2021-2022学年云南省迪庆州香格里拉中学高考仿真模拟数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知甲盒子中有，”个红球，〃个蓝球，乙盒子中有〃个红球，〃+1个蓝球（加23,n23）,同时从甲乙两个盒子

中取出甲=1,2）个球进行交换，（a）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为p,"=1,2）.（b）交换后，乙盒

子中含有红球的个数记为4a=1,2).则()

A.P1>P2，E&)<E©)B.p4P2，E©9E&)

c.P|>P2，E&)>E&)D.PI<P2，E&)<E记2)

2.已知关于x的方程Gsinx+sin15-x)=〃?在区间[(),24)上有两个根,x2,且打一回2万，则实数加的取

值范围是()

A.0,£|B.[1,2)C.[0,1)D.[0,1]

3.△ABC中，AB=3,BC=JI5,AC=4,则△A5C的面积是()

A.B.-C.3D.-

〜22

x+2y<l/xn

4.设满足约束条件，2x+y2-1,若z=-3%+2y的最大值为〃，则2x—j的展开式中x2项的系数为（

x-y<0、7

A.60B.80C.90D.120

2

5.若AA8C的内角A满足sin2A=-],贝！1sinA-cosA的值为（）

A.正B.叵V55

rD.—

333

6.设全集U=R,集合A={x|x<2},B=-3x<o},贝！|（Q,A）nB=（）

A.(0,3)B.[2,3)C.(0,2)D.((),+<»)

12TT

7.若，是第二象限角且sin"R,则tan(^4——)=

4

177-177

A.——B.——C.—D.—

717717

-------.1--------UUU1UUU

8.已知AAHC是边长为3的正三角形，若BD=gBC,则AO-8C=

15

A.aB.—

22

9.已知抛物线V=4x的焦点为尸，P为抛物线上一点，A(l,l),当A/"周长最小时，P尸所在直线的斜率为()

4334

A.一一B.一一C.-D.-

3443

10.点A8,C是单位圆。上不同的三点，线段。。与线段交于圆内一点M,若

OC=mOA+nOB,(m>0,n>0),m+n^2,则NAOB的最小值为()

11.已知函数/(x)=x—JRx>0),g(x)=x+e*,/z(x)=x+lnx(x>0)的零点分别为*,x2,x3,则()

A.xx<x2<x3B.x2<x]<x3

C.x2<x3<x]D.x3<x]<x2

12.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度

相同)，用回归直线§=加+为近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是()

y(英语成绩)

•••

•••••・

•・•••••••

••••••

,封语文成绩)

01---------------------------------A

A.线性相关关系较强，B的值为1.25

B.线性相关关系较强，8的值为0.83

C.线性相关关系较强，5的值为-0.87

D.线性相关关系太弱，无研究价值

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图所示，在正三棱柱ABC-4旦和中，。是AC的中点，=则异面直线A片与8□所成的角

为一.

14.抛物线V=4x上到其焦点厂距离为5的点有个.

15.抛物线V=4x上到其焦点的距离为1的点的个数为.

\x2+5x+4|,x<0..

16.已知函数/(x)=F1，若函数y=/(x)—4X恰有4个零点，则实数。的取值范围是________.

2|x-2|,x>0

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)网络看病就是国内或者国外的单个人、多个人或者单位通过国际互联网或者其他局域网对自我、他人或

者某种生物的生理疾病或者机器故障进行查找询问、诊断治疗、检查修复的一种新兴的看病方式.因此，实地看病与网

络看病便成为现在人们的两种看病方式，最近某信息机构调研了患者对网络看病，实地看病的满意程度，在每种看病

方式的患者中各随机抽取15名，将他们分成两组，每组15人，分别对网络看病，实地看病两种方式进行满意度测评,

根据患者的评分(满分100分)绘制了如图所示的茎叶图：

网络看病实地看病

1123566

2334724589

25588367788

294688

(1)根据茎叶图判断患者对于网络看病、实地看病那种方式的满意度更高？并说明理由;

(2)若将大于等于80分视为“满意”，根据茎叶图填写下面的列联表:

满意不满意总计

网络看病

实地看病

总计

并根据列联表判断能否有90%的把握认为患者看病满意度与看病方式有关？

(3)从网络看病的评价“满意”的人中随机抽取2人，求这2人平分都低于90分的概率.

