运筹学课件3运输问题

2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.张冲南京邮电大学经济管理学院Email：运输问题2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.Chapter3运输规划

(TransportationProblem)运输规划问题的数学模型表上作业法产销平衡问题产销不平衡问题（经管）本章主要内容：2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.运输问题的背景

在经济建设中，经常碰到大宗物资调运问题，如煤炭、钢铁、粮食等等。主产区和主销区往往不同，需要大规模的调运，将物资从产地供应到销地。大型企业有多个生产基地，销售遍及全国乃至全世界，如何分配供应计划使经济效益最好。解决把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，在每个产地的供应量与每个销地的需求量已知，且各地运输单价已知的前提下，如何确定一个使总的运输费用最小的方案。2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.运输规划问题的数学模型例3.1某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1,B2,B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？B1B2B3产量A1646200A2655300销量1501502002023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.运输规划问题的数学模型解：产销平衡问题：总产量=总销量＝500

设xij

为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：B1B2B3产量A1x11x12x13200A2x21x22x23300销量150150200MinC=6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23s.t.x11+x12+x13=200x21+x22+x23=300x11+x21=150x12+x22=150x13+x23=200xij≥0(i=1、2；j=1、2、3）B1B2B3产量A1646200A2655300销量150150200建立线性规划模型：2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.运输规划问题的数学模型运输问题的一般形式：产销平衡（即产地总产量等于销地的总需求量）A1、A2、…、Am

表示某物资的m个产地；B1、B2、…、Bn

表示某物质的n个销地；ai

表示产地Ai的产量；bj

表示销地Bj

的销量；cij表示把物资从产地Ai运往销地Bj的单位运价。设xij为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列一般运输量问题的模型：2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.运输问题约束条件的系数矩阵系数列向量：第i个第m+j个运输规划问题的数学模型2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.第1节运输问题的数学模型系数矩阵中对应于变量xij的系数向量Pij，其分量中除第i个和第m+j个为1以外，其余的都为零。即Pij=(0,…,1,0,…,0,1,0,…,0)T=ei+em+j

对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.第1节运输问题的数学模型所以，该模型最多只有m+n-1个独立约束方程，由于有以上特征，求解运输问题时，可用比较简便的计算方法，习惯上称为表上作业法。2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.运输规划问题的数学模型

该模型包括m×n个变量，（m+n）个约束方程。同时，该模型最多只有m+n-1个独立约束方程，即系数矩阵的秩≤m+n-1.定理:

设有m个产地n个销地且产销平衡的运输问题，则基变量数为m+n-1。2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.运输规划问题的数学模型

可出现的变化：

1）有时目标函数求最大。如求利润最大或营业额最大等；

2）当某些运输线路上的能力有限制时，在模型中直接加入约束条件（等式或不等式约束)；

3）产销不平衡时，可加入假想的产地（销大于产时）或销地（产大于销时）。2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单纯形法。步骤描述方法第一步求初始基行可行解（初始调运方案）最小元素法、伏格尔法（Vogel法）第二步求检验数并判断是否得到最优解当非基变量的检验数σij全都非负时得到最优解，若存在检验数σij<0，说明还没有达到最优，转第三步。闭回路法和位势法第三步调整运量，即换基，选一个变量出基，对原运量进行调整得到新的基可行解，转入第二步闭回路调整法2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法例3.2某运输资料如下表所示：单位销地运价产地产量311310719284741059销量3656问：应如何调运可使总运输费用最小？2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法解：第1步求初始方案给出初始调运方案。——初始基可行解：即在(m×n)产销平衡表上给出m+n-1个数字格。最小元素法（▲）伏格尔法2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法方法1：最小元素法用最小元素法给出的初始解是运输问题的基可行解，其理由为：

(1)用最小元素法给出的初始解，是从单位运价表中逐次地挑选最小元素，并比较产量和销量。当产大于销，划去该元素所在列。当产小于销，划去该元素所在行。然后在未划去的元素中再找最小元素，再确定供应关系。2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法

