rlc并联电路的量子化

rlc并联电路的量子化

对于介质规模下的小电路，有必要考虑电路和硬件的体积效应。介观二次电路是重要模型之一。近年来，许多研究人员在不同的数量子中研究了无消耗lc电路的体积效应，并对电压和电压的波动进行了影响。此外，在不利的情况下，人们非常重视rlc互联电路的功率效应。在文献中，rlc互联电路中的电压和电压量是对rlc互联电路的影响。结果表明，在rlc互联电路中，由于rlc互联电路中的衰减，电流和电压的数量丢失受到影响。然而，人们还没有详细讨论rlc互联电路的电流和电压相位的损失。我们注意到rlc互联电路和rlc互联电路之间的电流和电压运行规律并不完全相同。因此，在这项工作中，我们推广了rcl互联电路和rcl互联电路中的电压和电压相位的分类，并引入了角因子的复正电压和电流变量。为了通常rcl和公共rl的组合电路的量子化。作为应用，我们计算了在激励相干阻力下介观电路中电压和电流的数量波动。结果表明，rlc互联电路和rlc互联电路中的电压和电压相位不仅具有偶异性，而且在欠阻尼或rc的情况下，电压和电压的数量随着电阻量的变化而变化。首先,我们对介观RLC并联电路进行量子化处理.对于一个经典的有源RLC并联电路,根据基尔霍夫节点电流定律,其运动方程为¨j(t)+(RC)-1˙j(t)+ω20j(t)=ω20js(t)j¨(t)+(RC)−1j˙(t)+ω20j(t)=ω20js(t),(1)式中,js(t)是外加电流源;ω2020=(LC)-1为电路的共振频率;j(t)是电感电流,其共轭变量为并联电压u=L˙j(t)u=Lj˙(t).显然,式(1)相当于受迫阻尼谐振子的运动方程.我们引入复正则电流I和电压V,则Ι=√C|ω|-1exp(iφ)[(|ω|+iβ)Lj+iu],V=i√C(4|ω|)-1exp(-iφ)[(|ω|-iβ)Lj-iu],式中,ω2=ω20-β2,β2=G(2C)-1,G=R-1.当ω2>0,取φ=0,对应于欠阻尼;当ω2<0,取φ=2-1π,对应于过阻尼.按照通常量子化方法,将复正则变量I和V看成算符,令算符I和V满足正则对易关系式[I,V]=ih.可以得到[j,u]=ihω20.引入推广的产生算符和消灭算符α=(2h)-1/2Ι=√C(2ℏ|ω|)-1exp(iφ)[(|ω|+iβ)Lj+iu],(2)α+=-i(h/2)-1/2V=√C(2ℏ|ω|)-1exp(-iφ)[(|ω|-iβ)Lj-iu].(3)由[j,u]=ihω20,可推出[a,a+]=1,因此,由(2)、(3)式所定义的算符具有玻色算符的性质.为研究激发相干态下介观电路的量了涨落,我们假设js(t)=0时,电路处于激发相干态|m,α〉=(a+)m〈α|ama+m|α〉1/2|α〉.由(2)、(3)式的逆变换可以得到,在激发相干态下,电流与电压的平均值与均方值分别为ˉj=√ℏ(2CL2|ω|)-1[αe-iφ+α*eiφ](m+1)Y1m(|α|2);(4)ˉu=√ℏ(2C|ω|)-1[(β+i|ω|)αe-iφ+(β-i|ω|)α*eiφ](m+1)Y1m(|α|2);(5)¯j2=h(2CL2|ω|)-1{[α2e-i2φ+α*2ei2φ](m+1)(m+2)Y(2)m(|α|2)+[2(m+1)γm-1]};(6)¯u2=h(2C|ω|)-1{[(β+i|ω|)2α2e-i2φ+(β-i|ω|)2α*2ei2φ](m+1)(m+2)Y(2)m(|α|2)+(β2+|ω|2)[2(m+1)γm-1]}.(7)其中Y(1)m(|α|2)=1Lm(-|α|2)m∑k=0f1(k)m!(k!)2(m-k)!|α|2k,Y(2)m(|α|2)=1Lm(-|α|2)m∑k=0f2(k)m!(k!)2(m-k)!|α|2k,γm=Lm+1(-|α|2)Lm(-|α|2),f1(k)=(k+1)-1,f2(k)=[(k+1)(k+2)]-1上面的Lm(-|α|2)为拉盖尔多项式.由(4)～(7)式可得到电压、电流在激发相干态下的量子涨落为¯(Δj)2=¯j2-(ˉj)2,(8)¯(Δu)2=¯u2-(ˉu)2.(9)当m=0时,电路处于相干态.Y(1)0(|α|2)=1,Y(2)0(|α|2)=2-1,γ0=1+|α|2.进行运算后,从上面两式还可得到¯(Δj)2=hω20(2L|ω|)-1‚¯(Δu)2=h(β2+|ω|2)(2C|ω|)-1.它们的不确定度之积为¯(Δj)2⋅¯(Δu)2=4-1h2ω40(1+β2|ω|-2).对于欠阻尼(φ=0,ω2=ω20-β2>0)¯(Δj)2=hω20/(2L√ω20-β2),(10)¯(Δu)2=hω20/(2C√ω20-β2).(11)对于过阻尼(φ=π/2,ω2=β2-ω20>0)¯(Δj)2=hω20/(2L√β2-ω20),(12)¯(Δu)2=h(2β2-ω20)/(2C√β2-ω20).(13)将(10)、(11)式与(12)、(13)式对应比较,可以发现,在欠阻尼或过阻尼情形下,阻尼对相干态下的量子涨落的影响是不相同的:在欠阻尼电路中,电流、电压的量子涨落以及它们不确定度求积都随着电阻的增大而减少;在过阻尼电路中,电流、电压的量子涨落以及它们不确定度的乘积却随着电阻的增大而增大,正好与欠阻尼电路的情况相反.把上面的计算结果(10)～(13)与文献的RLC串联电路的量子涨落作一比较,不难发现,RLC并联电路与RLC串联电路中的电流和电压的量子涨落无论是在欠阻尼电路还是在过阻尼电路中,均具有对偶性.在(8)～(13)式中,当m≠0,α=0时,γm=1,系统实际上处于粒子数态,此时电压,电流的量子涨落为¯(Δj)2=(2m+1)hω20(2L|ω|)-1,(14)¯(Δu)2=(2m+1)h(β2+|ω|2)(2C|ω|)-1,(15)¯(Δj)2⋅¯(Δu)2=4-1(2m+1)2h2ω40(1+β2|ω|-2).(16)当m=0时,系统实际处于真空态.另外,G=0(R→∞)时,β=0,ω=ω0=(√LC)-1,这样,电路实际上退化回到无耗散介观