高三上学期期中数学真题分类汇编（新高考通用）专题11空间几何体及其内切球外接球（十二大题型）（原卷版）

专题11空间几何体及其内切球、外接球斜二测画法1．（2022秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校考期中）如图，一个水平放置的图形的直观图是一个等腰直角三角形，斜边长，那么原平面图形的面积是（）A．2 B． C． D．2．（广东省河源市河源中学等校2023届高三上学期期中）如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个底角为、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是A． B． C． D．3．（2022秋·福建南平·高三统考期中）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，则原三角形的面积为．空间几何体的表面积4．（辽宁省抚顺市六校协作体20222023学年高三上学期期中）在正三棱柱中，E，F分别是棱BC，的中点，若异面直线与EF所成的角是45°，则该三棱柱的侧面积与表面积的比值是（

）A． B． C． D．5．（江苏省无锡市江阴市第一中学20222023学年高三上学期期中）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．某公园中设置的供市民休息的石凳如图所示，它是一个棱数为24的半正多面体，且所有顶点都在同一个正方体的表面上，它也可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，若被截正方体的棱长为，则该石凳的表面积为（

）A． B． C． D．6．（福建省福州市八县（市、区）一中2023届高三上学期期中）若圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的侧面积为．7．（江苏省扬州市宝应县曹甸高级中学20222023学年高三上学期期中）将一个边长为4的正三角形以其中一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为.8．（黑龙江省佳木斯市第一中学20222023学年高三上学期期中）已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为．空间几何体的体积9．（江苏省南京市江宁区2023届高三上学期期中）如图的后母戊鼎（原称司母戊鼎）是迄今为止世界上出土最大、最重的青铜礼器，有“镇国之宝”的美誉，后母戊鼎双耳立，折沿宽缘，直壁，深腹，平底，下承中空“柱足”，造型厚重端庄，气势恢宏，是中国青铜时代辉煌文明的见证，如图为鼎足近似模型的三视图（单位：，经该鼎青铜密度为（单位：，则根据三视图信息可得一个柱足的重量约为（重量体积密度，单位：（

）A． B． C． D．10．（2022秋·江苏南通·高三统考期中）已知两个圆锥的母线长均为6，它们的侧面展开图恰好拼成一个半圆，若它们的侧面积之比是1：2，则它们的体积之和是（

）A． B．C． D．11．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校联考期中）已知某种装水的瓶内芯近似为底面半径是4dm、高是8dm的圆锥，当瓶内装满水并喝完一半，且瓶正立旋置时（如图所示），水的高度约为（

）（参考数据：，）A．1.62dm B．1.64dm C．3.18dm D．12．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）在棱长为4的正方体中M，N分别为，AB的中点，则三棱锥的体积为．13．（2022秋·河北石家庄·高三石家庄二中校考期中）斜三棱柱中，侧面的面积为S，侧棱到侧面的距离为，则该斜三棱柱的体积为14．（湖北省武汉市黄陂一中盘龙校区20222023学年高三上学期期中）如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，M是PB的中点．(1)证明：；(2)求三棱锥的体积．最短路径15．（湖北省仙桃荣怀学校20222023学年高三下学期期中）如图，在正三棱柱，中，，在上，是的中点，则的最小值是（

）A． B． C． D．16．（湖北省宜昌英杰学校20222023学年高三上学期期中）已知直三棱柱中，，，为线段上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．17．（河北省深州市长江中学2023届高三上学期期中）已知正方体棱长为1.一只蚂蚁从顶点出发沿正方体的表面爬到顶点.则蚂蚁经过的最短路程为.18．（2022秋·黑龙江绥化·高三海伦市第一中学校考期中）在直三棱柱中，，，，E是棱上的一点，则的周长的最小值为（

）A． B． C． D．19．（2022秋·江苏南通·高三海安高级中学校考期中）如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．320．（浙江省绍兴戴山外国语学校20222023学年高三上学期期中）如图，AB是底面圆O的直径,点C是圆O上异于A、B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且，点E在线段PB上，则的最小值为.截面问题21．（2022秋·浙江杭州·高三学军中学校考期中）如图，在正方体中，点E，F分别是棱，的中点，点G是棱的中点，则过线段AG且平行于平面的截而图形为（

）A．等腰梯形 B．三角形 C．正方形 D．矩形22．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期中）在棱长为3的正方体中，点Р是侧面上的点，且点Р到棱与到棱AD的距离均为1，用过点Р且与垂直的平面去截该正方体，则截面在正方体底面ABCD的投影多边形的面积是（