（2）这样在产销平衡表上每填入一个数字，在运价表上就划去一行或一列。表中共有m行n列，总共可划(n+m)条直线。但当表中只剩一个元素时，这时当在产销平衡表上填这个数字时，而在运价表上同时划去一行和一列。此时把单价表上所有元素都划去了，相应地在产销平衡表上填了(m+n-1)个数字。即给出了(m+n-1)个基变量的值。2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法解：第1步求初始方案方法1：最小元素法基本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供应（调运），然后次小，直到最后供完为止。B1B2B3B4产量A17A2

4A39销量3656311310192741058341633总的运输费＝(3×1)+(6×4)+(4×3)+(1×2)+(3×10)+(3×5)=86元2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.最小元素法-注意事项当取定xij的值之后,会出现Ai的产量与

Bj的销量都为零的情况,只能划去Ai行或

Bj列,不能同时划去用最小元素法时,可能会出现只剩一行或一列的所有格均未填数或未划掉的情况,此时在这一行或这一列中除去已填上的数外均填上零,不能将空格划掉这样可保证填过数或行的格为m+n-1个,即基变量的个数为m+n-1个表上作业法2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.

销地产地B1B2B3B4产量A141241116A22103910A38511622销量81412144882101486初始基可行解为：……目标函数值Z＝246二、表上作业法练习利用最小元素法求解初始基可行解2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法方法2：伏格尔法（Vogel法）最小元素法的缺点是：为了节省一处的费用，有时造成在其他处要多花几倍的运费。伏格尔法考虑到，一产地的产品假如不能按最小运费就近供应，就考虑次小运费，这就有一个差额。差额越大，说明不能按最小运费调运时，运费增加越多。因而对差额最大处，就应当采用最小运费调运。用伏格尔法求得的基本可行解更接近最优解，所以也称为近似方案。2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法伏格尔法-步骤1）从运价表中分别计算出各行和各列的最小运费和次最小运费的差额，并填入该表的最右列和最下行。B1B2B3B4产量行差额A170A2

41A391销量3656列差额25133113101927410582023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法2）再从差值最大的行或列中找出最小运价确定供需关系和供需数量。当产地或销地中有一方数量供应完毕或得到满足时，划去运价表中对应的行或列。重复1)和2)，直到找出初始解为至。B1B2B3B4产量行差额A170A2

41A3

91销量3656列差额251331131019274105862023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法B1B2B3B4产量行差额A170A2

41A3

91销量3656列差额25133113101927410586列差额2--13列差额2--12列差额----12行差额012行差额01--行差额76--33512该方案的总运费:(1×3)＋(4×6)＋(3×5)＋(2×10)＋(1×8)＋(3×5)＝85元。本例用伏格尔法给出的初始解就是最优解。2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法另外一种方法B1B2B3B4产量行差额A177A2

41A3

91销量3656列差额251331131019274105852023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法单位销地运价产地产量行差额311310719284741059销量3656列差额713527532023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法单位销地运价产地产量行差额311310719284741059销量3656列差额11351536312该方案的总运费:(1×3)＋(4×6)＋(3×5)＋(2×10)＋(1×8)＋(3×5)＝85元本例用伏格尔法给出的初始解就是最优解。22023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法第2步最优解的判别（检验数的求法）

求出一组基可行解后，判断是否为最优解，仍然是用检验数来判断，记xij的检验数为λij。由第一章知，求最小值的运输问题的最优判别准则是：所有非基变量的检验数都非负，则运输方案最优求检验数的方法有两种：闭回路法位势法（▲）2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法闭回路的概念方法一：闭回路法为了求某个空格(非基变量)的检验数，先要找出它在运输表上的闭回路，这个闭回路的顶点，除这个空格外，其它均为填有数字的格(基变量格)，它是由水平线段和竖直线段依次联接这些顶点构成的一封闭多边形。每个空格都唯一存在这样的一条闭回路。2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法例下表中闭回路的变量集合是{x11,x12,x42,x43,x23,x25,x35,x31}共有8个顶点，这8个顶点间用水平或垂直线段连接起来，组成一条封闭的回路。B1B2B3B4B5A1X11X12A2X23X25A3X31X35A4X42X43

