四川省成都市武侯高级中学高三数学文测试题含解析

四川省成都市武侯高级中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，c(b11)，且，都是方程logx=logb(4x－4)的根，则△ABC(

)

(A)是等腰三角形，但不是直角三角形

(B)是直角三角形，但不是等腰三角形

(C)是等腰直角三角形

(D)不是等腰三角形，也不是直角三角形

参考答案：B解：x2=4x－4．根为x=2．∴C=2A，TB=180°－3A，sinB=2sinA．Tsin3A=2sinA，T3－4sin2A=2．A=30°，C=60°，B=90°．选B．2.已知抛物线的焦点为，点在上，且点是的重心，则为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D考点：抛物线方程及余弦定理的运用．【易错点晴】本题考查的是抛物线的几何性质,问题设置的目的是检测（三）学生基础知识和基本方法掌握的程度及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.问题中涉及到平面上三点构成的三角形的重心的概念,解答时要用到三角形的重心公式,这点可能是学生知识的一个盲点.其实运用向量很容易推得三点的重心的坐标为.求三角形的一个内角的余弦值这一信息为余弦定理的运用创造了条件,也为问题解答提供了方向,即要求三边的长,其中两边长的求解是运用了抛物线的定义.3.已知，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D4.已知集合，则M的非空子集的个数是（

）A．15

B．16

C．7

D．8参考答案：C5.分段函数则满足的值为（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略6.执行如图的程序框图，若输入的x为6，则输出的y的值为(

) A．6 B．4 C．3 D．2.5参考答案：D考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=3，y=2.5时，满足条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为2.5．解答： 解：模拟执行程序框图，可得x=6，y=4，不满足条件|y﹣x|＜1，x=4，y=3不满足条件|y﹣x|＜1，x=3，y=2.5满足条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为2.5．故选：D．点评：本题主要考查了程序框图和算法，依次正确写出每次循环得到的x，y的值是解题的关键，属于基本知识的考查．7.若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A． B．C．D．参考答案：D【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由已知可得sinα＞0，cosα＜0，利用二倍角公式，两角差的正弦函数公式化简已知可得cosα+sinα=，两边平方，利用二倍角公式即可计算sin2α的值．【解答】解：∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∵3cos2α=sin（﹣α），∴3（cos2α﹣sin2α）=（cosα﹣sinα），∴cosα+sinα=，∴两边平方，可得：1+2sinαcosα=，∴sin2α=2sinαcosα=﹣．故选：D．8.已知，则下面四个数中最小的是A.

B.

C.

D.参考答案：C略9.执行如图的程序框图，依次输入，则输出的S值及其意义分别是（

）A.，即5个数据的方差为4B.，即5个数据的标准差为4C.，即5个数据的方差为20D.，即5个数据的标准差为20参考答案：A【分析】根据程序框图，输出的是这5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可．【详解】根据程序框图，输出的S是这5个数据的方差，∵（17+19+20+21+23）＝20，∴由方差的公式得＝[（17﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（23﹣20）2]＝4．故选：A．【点睛】本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出这是一个求数据方差的问题，属于基础题．10.设，关于的方程有实根，则是的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知△ABC的边a，b，c的对角分别为A，B，C，若且，则角A的大小为_____.参考答案：【分析】根据正弦定理化简边角关系可得，从而可知，根据大边对大角的关系可知，从而可求得；根据三角形内角和可求得结果.【详解】由正弦定理得：，即

又

由得：，即

本题正确结果：【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、根据三角函数值的符号确定角的范围、三角形内角和、三角形大边对大角的应用等.

12.如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为

．参考答案：考点：余弦定理．专题：综合题．分析：先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．解答： 解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．点评：本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．13.已知向量与的夹角为60°，，，则

.参考答案：6与的夹角为，，又，，故答案为.