）A． B．5 C． D．823．（江苏省苏州市太仓市明德高级中学20222023学年高三上学期期中）（多选）用一个平面去截正方体，截面形状不可能是下列哪个图形（

）A．五边形 B．直角三角形 C．直角梯形 D．钝角三角形24．（2022秋·江苏南通·高三统考期中）在正方体中，M，N，Q分别为棱AB，的中点，过点M，N，Q作该正方体的截面，则所得截面的形状是（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形25．（浙江省温州市环大罗山联盟20222023学年高三上学期期中期中）在三棱锥中，，G为的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC，则截面的周长为.26．（浙江省金华市东阳市外国语学校、东阳中学20222023学年高三上学期期中）如图，已知三棱锥，点P是的中点，且，过点P作一个截面，使截面平行于和，则截面的周长为.线面垂直模型的外接球27．（福建省福州文博中学20222023学年高三上学期期中）在三棱锥中，平面ABC，，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．28．（福建省宁德第一中学20222023学年高三上学期期中）在四棱锥中，底面为矩形，平面，点为上靠近的三等分点，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．29．（山东省临沂第十八中学20222023学年高三上学期期中）我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”（如图所示），其中底面，，，，则该“阳马”的外接球的表面积为．30．（2022秋·辽宁大连·高三大连市第十二中上学期期中）如图，已知四棱锥外接球O的体积为，，侧棱与底面垂直，四边形为矩形，点M在球O的表面上运动.当四棱锥体积的最大时，点A到面的距离为.31．（2022秋·山东德州·高三德州市第一中学上学期期中）已知三棱锥的体积为6，且.则该三棱锥外接球的表面积为.对棱相等、共斜边模型的外接球32．（2022秋·湖南株洲·高三炎陵县第一中学上学期期中）蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球）的表面上有四个点，平面，则该鞠（球）的表面积为（

）A． B． C． D．33．（2022秋·广东东莞·高一东莞实验中学上学期期中）在三棱锥中，对棱，，，则该三棱锥的外接球体积为，内切球表面积为.34．（2022秋·湖南张家界·高三统考期中）三棱锥中，平面，，．过点分别作，交于点，记三棱锥的外接球表面积为，三棱锥的外接球表面积为，则（

）A． B． C． D．35．（山东省青岛市青岛中学20222023学年高三上学期期中）已知，，，四点在半径为的球面上，且，，，则三棱锥的体积是.36．（2022春·河北石家庄·高三石家庄一中上学期期中）已知三棱锥中，，，且各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为.37．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中上学期期中）已知为球的表面的四个点，平面，，则球的表面积等于.球心在外心正上方模型的外接球38．（山东省滨州市邹平市第一中学20222023学年高三上学期期中）在正四棱台中，上､下底面边长分别为，该正四棱台的外接球的表面积为，则该正四棱台的高为.39．（河北省高碑店市崇德实验中学20222023学年高三上学期期中）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该四棱锥的外接球的体积为．40．（2022秋·湖南长沙·高三统考期中）埃及金字塔是地球上的古文明之一，随着科技的进步，有人幻想将其中一座金字塔整体搬运到月球上去，为了便于运输，某人设计的方案是将它放入一个金属球壳中，已知某座金字塔是棱长均为的正四棱锥，那么设计的金属球壳的表面积最小值为．（注：球壳厚度不计）.41．（山东省泰安第二中学20222023学年高三上学期期中）在正三棱锥中，，则该三棱锥外接球的表面积为.42．（广东省韶关市永翔实验中学20222023学年高三上学期期中）正四面体内接于半径为的球，求正四面体的棱长.面面垂直模型的外接球43．（广东省珠海市香樟中学20222023学年高三上学期期中）在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（

）A． B． C． D．44．（广东省汕头市育能实验学校20222023学年高三上学期期中）在菱形中，，，将绕对角线所在直线旋转至，使得，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．45．（2022秋·山东烟台·统考二模）（多选）三棱锥中，底面、侧面均是边长为2的等边三角形，面面，P为的中点，则（