一条回路中的顶点数一定是偶数，回路遇到顶点必须转90度与另一顶点连接，表中的变量x32及x33不是闭回路的顶点，只是连线的交点。2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法

例如变量组不能构成一条闭回路，但A中包含有闭回路

B1B2B3B4B5A1X11X12A2X21X25A3X31X35A42023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法闭回路B1B2B3A1X11X12A2A3X32X33A4X41X43闭回路特征:1.每个顶点都是转角点.2.每一边都是水平或垂直的.3.每一行(或列)若有闭回路的顶点,则必有两个.2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法

闭回路的构成在已给出的调运方案的运输表上，从代表非基变量的一个空格出发，沿水平或垂直方向前进，只有碰到代表基变量的有数字的格才能向左或右转，继续前进，直到回到起始出发的空格为止。用闭回路计算检验数在以空格为始点和终点，其他顶点均为数字点的闭回路上将该空格的运输量调整为1，则其他顶点在保持供销平衡的基础上，运输量增加或减少1，计算出该回路的总费用的变化值，该变化值作为该非基变量的检验数，若所有检验数都大于零，则原基可行解为最优解，否则进一步迭代找出最优解。用闭回路法求检验数的缺点要对每一个空格找一条闭回路当产销点多时，较繁杂2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法销地产地A1

A2

B1B2B3B4产量A3311310192874105销量

3656749341633

（1）x11为非基变量的闭回路

检验数的计算：从（A1，B1）出发，增加一单位调运量（从A1运到B1），为保持产销平衡，依次做调整：在（A1，B3）处减少1吨，（A2，B3）处增加1吨，（A2，B1）处减少1吨。调整方案使运费增加：1*3+（-1）*3+1*2+（-1）*1=1，可见这样调整将每单位增加运费1，将检验数1填入（A1，B1）。2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法销地产地A1

A2

B1B2B3B4产量A3311310192874105销量

3656749341633

（1）x12为非基变量的闭回路

检验数的计算：1*11+（-1）*10+1*5+（-1）*4=2，可见这样调整将每单位增加运费1，将检验数2填入（A1，B2）。

（2）2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法销地产地A1

A2

B1B2B3B4产量A3311310192874105销量

3656749341633

（1）x22为非基变量的闭回路

检验数的计算：1*9+（-1）*2+1*3+（-1）*10+1*5+（-1）*4=1，可见这样调整将每单位增加运费1，将检验数1填入（A2，B2）。

（2）

（1）2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.

所有非基变量的闭回路及检验数表上作业法空格闭回路检验数x11x11-----x13-----x23-----x21-----x11x12-----x14-----x34-----x32-----x12x12x22x24x31x33x22---x23---x13---x14---x34---x32---x22x24-----x23-----x33-----x14-----x24x31---x34---x14---x13---x23---x21---x31x33-----x34-----x14-----x13-----x33121-110122023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法销地产地A1

A2

B1B2B3B4

产量A3311310192874105销量

3656749341633

（1）非基变量的闭回路

（2）

（1）

（-1）

（10）

（12）2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.