附K2=——照区——，其中〃=。+"。+小

(a4-b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K』J0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.(12分)已知椭圆。：1+4=13>b>0)的离心率为Y2,且以原点。为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的

a2b22

圆与直线x+y-2=()相切.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知动直线/过右焦点尸，且与椭圆C交于A、8两点，已知。点坐标为(2,0),求如•。豆的值.

4

19.(12分)已知｛叫是递增的等差数列，a2,如是方程嫄—豌阴瀛=顿的根.

(1)求｛叫的通项公式；

(2)求数列［殳］的前"项和.

4—x

20.(12分)已知函数/(x)=ln——+(2—。)(工一1).

x

(1)当。=1时.

①求函数在(2,/(2))处的切线方程；

124〃一1

②定义S=②一)+/(-)+•,,+/(-----)其中〃WN*，求§2020;

nnnn

(2)当时，设«x)=/(x)-ln(4x-x2),g(*)=定1(«为自然对数的底数)，若对任意给定的e(0，e］，在

(0,e］上总存在两个不同的玉。=1,2),使得"x,)=g(x0)成立，求。的取值范围.

21.(12分)小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是!，且是否

2

休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业.

(1)求发生调剂现象的概率；

(2)设营业店铺数为X,求X的分布列和数学期望.

22.(10分)如图，椭圆吞+2=1(4>6>0)的长轴长为4,点A、B、C为椭圆上的三个点，A为椭圆的右端点,

过中心。，且忸Cj=2|AB|,S^BC=3.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)设。、。是椭圆上位于直线AC同侧的两个动点(异于A、C),且满足ZP8C=NQ84,试讨论直线阱与

直线8Q斜率之间的关系，并求证直线PQ的斜率为定值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是

对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.

详解：根据题意有，如果交换一个球，

有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，

红球的个数就会出现〃?,+l三种情况；

如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝

一红换亮蓝，

对应的红球的个数就是加一2,〃?一1,加，加+1,m+2五种情况，所以分析可以求得Pi>%，£©)<4刍)，故选A.

点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对

应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.

2.C

【解析】

TT

先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数y=2sin(x+”)，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问

题，画出函数图象，再结合旧一万，解得，〃的取值范围.

【详解】

由题化简得Gsinx+cosx=m，m=2sin(x+2),

6

TT

作出y=2sin(x+二)的图象，

又由居一巧|之乃易知OWmcl.

故选：C.

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题.

3.A

【解析】

由余弦定理求出角A,再由三角形面积公式计算即可.

【详解】

AB2+AC2-BC2

由余弦定理得:cos4=

2-AB-AC2

又Ae(O,4)，所以得A=?,

故AABC的面积S=—•AB-AC-sinA=3-$/3.

2

故选：A

【点睛】

本题主要考查了余弦定理的应用，三角形的面积公式，考查了学生的运算求解能力.

4.B

【解析】

画出可行域和目标函数，根据平移得到〃=5,再利用二项式定理计算得到答案.

【详解】

如图所示：画出可行域和目标函数，

3z

z=-3x+2y,即丫=二*+—,故］表示直线与截距的2倍，

'22

根据图像知：当x=—Ly=l时，Z=-3x+2y的最大值为5,故“=5.

vz\r5—r

展开式的通项为:&=C"2x)］一美=cr2*.(—iy.x2

取r=2得到。项的系数为:25-2.（—1）2=80.

【点睛】

本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

5.A

【解析】

21JT

由sin2A=2sinAcosA=得到sinAcosA=—§<0,得出人£（万,乃），再结合三角函数的基本关系式，即可

求解.

【详解】

21

由题意，角A满足sin2A=2sinAcosA=一,则sinAcosA=—<0,

33

又由角A是三角形的内角，所以Ae（二,乃），所以sinA>cosA,

2

因为(sinA-cosA)-=1-2sinAcosA=1-,

所以sinA-cosA=15.

3

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了正弦函数的性质，以及三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式的化简、求值问题，着重考查了推理

与计算能力.

6.B

【解析】

可解出集合8,然后进行补集、交集的运算即可.

【详解】

VB={X|X2-3^<0}=(0,3),A={X|X<2},则jA=[2,4W),因此，&力口3=[2,3).

