河北省某中学2021届高三上学期二调数学试题

河北省衡水中学2021届上学期高三年级二调考试数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.2.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向上平移个单位 D.向下平移个单位3.已知函数，若函数为偶函数，且，则b的值为（）A.-2 B.-1 C.1 D.24.已知等差数列的前项和为，，与的等差中项为2，则的值为（）A.6 B.-2 C.-2或6 D.2或65.已知，则（）A. B. C. D.6.已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是（）A. B.C. D.7.已知表示实数m，n中的较小数，若函数，当时，有，则的值为（）A.6 B.8 C.9 D.168.设为数列的前n项和，，则（）A. B.C D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.（多选题）等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选择项正确的是（）A. B.C.当时最小 D.时的最小值为10.设函数和，若两函数在区间上单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的可能取值是（）A. B. C.0 D.11.已知函数图象的一条对称轴为直线，函数，则下列关于函数的说法错误的是（）A.直线是图象的一条对称轴 B.的最小正周期为C.点是图象的一个对称中心 D.的最大值为12.已知函数在区间上至少存在两个不同的满足，且在区间上具有单调性，点和直线分别为图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（）A.在区间上的单调性无法判断B.图象的一个对称中心为C.在区间上的最大值与最小值的和为D.将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位得到的图象，则三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知等比数列的前n项和，且成等差数列，则的值为___________.14.已知函数的最大值为2.若函数在区间上至少取得两次最大值，则的最小整数值为___________.15.记函数，其中表示不大于的最大整数，若方程在区间上有7个不同的实数根，则实数的取值范围为___________.16.在中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则=__________；的取值范围为___________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.如图，在圆内接中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.（1）求B；（2）若点D是劣弧AC上一点，AB=2，BC=3，AD=1，求四边形ABCD的面积18.已知数列的前项和为,其中为常数.(1)证明:；(2)是否存在实数,使得数列为等比数列,若存在,求出;若不存在,说明理由.19.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.问题：在中，内角，，所对边分别为，，，，，点，是边上的两个三等分点，，____________，求的长和外接圆半径.注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.20.设函数（1）求函数的单调区间；（2）若函数在处取得最大值，求a的取值范围.21.甲､乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏导致一个条件看不清，具体如下等比数列的前n项和为，已知____________，（1）判断的关系并给出证明.（2）若，设，的前n项和为，证明.甲同学记得缺少的条件是首项的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是成等差数列.如果甲､乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题.22.定义可导函数在x处的弹性函数为，其中为的导函数．在区间D上，若函数的弹性函数值大于1，则称在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作的弹性区间．（1）若，求的弹性函数及弹性函数的零点；（2）对于函数（其中e为自然对数的底数）（ⅰ）当时，求的弹性区间D；（ⅱ）若在（i）中的区间D上恒成立，求实数t的取值范围．

河北省衡水中学2021届上学期高三年级二调考试数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵集合∴∵集合∴∴∵集合∴故选B.2.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向上平移个单位 D.向下平移个单位【答案】A【解析】【分析】先变形：，再根据左加右减原理即可得解.【详解】因为，所以由函数的图象得到函数的图象，根据左加右减，只需向左平移个单位故选：A.3.已知函数，若函数为偶函数，且，则b的值为（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】由为偶函数，所以的对称轴为，再结合，即可求得的值.【详解】因为为偶函数，所以的对称轴为.又因为，所以的顶点坐标为.由，得，解得，故选：C.4.已知等差数列的前项和为，，与的等差中项为2，则的值为（）A.6 B.-2 C.-2或6 D.2或6【答案】C【解析】【分析】根据题中已知条件及等差数列的性质求得首项a1和公差d，再利用等差数列前n项和公式，求得的值.【详解】设公差为，则由得，解得或，时，，时，．故选：C．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式基本量的计算以及等差数列前n项和公式，属于基础题.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】换元，可得出，利用诱导公式以及二倍角余弦公式可求得所求代数式的值.【详解】换元，可得，且，所以，.故选：D.6.已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先通过函数的定义域排除选项A，再通过函数的奇偶性排除选项D,再通过函数的单调性排除选出B，确定答案.【详解】由图象可知，函数的定义域为R，而函数的定义域不是R,所以选项A不符合题意；由图象可知函数是一个奇函数，选项D中，存在实数，使得，所以函数不是奇函数，所以选项D不符合题意；由图象可知函数是增函数，选项B，，所以函数是一个非单调函数，所以选项C不符合题意；由图象可知函数是增函数，选项C，，所以函数是增函数，所以选项C符合题意.故选：C【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.已知表示实数m，n中的较小数，若函数，当时，有，则的值为（）A.6 B.8 C.9 D.16【答案】B【解析】【分析】首先画出函数的图象，由图象确定当有时，即，再根据对数运算公式化简求值.【详解】作出函数的图象，如图中实线所示，由可知，，所以，即，所以.