销地产地B1B2B3B4产量A167531414（5）（5）（7）A28427278136（9）A35910619（-11）（-3）613销量22131213

销地产地B1B2B3B4产量A167531414A28427278136A35910619613销量22131213用闭回路法求解检验数练习2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法方法二：位势法----用位势法对初始方案进行最优性检验：Step1:由

ij=Cij-（Ui+Vj）计算位势Ui

，Vj

，因对基变量而言有

ij=0，即Cij-（Ui+Vj）=0，令U1=0Step2:再由

ij=Cij-（Ui+Vj）计算非基变量的检验如数

ij2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法B1B2B3B4UiA1A2A3Vj3113101927410584363130-1-531029（1）（2）（1）（-1）（10）（12）当存在非基变量的检验数

kl

≥0，说明现行方案为最优方案，否则目标成本还可以进一步减小。（本例存在24<0）对基变量而言有

ij=0，即Cij-（Ui+Vj）=

ij=0

，则u1+v3=3,u1+v4=10,u2+v3=2,u2+v1=1,u3+v4=5,u3+v2=4.令：u1＝0对非基变量而言，

ij=Cij-(U1+V3）即

11=C11-(U1+V1)=1,

12=C12-(U1+V2)=9，其他略。2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法当存在非基变量的检验数

kl<0且

kl=min{ij}时，令Xkl进基。从表中知可选X24进基。第3步确定换入基的变量第4步确定换出基的变量以进基变量xik为起点的闭回路中，标有负号的最小运量作为调整量θ，θ对应的基变量为出基变量，并打上“×”以示换出作为非基变量。本例以X24为起点。2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.改进运输方案的方法—闭回路调整法步骤（1）选最小的负检验数，以它对应的非基变量为进基变量（2）找出以该非基变量空格xij为出发点的闭回路，尽量增加xij的运输量（3）将该回路中的奇数顶点（标记负号的顶点）调运量的最小值取为xij的运输量（4）将所有回路中的奇数顶点的调运量减去该值，而奇数顶点减去该值，得到新的调运方案表上作业法2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法B1B2B3B4UiA1A2A3Vj311310192741058436313(＋)(－)(＋)(－)调整步骤为：在进基变量的闭回路中标有正号（偶数顶点）的变量加上调整量θ，标有负号的变量（奇数顶点）减去调整量θ，其余变量不变，得到一组新的基可行解。然后求所有非基变量的检验数重新检验。1252023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法当所有非基变量的检验数均非负时，则当前调运方案即为最优方案，如表此时最小总运费：Z=(1×3)＋(4×6)＋(3×5)＋(2×10)＋(1×8)＋(3×5)＝85元B1B2B3B4UiA1A2A3Vj3113101927410585363120-2-531039（0）（2）（2）（1）（12）（9）2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法表上作业法的计算步骤：分析实际问题列出产销平衡表及单位运价表确定初始调运方案（最小元素法或Vogel法）求检验数（位势法或闭回路法）所有检验数≥0找出绝对值最大的负检验数，用闭合回路调整法，得到新的调运方案得到最优方案，算出总运价2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法例3.2某运输资料如下表所示：单位销地运价产地产量311310719284741059销量3656问：应如何调运可使总运输费用最小？2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法解：第1步求初始方案（最小元素法）B1B2B3B4产量A17A2

4A39销量3656311310192741058341633

做题总步骤2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法第2步最优解的判别（检验数的求法）用位势法对初始方案进行最优性检验：B1B2B3B4UiA1A2A3Vj3113101927410584363130-1-531029（1）（2）（1）（-1）（10）（12）2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法从表中知可选X24进基。第3步确定换入基的变量第4步确定换出基的变量采用闭回路调整法2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法B1B2B3B4UiA1A2A3Vj311310192741058436313(＋)(－)(＋)(－)调整步骤为：在进基变量的闭回路中标有正号（偶数顶点）的变量加上调整量θ，标有负号的变量（奇数顶点）减去调整量θ，其余变量不变，得到一组新的基可行解。然后求所有非基变量的检验数重新检验。1252023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法当所有非基变量的检验数均非负时，则当前调运方案即为最优方案，如表此时最小总运费：Z=(1×3)＋(4×6)＋(3×5)＋(2×10)＋(1×8)＋(3×5)＝85元解毕！B1B2B3B4UiA1A2A3Vj3113101927410585363120-2-531039（0）（2）（2）（1）（12）（9）2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.练习1用表上作业法求出最优解。2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法解：step1：求初始方案（最小元素法）B1B2B3B4产量A150A2

