小富中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设全集，集合，，则（

）A．[－1,0)

B．(0,5]

C．[－1,0]

D．[0,5]参考答案：C2.设是等差数列的前项和，公差，若，则正整数的值为

A．

B．

C．

D．

参考答案：A3.函数f(x)=(sinx+cosx)(cosx－sinx)的最小正周期是（）A． B．π C．D．2π参考答案：B【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】将函数打开化简为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期即可．【解答】解：函数=sinxcosx﹣sin2x+cos2x﹣3sinxcosx=cos2x﹣sin2x=2cos（2x+）．最小正周期T=．故选B．【点评】本题考查了三角函数的化简计算能力，二倍角和辅助角的运用．属于基础题．4.已知O为直角坐标系原点，P，Q坐标均满足不等式组，则使取最小值时的的大小为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D略5.函数、均为偶函数，且当x∈[0，2]时，是减函数，设，,则a、b、c的大小关系是

A．

B．

C．

D．

参考答案：A6.设p在[0，5]上随机地取值，则关于x的方程x2+px+1=0有实数根的概率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】几何概型．【分析】由题意知方程的判别式大于等于零求出p的范围，再判断出所求的事件符合几何概型，再由几何概型的概率公式求出所求事件的概率．【解答】解：若方程x2+px+1=0有实根，则△=p2﹣4≥0，解得，p≥2或p≤﹣2；∵记事件A：“P在[0，5]上随机地取值，关于x的方程x2+px+1=0有实数根”，由方程x2+px+1=0有实根符合几何概型，∴P（A）==．故选C．【点评】本题考查了求几何概型下的随机事件的概率，即求出所有实验结果构成区域的长度和所求事件构成区域的长度，再求比值．7.给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）参考答案：B【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域．【分析】（1）利用辅助角公式将可判断（1）；（2）根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断（2）；（3）根据余弦函数的性质可求出y=cos（cosx）（x∈R）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．【解答】解：（1）∵，∴（1）错误；（2）∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为ymax=cos0=1，ymin=cos（cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；（4）不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；故选B．8.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有（

）A．72种 B．36种 C．24种 D．18种参考答案：B2名内科医生，每个村一名，有2种方法，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，若甲村有1外科，2名护士，则有，其余的分到乙村，若甲村有2外科，1名护士，则有，其余的分到乙村，则总共的分配方案为种，故选B．9.甲乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B略10.下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（

）A.①②③④

B.①②③④C.①②③④

D.①②③④参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排，如第11个数字是0，则从左至右的第个数字是 ．参考答案：712.椭圆C的焦点在轴上，焦距为2，直线n:x-y-1=0与椭圆C交于A、B两点，F1是左焦点，且，则椭圆C的标准方程是

参考答案：13.i是虚数单位,若是纯虚数,则实数a的值为______.参考答案：－2【分析】对复数进行化简计算，再根据纯虚数的定义，得到的值.【详解】因为复数为纯虚数，所以，得.故答案为：－2.【点睛】本题考查复数的计算，根据复数类型求参数的值，属于简单题.14.观察下列等式：

，

，

，

，……猜想：

▲

（）参考答案：15.平面上的向量与满足，且，若点满足，则的最小值为______________________参考答案：由得，所以。即的最小值为。16.不等式的解集是

．参考答案：答案：解析：17.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m．参考答案：100【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题；解三角形．【分析】设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．【解答】解：设此山高h（m），则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．根据正弦定理得=，解得h=100（m）故答案为：100．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，面积S=abcosC（1）求角C的大小；（2）设函数f（x）=sincos+cos2，求f（B）的最大值，及取得最大值时角B的值．参考答案：【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用三角形面积公式和已知等式，整理可求得tanC的值，进而求得C．（2）利用两角和公示和二倍角公式化简整理函数解析式，利用B的范围和三角函数性质求得函数最大值．【解答】解：（1）由S=absinC及题设条件得absinC=abcosC，即sinC=cosC，∴tanC=，0＜C＜π，∴C=，（2）f（x）=sincos+cos2=sinx+cosx+=sin（x+）+，∵C=，∴B∈（0，），∴＜B+＜当B+=，即B=时，f（B）有最大值是．19.设数列{an}的前n项和为Sn=n2，{bn}为等比数列，且a1=b1，b2（a2﹣a1）=b1．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式．（2）设cn=an?bn，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知利用递推公式an=可得an，代入分别可求数列bn的首项b1，公比q，从而可求bn；（2）由（1）可得cn=（2n﹣1）?4n﹣1，利用乘“公比”错位相减求和．【解答】解：（1）：当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，故{an}的通项公式为an=2n﹣1，即{an}是a1=1，公差d=2的等差数列．设{bn}的公比为q，则b1qd=b1，d=2，∴q=．故bn=b1qn﹣1=1×，即{bn}的通项公式为bn=（）n﹣1；（2）∵cn=an?bn=（2n﹣1）?（）n﹣1，Tn=c1+c2+…+cn即Tn=1+3×+5×+…+（2n﹣1）?（）n﹣1，Tn=1×+3×+5×+…+（2n﹣3）?（）n﹣1+（2n﹣1）?（）n，两式相减得，Tn=1+2（+++…+（）n﹣1）﹣（2n﹣1）?（）n=3﹣﹣（2n﹣1）?（）n∴Tn=6﹣．【点评】当已知条件中含有sn时，一般会用结论an=，来求通项，注意求和的方法的选择主要是通项，本题所要求和的数列适合乘“公比”错位相减的方法，此法是求和中的重点，也是难点．20.已知函数（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（II）求函数的单调区间.参考答案：

略21.已知f（x）=|x﹣1|+|x+a|，g（a）=|a+3|．（1）当a=3时，解关于x的不等式f（x）＞g（a）；（2）函数h（x）=f（x）﹣g（a）存在零点，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）当a=3时，不等式|x﹣1|+|x+3|＞6等价变形，可得结论；（2）利用|x﹣1|+|x+a|≥|a+1|，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=3时，不等式f（x）＞g（a），即|x﹣1|+|x+3|＞6可化为或或，…（3分）解得x＜﹣4或x＞2，∴不等式f（x）＞g（a）的解集为{x|x＜﹣4或x＞2}．…（2）若函数h（x）=f（x）﹣g（a）存在零点，则∵|x﹣1|+|x+a|≥|a+1|，∴|3+a|≥|a+1|，解得a≥﹣2．【点评】本题考查绝对值不等式，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能