故选：B.

【点睛】

本题考查补集和交集的运算，涉及一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.

7.B

【解析】

10/V1Q

由，是第二象限角且sin。=一知：cos3——Vl—sin2=---,tan6=----.

13135

«•,、，，八%、tan6+tan45°7

所以tan(。+-)=--------------

41一tan。tan45°17

8.A

【解析】

由=可得AO=A6+6Q=AB+—BC,因为AABC是边长为3的正三角形，所以

33

...1....[.21.3

ADBC=(AB+-BC)BC=ABBC+-BC=3x3cosl200+-x32,故选A.

9.A

【解析】

本道题绘图发现三角形周长最小时A,P位于同一水平线上，计算点P的坐标，计算斜率，即可.

【详解】

结合题意，绘制图像

要计算三角形PAF周长最小值，即计算PA+PF最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN,所以

PF+PA=PA+PN>AN>AG,故当点P运动到M点处，三角形周长最小，故此时M的坐标为所以斜

1-0_4

率为厂=一号，故选A.

------1

4

【点睛】

本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等.

10.D

【解析】

由题意得l=m2+n2+2/HrtCosZAOB,再利用基本不等式即可求解.

【详解】

将Od=，〃0田+nOB平方得1=»?+*+2mncosZAOB,

八八1一相2*l-(m+n)2+2mn3

cosZAOB=-------------=----------------------=----+--1<---------------+1=--

2mn2mn2mn2x")22

（当且仅当加=〃=1时等号成立）,

\-0<ZAOB<7T9

NA08的最小值为事，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题.

11.C

【解析】

转化函数/(x)=x-V7(x>0),g(x)=x+e*,介(刈=》+1114》>0)的零点为>=%与3/=40>0),y=-ex,

y=—lnx(x>0)的交点，数形结合，即得解.

【详解】

函数/(x)=x-7x(x>0),g(x)=x+e',/?(x)=x+Inx(x>0)的零点，即为y=x与旷=«(》>()),y=—e，，

y=—lnx(x>0)的交点，

作出y=x与y=J7(x>0),y=—/,y=—lnx(x>0)的图象，

如图所示，可知々<%3<玉

故选：C

【点睛】

本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题.

12.B

【解析】

根据散点图呈现的特点可以看出，二者具有相关关系，且斜率小于1.

【详解】

散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集，

故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，

且直线斜率小于1,故选B.

【点睛】

本题主要考查散点图的理解，侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.60'

【解析】

要求两条异面直线所成的角，需要通过见中点找中点的方法，找出边的中点，连接出中位线，得到平行，从而得到两

条异面直线所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角.

【详解】

取4G的中点E,连AE,与E,易证用面ACGA于点后，・••NABq为异面直线A片与BD所成角,

设等边三角形边长为明易算得此Z苧T，蝴=耳，在3第中，3次斌BE=21

/.NABE=60

【点睛】

本题考查异面直线所成的角，本题是一个典型的异面直线所成的角的问题，解答时也是应用典型的见中点找中点的方

法，注意求角的三个环节，一画，二证，三求.

14.2

【解析】

设符合条件的点P*。,%),由抛物线的定义可得|依|=/+1=5,即可求解.

【详解】

设符合条件的点2%,%),则|PE|=%+1=5,.-.x0=4,为=±4,所以符合条件的点有2个.

故答案为：2

【点睛】

本题考查抛物线的定义的应用，考查抛物线的焦半径.

15.1

【解析】

设抛物线上任意一点的坐标为(毛,为),根据抛物线的定义求得.％,并求出对应的y。，即可得出结果.

【详解】

设抛物线上任意一点的坐标为(毛,%),

抛物线y2=4x的准线方程为》=—1,由抛物线的定义得无o+l=l,解得.%=0,此时为=0.

因此，抛物线y2=4x上到其焦点的距离为1的点的个数为1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查利用抛物线的定义求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.

16.(1,3)

【解析】

函数y=/(x)—a|X恰有4个零点，等价于函数f(x)与函数y="W的图象有四个不同的交点，画出函数图象，利用

数形结合思想进行求解即可.