60A325销量604020153276752254534015

这是一个产销平衡问题25202510初始调运方案的总运费为420元。2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法B1B2B3B4产量A150A2

60A325销量60402015327675225453401525202510空格闭环回路检验数(13)(13)－(23)－(21)－(11)－(13)（7-2+7-3）9(14)(14)－(24)－(21)－(11)－(14)7(22)(22)－(12)－(11)－(21)－(22)－1(32)(32)－(12)－(11)－(31)－(32)4(33)(33)－(23)－(21)－(31)－(33)7(34)(34)－(24)－(21)－(31)－(34)7step2：最优解的判别（闭环回路法）2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法B1B2B3B4产量A150A2

60A325销量604020153276752254534015202510以(22)格为调入格，以此格为出发点，作一闭环回路。25153525step3：闭回路法调整调整步骤为：在进基变量的闭回路中（偶数顶点）的变量加上调整量θ，（奇数顶点）减去调整量θ，其余变量不变，得到一组新的基可行解。2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表上作业法B1B2B3B4UiA10A2

3A3-1Vj32-10327675225453151520253525step4：检验数重新计算（位势法）（8）（6）（1）（4）（6）（6）经检验，所有检验数都大于0，该调运方案是最优的方案。总运费为395元。2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.

销地产地B1B2B3B4产量A141241116A22103910A38511622销量81412144882101486初始基可行解为：……目标函数值Z＝246练习2.用表上作业法求解最优运输方案step1：最小元素法求解初始方案2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.

销地产地B1B2B3B4UiA14124110A221039-1A385116-5Vj31041182101486存在非基变量为负的检验数二、表上作业法练习2Step2：利用位势法求解检验数（1）（2）（1）（-1）（10）（12）2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.

销地产地B1B2B3B4产量A141241116A22103910A38511622销量81412144882101486调整量为2二、表上作业法练习2Step3：利用闭回路调整法调整运量24122023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.

销地产地B1B2B3B4UiA14124110A221039-2A385116-5Vj410411082121484所有检验数都大于等于零，则得最优解为Z*＝244二、表上作业法练习2Step4：利用位势法重新计算检验数（0）（2）（2）（1）（9）（12）2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.

练习3Step1：用最小元素法求解初始基可行解B1B2B3B4产量A18A2

9A37销量8655245463761924835

用表上作业法求解最优运输方案65341该方案的初始总运费:(3×5)＋(4×7)＋(1×9)＋(6×2)＋(5×1)＋(5×3)＝842023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.

练习3Step2：用位势法求解检验数B1B2B3B4UiA10A2

2A34Vj5-2-13546376192483565341（6）（7）（-2）（1）（1）（6）2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.

练习3Step3：用闭回路调整法对运量进行调整B1B2B3B4UiA18A2

9A37Vj8655546376192483565341（-2）4172023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.

练习3Step4：用位势法重新计算调整后的检验数B1B2B3B4UiA10A2

0A34Vj5-21354637619248346171（6）（5）（2）（-1）（1）（8）5Step5：用闭回路调整法再次对运量调整（略）2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.

练习2Step5：用闭回路调整法再次对运量调整B1B2B3B4UiA10A2

0A34Vj5-213546376192483461715Step5：用闭回路调整法再次对运量调整（略）2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.

