2023-2024学年北师大版选择性必修第二册 　 第二章　6-1　函数的单调性 课件（44张）

激趣诱思如图①是高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象,图②是高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的图象.a=,b是函数h(t)的零点.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?问题1:运动员从起点到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,v(t)=h'(t)的正负性是怎样的?问题2:从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,v(t)=h'(t)的正负性是怎样的?问题3:通过上述实际例子的分析,联想其他函数的单调性与其导数正负性的关系.你能得到什么结论?知识梳理一、导数的符号与函数的单调性之间的关系1.若在某个区间内,函数y=f(x)的导数f'(x)>0,则在这个区间内,函数y=f(x)单调递增;2.若在某个区间内,函数y=f(x)的导数f'(x)<0,则在这个区间内,函数y=f(x)单调递减.名师点析(1)利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便,但应注意f'(x)>0(或f'(x)<0)仅是函数f(x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件.(2)若在某个区间内,f'(x)≥0,且只在有限个点为0,则在这个区间内,函数y=f(x)单调递增;若在某个区间内,f'(x)≤0,且只在有限个点为0,则在这个区间内,函数y=f(x)单调递减.微判断(1)函数f(x)在定义域上都有f'(x)<0,则函数f(x)在定义域上单调递减.(

)(2)函数f(x)在某区间内单调递增,则一定有f'(x)>0.(

)(3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.(

)××√微练习若定义域为R的函数f(x)的导数f'(x)=2x(x-1),则f(x)在区间

内单调递增,在区间

内单调递减.

答案

(1,+∞)

(-∞,1)解析

由f'(x)>0得x>1,由f'(x)<0得x<1,所以f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,在区间(-∞,1)内单调递减.二、函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)上:导数的绝对值函数值变化函数的图象较大较快比较“陡峭”(向上或向下)较小较慢比较“平缓”(向上或向下)名师点析1.原函数的图象通常只看增(减)变化,而导函数的图象通常对应只看正(负)变化.2.导数的绝对值大(小)对应着原函数图象的陡峭(平缓).弄清楚两个对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数值大小的关系.微点拨明确导数值与函数图象变化趋势的关系1.在某一个区间上导数值为正,函数单调递增;导数值为负,函数单调递减.2.函数图象越陡峭,导数的绝对值越大;函数图象越平缓,导数的绝对值越小.反之,亦成立.三、已知函数单调性求参数的取值范围1.解题步骤:2.注意事项:一般地,要检验参数的取值能否使f'(x)恒等于0,若f'(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别点处有f'(x)=0,则由f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立解出的参数取值范围为最后解.3.解决该类问题常用的有关结论:m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max;m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min.微练习函数f(x)=x-sinx在(-∞,+∞)上是(

)A.增函数

B.减函数C.先增后减 D.不确定答案

A解析

∵f(x)=x-sin

x,∴f'(x)=1-cos

x≥0在(-∞,+∞)上恒成立,且使f'(x)=0的点是一列孤立的点,∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.微思考(1)在区间(a,b)上,若f'(x)>0,则f(x)在此区间上单调递增,反之也成立吗?(2)若函数f(x)为可导函数,且在区间(a,b)上是单调递增(或递减)函数,则f'(x)满足什么条件?提示

(1)不一定成立.比如y=x3在R上为增函数,但其在x=0处的导数等于零.也就是说f'(x)>0是y=f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件.(2)f'(x)≥0(或f'(x)≤0).四、解析式中含参数的函数单调区间的求法函数解析式中含有参数时,讨论其单调性(或求其单调区间)问题,往往要转化为解含参数的不等式问题,这时应对所含参数进行适当的分类讨论,做到不重不漏,最后要将各种情况分别进行表述.微练习

解

①当a=0时,f(x)=x2+1,其单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).课堂篇探究学习探究一判断函数的单调性反思感悟关于利用导数证明函数单调性的问题(1)首先考虑函数的定义域,所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行.(2)若f'(x)>(或<)0,则f(x)单调递增(或递减).但要特别注意,若f(x)单调递增(或递减),则f'(x)≥0(或f'(x)≤0).探究二利用导数求函数的单调区间角度1

不含参数的函数求单调区间例2求f(x)=3x2-2lnx的单调区间.反思感悟求不含参数的函数y=f(x)的单调区间的步骤(1)确定函数y=f(x)的定义域.(2)求导数y'=f'(x).(3)解不等式f'(x)>0,函数在解集内单调递增.(4)解不等式f'(x)<0,函数在解集内单调递减.变式训练2函数f(x)=(x2+2x)ex(x∈R)的单调递减区间为

.