14.（几何证明选讲）如图所示，⊙的两条切线和相交于点，与⊙相切于两点，是⊙上的一点，若，则________.（用角度表示）参考答案：【知识点】弦切角。N1【答案解析】55°

解析：如图所示，连接，则.故，∴.【思路点拨】连接，则.再根据求出结果即可。15.已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≥0的解集是．参考答案：{x|x≥3或x≤1}【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（1）=0，∴不等式f（x﹣2）≥0等价为f（|x﹣2|）≥f（1），即|x﹣2|≥1，即x﹣2≥1或x﹣2≤﹣1，即x≥3或x≤1，故不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}，故答案为：{x|x≥3或x≤1}．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．16.不等式的解集为

．参考答案：【解析】：17.若双曲线的渐近线与抛物线的准线相交于A,B两点，且△OAB（O为原点）为等边三角形，则=_______.参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知△ABC的面积S满足，且,与的夹角为．(1)求的取值范围；(2)求函数的最大值及最小值．

参考答案：(1)解：因为，与的夹角为与的夹角为

所以 2分

4分

又，所以，即，

又，所以． 6分

(2)解：

8分

因为，所以， 10分

从而当时，的最小值为3，当时，的最大值为． 12分

略19.如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD=2，E是边SB的中点．（1）求证：CE∥平面SAD；（2）求二面角D﹣EC﹣B的余弦值大小．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取SA中点F，连结EF，FD，推导出四边形EFDC是平行四边形，由此能证明CE∥面SAD．（2）在底面内过点A作直线AM∥BC，则AB⊥AM，以AB，AM，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣EC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）取SA中点F，连结EF，FD，∵E是边SB的中点，∴EF∥AB，且EF=AB，又∵∠ABC=∠BCD=90°，∴AB∥CD，又∵AB=2CD，且EF=CD，∴四边形EFDC是平行四边形，∴FD∥EC，又FD?平面SAD，CE?平面SAD，∴CE∥面SAD．解：（2）在底面内过点A作直线AM∥BC，则AB⊥AM，又SA⊥平面ABCD，以AB，AM，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（1，2，0），D（1，2，0），E（1，0，1），则=（0，2，0），=（﹣1，0，1），=（﹣1，0，），=（﹣1，﹣2，1），设面BCE的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），同理求得面DEC的一个法向量为=（0，1，2），cos＜＞==，由图可知二面角D﹣EC﹣B是钝二面角，∴二面角D﹣EC﹣B的余弦值为﹣．20.已知函数f（x）=x2﹣x|x﹣a|﹣3a，a＞0．（1）若a=1，求f（x）的单调区间；（2）求函数在x∈[0，3]上的最值；（3）当a∈（0，3）时，若函数f（x）恰有两个不同的零点x1，x2，求的取值范围．参考答案：【考点】二次函数的性质．【分析】（1）根据二次函数以及一次函数的性质求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论a的范围求出函数的最小值和最大值即可；（3）求出f（x）的根，求的表达式，得到其范围即可．【解答】解：（1）x≤1时，函数f（x）的对称轴是x=，开口向上，故f（x）在上单调递减，在上单调递增．（2），当0＜a≤3时，f（x）=2x2﹣ax﹣3a的对称轴是x=＜1，∴f（x）在[0，）递减，在（，3]递增，而f（0）=﹣3a＜f（3）=0，∴f（x）的最小值，最大值f（3）；当3＜a＜6时，对称轴x=，1＜＜3，故f（x）在[0，）递减，在（，3]递增，∴f（x）的最小，最大值f（3），当6≤a＜12时，最小值，最大值f（0）当a≥12时，最小值f（3），最大值f（0）（3）当0＜a＜3时，令f（x）=0，可得，（因为f（a）=a2﹣3a＜0，所以x3＞a舍去）所以，在0＜a＜3上是减函数，所以．21.已知函数的最小正周期为.(1)求和函数的最小值 （2）求函数的单调递增区间.参考答案：（1）因为函数最小正周期为，则,则，最小值为（2）由（1）得令,解得所以函数的增区间为22.（本大题12分）一个袋中装有大小相同的球1