）．A．B．与所成角的余弦值为C．点P到的距离为D．三棱锥外接球的表面积为46．（广东省揭阳市普宁国贤学校2023届高三上学期期中）已知四面体ABCD的顶点都在球О的表面上，平面平面BCD，，为等边三角形，且，则球O的表面积为.折叠模型的外接球47．（广东省深圳市南方科技大学附属中学20222023学年高三上学期期中）已知菱形ABCD的边长为2，且，沿BD把折起，得到三棱锥，且二面角的平面角为60°，则三棱锥的外接球的表面积为（

）．A． B． C． D．48．（云南省楚雄天人中学20222023学年高三上学期期中）在三棱锥中，是边长为6的等边三角形，，三棱锥体积的最大值是；当二面角为时，三棱锥外接球的表面积是.49．（云南省曲靖二中兴教中学20222023学年高三上学期期中）已知等边的边长为2，将其沿边旋转到如图所示的位置，且二面角为，则三棱锥外接球的半径为50．（湖南省邵阳市20222023学年高三上学期期中）在菱形ABCD中，，，将沿折起，使得．则得到的四面体的外接球的表面积为．51．（湖南省长沙市南雅中学20222023学年高三上学期期中）已知菱形的边长为2，且，沿把折起，得到三棱锥，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为.外接球的最值问题52．（湖南省永州市江华县20222023学年高三上学期期中）表面积为的球内有一内接四面体PABC，其中平面平面，是边长为3的正三角形，则四面体PABC体积的最大值为（

）A． B． C． D．53．（江苏省徐州市铜山区20222023学年高三上学期期中）设A，B，C，D是同一个半径为5的球的球面上四点，，，则三棱锥体积的最大值为.54．（江苏省盐城市东台创新高级中学20222023学年高三上学期期中）一封闭圆台上、下底面半径分别为1，4，母线长为6．该圆台内有一个球，则这个球表面积的最大值为．55．（江苏省徐州市铜山区20222023学年高三上学期期中）已知正三棱柱所有顶点都在球O上，若球O的体积为，则该正三棱柱体积的最大值为.56．（江苏省淮安市高中校协作体20222023学年高三上学期期中）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，求三棱锥体积的最大值.内切球57．（江苏省淮安市涟水县第一中学20222023学年高三上学期期中）已知三棱柱中，，，平面垂直平面，，若该三棱柱存在体积为的内切球，则三棱锥体积为（

）A． B．4 C．2 D．58．（江苏省徐州市铜山区铜北中学20222023学年高三上学期期中）正三棱锥的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为.59．（黑龙江省大庆市肇州县第二中学20222023学年高三上学期期中）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的内切球表面积为.60．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学上学期期中）若圆台的上、下底面圆半径分别为1、2，、分别为圆台上下底面圆心.若该圆台存在内切球，则该圆台的体积为.61．（黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学20222023学年高三上学期期中）如图，四边形为菱形，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为.1．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积为，则该正四棱锥的体积最大值为（

）A．18 B． C． D．272．（黑龙江省大庆市林甸县第一中学20222023学年高三上学期期中）已知正三棱锥P—ABC的底面边长为3，高为，则三棱锥P—ABC的内切球的表面积为（

）A． B． C． D．3．（浙江省杭州学军中学海创园学校20222023学年高三上学期期中）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为（

）（注：一丈=10尺=100寸，，答案四舍五入，只取整数）A．285立方寸 B．300立方寸 C．317立方寸 D．320立方寸4．（2022秋·河北邯郸·高三涉县第一中学校考期中）在棱长为2的正方体中挖掉一个体积最大的圆锥（圆锥的底面在正方体的底面上），再将该圆锥重新熔成一个圆柱，则该圆柱表面积的最小值为（

）A． B． C． D．5．（浙江省台州市温岭中学20222023学年高三上学期期中）如图所示，在中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1．在三角形内挖去半圆（圆心O在边BC上，半圆与BC相交于N，与AC相切于点C，与AB相切于点M），则图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积为（

）A． B． C． D．6．（浙江省衢州市乐成寄宿中学20222023学年高三上学期期中）已知边长为2的正方形的四个顶点在球的球面上，球的表面积为，则四棱锥的体积为.7．（2022秋·湖南常德·高三湖南省桃源县第一中学校考期中）如图，已知、是球的球面上两点，，过作互相垂直的两个平面截球得到圆和圆，若，则球的表面积为.8．（河北省保定容大中学20222023学年高三上学期期中）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，，M、N分别为线段AC上的点，若，则三棱锥体积的最小值为．9．（2022秋·福建厦门·高三厦门一中校考期中）（多选）已知正方体的棱长为2（如图所示），点为线段（含