故选：B【点睛】关键点点睛：本题一道数形结合分析问题的典型题型，关键是理解，并画出函数的图象，属于中档题型.8.设为数列的前n项和，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由递推式求出数列的首项,当时分为偶数和奇数求出,代入后分组,然后利用等比数列的前项和公式求解.【详解】由，当时，，得；当时，，即.当n为偶数时，，所以（为正奇数），当n为奇数时，，所以（为正偶数），所以，所以，所以，所以.因为.故选：A【点晴】方法点睛：本题考查已知数列与的关系式，求通项公式，分组求和，一般数列求和包含：1、公式法，利用等差和等比数列的前项和公式求解；2、错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3、裂项相消法求和，适用于能变形为；4、分组转化法求和，适用于；5、倒序相加法求和，适用于倒序相加后，对应的两项的和是常数的数列.二､多选题：本题共4小题，每小题5分共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.（多选题）等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选择项正确的是（）A. B.C.当时最小 D.时的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】由题设可得基本量关系，再把看成关于的二次函数.【详解】由题意，设等差数列的公差为，因为，可得，解得，又由等差数列是递增数列，可知，则，故正确；因为，由可知，当或时最小，故错误，令，解得或，即时最小值为，故正确.故选：ABD【点睛】数列的函数观，通项是关于的一次函数；前项和是关于的二次函数.10.设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的可能取值是（）A. B. C.0 D.【答案】AB【解析】【分析】首先求函数，根据两个函数同为增函数或同为减函数，确定绝对值里面的正负，根据恒成立求的取值范围.【详解】由题意得与在区间上同增或同减.若同增，则在区间上恒成立，即所以.若同减，则在区间上恒成立，即无解，所以A，B选项符合题意.故选：AB【点睛】思路点睛：本题考查指数函数单调性的综合应用，本题的关键是读懂“稳定区间”的定义，同时讨论函数同为增函数或同为减函数，去绝对值后转化为恒成立问题.11.已知函数的图象的一条对称轴为直线，函数，则下列关于函数的说法错误的是（）A.直线是图象的一条对称轴 B.的最小正周期为C.点是图象的一个对称中心 D.的最大值为【答案】AC【解析】【分析】由为的一条对称轴，结合的取值范围，即可求出的值，从而求出的解析式，再利用辅助角公式化简，结合余弦函数的性质计算可得；【详解】解：由为的一条对称轴，得，即.又因为，所以，所以，其中.易知，且，故A，C错误，B，D正确.故选：AC12.已知函数在区间上至少存在两个不同的满足，且在区间上具有单调性，点和直线分别为图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（）A.在区间上的单调性无法判断B.图象的一个对称中心为C.在区间上的最大值与最小值的和为D.将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位得到的图象，则【答案】BC【解析】【分析】根据条件求出，然后利用正弦型函数的图象及其性质逐一判断即可.【详解】由题意得，即，又在区间上至少存在两个最大值或最小值，且在区间上具有单调性，所以，所以所以只有时满足，此时，即，因为，所以，所以在区间上单调递减，故A错误；由，所以为图象的一个对称中心，故B正确；因为，所以，所以最大值与最小值之和为，故C正确；将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，再向左平移个单位，得到的图象，即，故D错误.综上，BC正确故选：BC【点睛】关键点睛：解答本题的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质，细心计算即可得解.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知等比数列的前n项和，且成等差数列，则的值为___________.【答案】-2【解析】【分析】根据等比数列的前n项和，利用，求得，然后再成等差数列求解.【详解】因为等比数列的前n项和，当时；；当时，，所以①，.又成等差数列，所以，即②.由①②解得，所以.故答案为：-214.已知函数的最大值为2.若函数在区间上至少取得两次最大值，则的最小整数值为___________.【答案】2【解析】【分析】先将函数转化为，根据的最大值为2，由求得a，然后根据在区间上至少取得两次最大值确定的范围即可.【详解】因为，所以的最大值为，解得或(舍去)，所以，当时，函数取得最大值，当时，取得前两个最大值时，k分别为0和1，当时，由，得，所以，所以的最小整数值为2.【点睛】方法点睛：解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将y＝f(x)化为y＝asinx＋bcosx的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．15.记函数，其中表示不大于的最大整数，若方程在区间上有7个不同的实数根，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】在同一直角坐标系内，画出，的图像，结合图形，由题中条件，即可得出结果.【详解】在同一直角坐标系内，作出函数，的图象，如图所示，由图像可得，函数与在区间内有个交点，即方程在区间上有个实根，故方程在区间上有个不同实根，即只需与在区间内有个交点，当直线经过点时，，经过点时，.若在区间上有4个根，则.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)的常用方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.16.