数学人教B版必修5学案课堂探究1.1.1正弦定理

课堂探究一、判断三角形解的个数剖析：(1)代数法在△ABC中，已知a，b，∠A，由正弦定理可得sinB＝eq\f(b,a)sinA＝m．①当sinB>1时，这样的∠B不存在，即三角形无解．②当sinB＝1时，∠B＝90°，若∠A<90°，则三角形有一解，否则无解．③当sinB<1时，满足sinB＝m的角有两个，其中设锐角为α，钝角为β，则当∠A＋α>180°时，三角形无解；当∠A＋α<180°，且∠A＋β<180°时，有两解；当∠A＋α<180°且∠A＋β>180°时有一解．(2)几何法根据条件中∠A的大小，分为锐角、直角、钝角三种情况，通过几何作图，得出解的情况．作出已知∠A，以A为圆心，边长b为半径画弧交∠A的一边于C．使未知的边AB水平，顶点C在边AB上方，以点C为圆心，边长a为半径作圆，该圆与射线AB交点的个数，即为解的个数，如下表所示：∠A为锐角∠A为钝角或直角图形①②关系式①a＝bsinA②a≥bbsinA<a<ba<bsinAa>ba≤b解的个数一解两解无解一解无解二、教材中的“探索与研究”在正弦定理中，设eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝k．请研究常数k与△ABC外接圆的半径R的关系．(提示：先考察直角三角形)剖析：(1)如图1，当△ABC为直角三角形时，直接得到eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，R为外接圆半径)．(2)如图2，当△ABC为锐角三角形时，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD．因为∠A＝∠D，所以eq\f(a,sinA)＝eq\f(a,sinD)＝2R，同理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，即eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R．(3)如图3，当△ABC为钝角三角形且∠A为钝角时，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，∠A＝180°－∠D，所以eq\f(a,sinA)＝eq\f(a,sin(180°－∠D))＝eq\f(a,sinD)＝2R．由(2)知eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，即eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R．综上所述，对于任意△ABC，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R恒成立．归纳总结：根据上述关系式可得到正弦定理的常用变式：(1)asinB＝bsinA；asinC＝csinA；bsinC＝csinB．(2)a＝eq\f(bsinA,sinB)；sinB＝eq\f(bsinA,a)．(3)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．(4)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．(5)边化角公式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．(6)角化边公式：sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)．题型一解三角形【例1】已知在△ABC中，c＝10，∠A＝45°，∠C＝30°，求a，b和∠B．分析：正弦定理中有三个等式，每个等式都含有四个未知量，可知三求一．当知道两个角时，即可知道第三个角，所以若再知道三边中任意一边，就可解这个三角形．解：∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，∠A＝45°，∠C＝30°，∴a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(10×sin45°,sin30°)＝10eq\r(2)，∠B＝180°－(∠A＋∠C)＝180°－(45°＋30°)＝105°．又eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴b＝eq\f(c·sinB,sinC)＝eq\f(10×sin105°,sin30°)＝20sin75°＝20×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝5(eq\r(6)＋eq\r(2))．反思：本题给出了解三角形第一类问题(即已知两角和一边，求另两边和一角)的方法步骤，即先由正弦定理求得已知角的对边，然后利用内角和公式求得第三角，再用正弦定理求第三边．【例2】在△ABC中，已知a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，∠B＝45°，求∠A，∠C和c．分析：已知两边和其中一边的对角的解三角形问题可运用正弦定理来求解，但应注意解的个数．解：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，知sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(3),2)．∵asinB<b<a，∴∠A有两个解，∴∠A＝60°或∠A＝120°．(1)当∠A＝60°时，∠C＝180°－∠A－∠B＝75°，∴c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(\r(2)sin75°,sin45°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)．