角度2

含参数的函数求单调区间例3讨论函数f(x)=ax2+x-(a+1)lnx(a≥0)的单调性.由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0<x<1.∴f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0<x<1.∴f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.反思感悟(1)讨论参数要全面,做到不重不漏.(2)解不等式时若涉及分式不等式,要注意结合定义域化简,也可转化为二次不等式求解.变式训练3设函数f(x)=ex-ax-2,求f(x)的单调区间.解

f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=ex-a.∵当a≤0时,f'(x)>0,∴f(x)在(-∞,+∞)内单调递增.当a>0时,∵当x∈(-∞,ln

a)时,f'(x)<0;当x∈(ln

a,+∞)时,f'(x)>0.∴f(x)在(-∞,ln

a)内单调递减,在(ln

a,+∞)内单调递增.综上所述,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);当a>0时,f(x)的单调递增区间为(ln

a,+∞),单调递减区间为(-∞,ln

a).探究三已知函数的单调性求参数的范围例4已知函数f(x)=x3-ax-1为增函数,求实数a的取值范围.解

由已知得f'(x)=3x2-a,因为f(x)在(-∞,+∞)内单调递增,所以f'(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)内恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.因为3x2≥0,所以只需a≤0.又因为a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数.所以实数a满足a≤0.反思感悟已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数范围的方法:(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则区间(a,b)是相应单调区间的子集;(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立.延伸探究1若函数f(x)=x3-ax-1的单调递减区间为(-1,1),求a的取值范围.解

由f'(x)=3x2-a,①当a≤0时,f'(x)≥0,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增.延伸探究2若函数f(x)=x3-ax-1在区间(-1,1)内单调递减,求a的取值范围.解

由题意可知f'(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,∴a≥3.即a的取值范围是[3,+∞).延伸探究3若函数f(x)=x3-ax-1在区间(-1,1)内不单调,求a的取值范围.解

∵f(x)=x3-ax-1,∴f'(x)=3x2-a.素养形成一题多解——单调性中的求参问题

解

(方法一)(直接法)f'(x)=x2-ax+a-1,令f'(x)=0,得x=1或x=a-1.当a-1≤1,即a≤2时,函数f(x)在(1,+∞)内单调递增,不合题意.当a-1>1,即a>2时,函数f(x)在(-∞,1)和(a-1,+∞)内单调递增,在(1,a-1)内单调递减,由题意知(1,4)⊂(1,a-1)且(6,+∞)⊂(a-1,+∞),所以4≤a-1≤6,即5≤a≤7.故实数a的取值范围为[5,7].(方法二)(数形结合法)如图所示,f'(x)=(x-1)[x-(a-1)].因为在(1,4)内,f'(x)≤0,在(6,+∞)内,f'(x)≥0,且f'(x)=0有一根为1,所以另一根在[4,6]上.故实数a的取值范围为[5,7].(方法三)(转化为不等式的恒成立问题)f'(x)=x2-ax+a-1.因为f(x)在(1,4)内单调递减,所以f'(x)≤0在(1,4)内恒成立,即a(x-1)≥x2-1在(1,4)内恒成立,所以a≥x+1,因为2<x+1<5,所以当a≥5时,f'(x)≤0在(1,4)上恒成立,又因为f(x)在(6,+∞)内单调递增,所以f'(x)≥0在(6,+∞)内恒成立,所以a≤x+1,因为x+1>7,所以当a≤7时,f'(x)≥0在(6,+∞)内恒成立.综上知5≤a≤7.故实数a的取值范围为[5,7].方法点睛(