【详解】

函数y=/(x)-a|x|恰有4个零点，等价于函数/(x)与函数y=a|x|的图象有四个不同的交点，画出函数图象如下图

故答案为：(1,3)

【点睛】

本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3

17.(1)实地看病的满意度更高，理由见解析；(2)列联表见解析，有；(3)

【解析】

(1)对实地看病满意度更高，可以从茎叶图四个方面选一个回答即可；(2)先完成列联表，再由独立性检验得有90%

的把握认为患者看病满意度与看病方式有关；(3)利用古典概型的概率公式求得这2人平分都低于90分的概率.

【详解】

(1)对实地看病满意度更高，理由如下：

(i)由茎叶图可知：在网络看病中，有66.7%的患者满意度评分低于80分；在实地看病中，有66.7%的患者评分高

于80分，因此患者对实地看病满意度更高.

(ii)由茎叶图可知：网络看病满意度评分的中位数为73分，实地看病评分的中位数为87分，因此患者对实地看病满

意度更高.

(iii)由茎叶图可知：网络看病的满意度评分平均分低于80分；实地看病的满意度的评分平均分高于8()分，因此患

者对实地看病满意度更高.

(IV)由茎叶图可知：网络看病的满意度评分在茎6上的最多，关于茎7大致呈对称分布；实地看病的评分分布在茎

8,上的最多，关于茎8大致呈对称分布，又两种看病方式打分的分布区间相同，故可以认为实地看病评分比网络看病

打分更高，因此实地看病的满意度更高.

以上给出了4种理由，考生答出其中任意一一种或其他合理理由均可得分.

(2)参加网络看病满意度调查的15名患者中共有5名对网络看病满意，10名对网络看病不满意；参加实地看病满意

度调查的15名患者中共有10名对实地看病满意，5名对实地看病不满意.

故完成列联表如下：

满意不满意总计

网络看病51015

实地看病10515

总计151530

于是K2=10-5x5）一工3.33>2.706,

15x15x15x15

所以有90%的把握认为患者看病满意度与看病方式有关.

(3)网络看病的评价的分数依次为82,85,85,88,92,由小到大分别记为a,b,c,d,X,

从网络看病的评价“满意”的人中随机抽取2人，所有可能情况有：(a,A),(a,c),(a,d),(a,X)；3，c),0,d)，3，X)；

(c,d),(c,X)；(d,X)共10种,

其中，这2人评分都低于90分的情况有：

(82,85),(82,85),(82,88)；(85,85),(85,88)；(85,88)共6种，

故由古典概型公式得这2人评分都低于90分的概率P=^=|.

【点睛】

本题主要考查茎叶图的应用和独立性检验，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

V-27

18.(1)—+/=1；(2)——.

2-16

【解析】

(D根据椭圆的离心率为交，得到c=@q,根据直线与圆的位置关系，得到原心到直线的距离等于半径，得到

22

a=叵,从而求得6=1,进而求得椭圆的方程；

(2)分直线的斜率存在是否为0与不存在三种情况讨论，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，向量的

数量积，结合已知条件求得结果.

【详解】

(1)由离心率为也，可得e，=也,

2a2

:.c=^a,且以原点。为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆的方程为/+丫2=。2,

2

......2L

因与直线x+y—2=。相切，则有即4=血，c=l,.*./?=1,

故而椭圆方程为4y2=1.

(2)①当直线/的斜率不存在时，A1,

7

由于-

②当直线/的斜率为0时，A(V2,0),B(-A/2,0),

③当直线/的斜率不为0时，设直线/的方程为X=）+1,A（x”yJ,8（%,必），

2

2

由X=Zy+1及—+y=\9

得（产+2））；+2）-1=0,有/>0，

•/xl=tyi+l,x2=ty2+\,

•••（玉—q，）„-，2）=（0-£|（仇-£|+y%=（/+1）=凹必-5（凹+%）+'

/21I2t1—2产一2+『17

,,尸+24/+2162（产+2）1616'

----------7

综上所述：。4。8=一7.

16

【点睛】

该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，求向量数量积，在解题的过程

中，注意对直线方程的分类讨论，属于中档题目.

1〃+4

19.（D。“=5〃+1；⑵S“=2—5丁・

【解析】

（1）方程谓-重州凝=顿的两根为2,3,由题意得%=3,%=2,在利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错

位相减法“、等比数列的前”项和公式即可求出.