在中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则=__________；的取值范围为___________.【答案】(1).2(2).【解析】【分析】由余弦定理可转化条件，再由正弦定理及三角恒等变换即可得；再由正弦定理可得，换元后结合导数即可得解.【详解】由余弦定理得，即，所以，即，由正弦定理得，即，所以即，因为，所以或(舍去)，所以，即；因为，所以，所以，令，则，，所以在区间上单调递增，又，所以.故答案为：2；.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用正弦、余弦定理对条件合理变形，再利用换元、导数确定函数的取值范围.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.如图，在圆内接中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.（1）求B；（2）若点D是劣弧AC上一点，AB=2，BC=3，AD=1，求四边形ABCD的面积【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据正弦定理化简即可．（2）在，利用余弦定理求出，已知，可得，再余弦定理求出，即可和面积，可得四边形的面积．【详解】解：（1）由正弦定理得，得.因为，所以，即.（2）在中AB=2，BC=3，，，解得.在中，，A，B，C，D在圆上，因为，所以，所以，解得或（舍去），所以四边形ABCD的面积.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18.已知数列的前项和为,其中为常数.(1)证明:；(2)是否存在实数,使得数列为等比数列,若存在,求出;若不存在,说明理由.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1），，∴，整理后即得结果；（2）由（1）可得，检验n=1也适合即可.详解：（1），，，，，；，（2），，相减得：，从第二项起成等比数列，即，得，若使是等比数列则，，（舍）或经检验得符合题意．点睛：已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.19.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.问题：在中，内角，，所对的边分别为，，，，，点，是边上的两个三等分点，，____________，求的长和外接圆半径.注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.【答案】答案见解析【解析】【分析】若选择条件①，，用余弦定理，求得，再用余弦定理求得，，最后由正弦定理可得外接圆半径；若选择条件②，由三角形面积求得，得，然后用余弦定理求得，，利用正弦定理求得外接圆半径；若选择条件③，设，用余弦定理表示出后解得，然后同样由余弦定理求得，用正弦定理求得外接圆半径．【详解】若选择条件①因为，所以，设，所以；又，，所以在中，，即，即：，所以或-4（舍去）.在中，，所以，同样，所以，由正弦定理可得：，所以外接圆半径为.若选择条件②因为点，是边上的三等分点，且，所以，因为，所以，所以，所以.在中，，所以，同样，所以，由正弦定理可得：，所以外接圆半径为.若选择条件③设，则，在中，，同样在中，，因为，所以，所以，在中，，所以，同样，所以，由正弦定理可得：，所以外接圆半径为.【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，掌握两个定理的应用是解题关键．属于中档题．20.设函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在处取得最大值，求a的取值范围.【答案】（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）.【解析】【分析】（1）先对求导，对导函数分和两种情况讨论即可.（2）因为函数在处取得最大值，所以，利用分离参数法转化为不等式恒成立问题，求函数的最值即可.【详解】解：（1），当时，，所以的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，令，得或，所以的单调递增区间为和令，得，所以的单调递减区间为.综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）由题意得.因为函数在处取得最大值，所以，即，当时，显然成立.当时，得，即.令，则，恒成立，所以是增函数，，所以，即，所以a的取值范围为.【点睛】思路点睛：对含参数的函数求单调区间，根据导函数分类讨论是解决这类题的一般方法；已知函数的最大值求参数的取值范围，往往转化为不等式恒成立问题，如果能分离参数的话，分离参数是解决这类题的常用方法，然后再求函数的最值即可.21.甲､乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏导致一个条件看不清，具体如下等比数列的前n项和为，已知____________，（1）判断的关系并给出证明.（2）若，设，的前n项和为，证明.甲同学记得缺少的条件是首项的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是成等差数列.如果甲､乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题.【答案】补充条件见解析；（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）可补充公比的值，由等比数列的通项公式和等差中项的性质，计算即可得所求得结论；（2）由等比数列的通项公式求得，再利用乘公比错位相减求和结合等比数列求和公式，不等式的性质即可得证.【详解】（1）补充的条件为，的关系为成等差数列.证明如下：若则