练习4用表上作业法求解最优运输方案B1B2B3B4产量A14A2

6A33销量243413653444776585312403该方案的总运费:(3×3)＋(4×1)＋(2×4)＋(4×4)＋(0×5)＋(3×8)＝61其他步骤略2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.练习5

B1B2B3B4aiA14104420A2773815A31210615bj510251050用表上作业法求解最优运输方案2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.回答问题练习题1、在运输问题数学模型中，为什么模型的(m+n)个约束中最多只有(m+n-1)个是独立的?2．试述用最小元素法确定运输问题的初始基可行解的基本思路。3．如何用闭回路法求检验数？4．沃格尔法的基本思想是什么？什么是罚数？5．在解的改进过程中，如何确定调整量？练习题62023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.思路:化为产销平衡运输问题来处理。方法:（1）产大于销：加一列假想的销地，但在单位运价表上必须将由各产地到假想销地的单位运价定为“0”。假想销地的需量为产销差额。（2）销大于产：加一列假想的产地，但在单位运价表上必须将由假想产地到各销地的单位运价定为“0”。假想产地的产量为产销差额。注意:在利用最小元素法求初始调运方案时，不将假想的“0”作为最小元素来对待。4.产销不平衡问题2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.产销不平衡的问题

核心方法：将产销不平衡转换为产销平衡的情形，然后由表上作业法进行求解。（1）对于“产>销”情形：产量盈余，可虚拟一个销售地（库存），让多余的产量均运抵此销售地，则其销售量=“产-销”，同时令该虚拟的销售地的单位运价为0；（虚拟的销地）（2）对于“销>产”，可虚拟一个产地，让其产量=“销-产”，同时令该虚拟的产地的单位运价为0.2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.例1产大于销销地产地B1

B2

B3产量

A1

A2

A3

592

317628

151817销量181216Σ50≠Σ462023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.解法：虚设一销地，令其销量为产销量之差。

b4=∑ai-∑bj=4

该列单位运价为0，即可化为产销平衡问题销地产地

B1

B2

B3B4产量

A1

A2

A3

5920

31706280

151817销量1812164Σ50=Σ502023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.例2产小于销

销产B1B2B3aiA141210A234312bj810522232023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.解法：虚设一销地，令其销量为产销量之差

b4=∑bj-∑ai=1

令该列运价为0，如此可化为产销平衡问题。2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.

销产B1B2B3aiA141210A234312A30001bj810523232023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.

销地产地B1B2B3B4产量A17A25A37销量2346

销地产地B1B2B3B4A121134A210359A37812表3-33产销平衡表表3-34单位运价表例：求下面问题最优调运方案2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.

销地产地B1B2B3B4产量A1211347A2103595A378127销量23462023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.解：首先化为产销平衡的运输问题。假设一个库存地B5，产销平衡表如表3-35，其中b5=19-15=4

销地产地B1B2B3B4B5产量A12113407A21035905A3781207销量234642023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.

B1B2B3B4B5产量A12113407A21035905A3781207销量234644233322最小元素法求初始可行解注意:在利用最小元素法求初始调运方案时，不将假想的“0”作为最小元素来对待。2023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.由Vogel法求初始调运方案

销地产地B1B2B3B4B5产量行差①②③③A121134072331A21035905335A37812071111销量23464列差①55220②220③232222453332023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表3-37Vogel法得运量表

销地产地B1B2B3B4B5产量A12327A2325A3437销量234642023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.用位势法求表3-37是否为最优调运方案。其位势表与检验数表如表3-38和3-39表3-38位势表

销地产地B1B2B3B4B5uiA1240A230A312vjV1=2v2=3V3=3V4=4V5=0u1=0u2=0u3=-22023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.σij=cij－(ui+vj)=0u1+v1=2u1+v4=4u1+v5=0u2+v2=3u2+v5=0u3+v3=1u3+v4=2令：u1＝02023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.表3-39

销地产地B1B2B3B4B5A108000A280250A377002所有检验数都大于等于0，所以是最优方案。最优值fmin=2×2+4×3+3×3+4×1+2×3=352023/9/20Copyright©2013Czhang.Allrightsreserved.运输问题的应用短缺资源的分配问题

需求产地ⅠⅡⅢⅣ产量A1613221750B1413191560C192023－50最低需求3070010最高507030不限2023/9/20Copyright©2