【详解】

方程x2-5x+6=0的两根为2,3.

由题意得a?=2,a4=3.

13

设数列｛a,,｝的公差为d,则a4—a2=2d,故（1=一,从而得心=一.

22

所以｛an｝的通项公式为a=—n+1.

n2

（2）设｛祟｝的前n项和为Sn,

,、八凡〃+2

由⑴知寸=尹，

3,4,,n+1,〃+2

贝！JS=H—r+・・・H-------I——9

n2223T2向

n+1〃+2

如=3+捺+...2〃+2

两式相减得

考点：等差数列的性质；数列的求和.

【方法点晴】

本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前〃项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综

合应用，解答中方程:F-普冢昔瀛=施的两根为2,3,由题意得的=3,%=2,即可求解数列的通项公式，进而利用错

位相减法求和是解答的关键，着重考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试题.

20.(1)①y=l；②8079；(2)I-oo,2--.

【解析】

(1)①。=1时，f{x}=ln^+x-\,/V)='V74%+4＞利用导数的几何意义能求出函数在(2J(2))处的切

xx—4x

线方程.

4-r1?8079

②由f(x)=/〃土三+x-l,得/(幻+/(4-幻=2,由此能求出s71Ko=/(1)+f(磊)+…+/(黑)的值.

x202020202020

(2)根据若对任意给定的为e(0,e],在区间(0,e]上总存在两个不同的x,.(i=l,2),使得"x,)=g(x0)成立，得到

函数f(x)在区间(0,司上不单调，从而求得。的取值范围.

【详解】

4—x

(1)①•.•々=1,/(x)=In------+x-l

x

:.f(x)=ln(4—x)-lnx+x-l,(。vxv4)

•••/'(x)=-士,+1,"3=0,♦••"2)=1,

4XX

所以切线方程为y=L

4—xx

②♦:f(x)-In------+x-l,/(4-x)=In-------+4-X-1

A/(x)+/(4-x)=2,(0<x<4).

令彳=」，贝卜.•/(£)+/(4--)=2,(z=l,2,...,4/7-l).

nnn

1?21

因为S“=/(—)+f(―)T----1-/(4—)+/(4----)①，

nnnn

1721

所以s“=/(4——)+/(4——)+…+/(_)+/(_)②，

nnnn

由①+②得2Sn=2(4〃-1),所以S,=4〃-1,(〃wN*).

所以$202。=8079.

(2)g\x)^e'-x-xe'-x=(l-x)e'-x,当xw(0,1)时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增;

当xe(l,e］时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减•.％(())=0,g⑴=1，g(e)=e2-e>0

所以,函数g(x)在(0,e］上的值域为(0』.

2

因为"2,心一a2_(24。j),xe(O,e］

XX

22

M0<-——<ea<2——,①

2—a9e

此时，当不变化时«x）、«x）的变化情况如下:

22

X(0,--)

2-a2-。<2-«」

f'(x)一0+

/（X）单调减最小值单调增

2、2

——\=a-2ln------r(e)=(2-a)(e-l)-2

2-Q)2—CL

...对任意给定的％e（O,e],在区间（0,e]上总存在两个不同的毛。=1,2）,

使得“xj=g（x。）成立，当且仅当。满足下列条件

*4,即.

2—ci

♦(e)N1(2-n)(e-l)-2>l③

2(c2

令〃(Q)=Q-21naGI—oo,2—

2-a

hXa)=1-2[ln2-ln(2.a)]'=1------=-----,

2—cici—2

2

当。£(-a),0)时，〃(a)>0,函数〃(a)单调递增，当aw(0,2-一)时，函数以。)单调递减所以，对任意

e

22

Q£(f0,2--),有〃(/<〃(0)=0,即②对任意Q£(e,2--)恒成立.

ee

_3

由③式解得：a<2一一♦.④

e-l

综合①④可知，当ae[-8,2-9•时，对任意给定的为e(O,e],

在[0,e)上总存在两个不同的玉(/=1,2),使他)=g(x0)成立.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性、求函数最值问题，会利用导函数的正负确定函数的单调性,

会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件.不等式恒成立常转化为函数最值

问题解决.

113

21.(1)-(2)见解析，—

88

【解析】

(1)根据题意设出事件，列出概率，运用公式求解；(