(2)当∠A＝120°时，∠C＝180°－∠A－∠B＝15°，∴c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(\r(2)sin15°,sin45°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)．故∠A＝60°，∠C＝75°，c＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)或∠A＝120°，∠C＝15°，c＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)．反思：本题给出了解三角形第二类问题(即已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他的角和边)的方法步骤，即先由正弦定理求得已知边的对角，然后利用内角和公式求得第三角，再求得第三边．解答此类问题应注意对解的个数的讨论．题型二判断三角形的形状【例3】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，试判断△ABC的形状．分析：将式中的a，b，c分别用2RsinA，2RsinB，2RsinC(R为△ABC外接圆半径)来代替是解决本题的关键．解：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)中，可得eq\f(2RsinA,cosA)＝eq\f(2RsinB,cosB)＝eq\f(2RsinC,cosC)，所以tanA＝tanB＝tanC．又因为∠A，∠B，∠C是△ABC的内角，所以∠A＝∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形．反思：已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两种思路：其一，化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系；其二，化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系．【互动探究】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)，试判断△ABC的形状．解：由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)得eq\f(sinB,b)＝eq\f(cosB,b)，eq\f(sinC,c)＝eq\f(cosC,c)，∴sinB＝cosB，即eq\r(2)sin(∠B－45°)＝0，∴∠B＝45°，同理，∠C＝45°．∴∠A＝180°－∠B－∠C＝90°．∴△ABC为等腰直角三角形．题型三用正弦定理证明【例4】在△ABC中，求证：eq\f(a－ccosB,b－ccosA)＝eq\f(sinB,sinA)．分析：求证的等式左边既含有边又含有角，而右边只有角，可利用正弦定理将左边的边化成角．证明：由正弦定理得左边＝eq\f(2RsinA－2RsinCcosB,2RsinB－2RsinCcosA)＝eq\f(sinA－sinCcosB,sinB－sinCcosA)＝eq\f(sin(B＋C)－sinCcosB,sin(A＋C)－sinCcosA)＝eq\f(sinBcosC＋cosBsinC－sinCcosB,sinAcosC＋cosAsinC－sinCcosA)＝eq\f(sinBcosC,sinAcosC)＝eq\f(sinB,sinA)＝右边．故原等式成立．反思：在含有边角关系的等式中，若含有a，b，c及sinA，sinB，sinC形式，可利用正弦定理完成边角关系的统一．题型四易错辨析【例5】在△ABC中，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，AC＝2，求△ABC的面积．错解：由正弦定理，得sinC＝eq\f(ABsinB,AC)＝eq\f(\r(3),2)，所以∠C＝60°，所以∠A＝90°，所以S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sinA＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2×1＝2eq\r(3)，即△ABC的面积是2eq\r(3)．错因分析：利用正弦定理求角C时漏解了，实际上由AB>AC，得满足sinC＝eq\f(\r(3),2)的角C有两个．正解：由正弦定理，得sinC＝eq\f(ABsinB,AC)＝eq\f(\r(3),2)．因为AB>AC，所以∠C＝60°或120°．当∠C＝60°时，∠A＝90°，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sinA＝2eq\r(3)；当∠C＝120°时，∠A＝30°，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sinA＝eq\r(3)．所以△ABC的面积为2eq\r(3)或eq\r(3)．【例6】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝eq\r(6)＋eq\r(2)，∠C＝30°，求a＋b的最大值．错解：因为∠C＝30°，所以∠A＋∠B＝150°，即∠B＝150°－∠A．由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sin(150°－∠A))＝eq\f(\r(6)＋\r(2),sin30°)．又因为sinA≤1，sin(150°－∠A)≤1，所以a＋b≤2(eq\r(6)＋eq\r(2))＋2(eq\r(6)＋eq\r(2))＝4(eq\r(6)＋eq\r(2))．故a＋b的最大值为4(eq\r(6)＋eq\r(2))．错因分析：上述解法错误的原因是未弄清∠A与150°－∠A之间的关系，这里∠A与150°－∠A是相互制约的，不是相互独立