【解析】浙江省杭州市第二中学2023-2023学年高三上学期数学第一次月考试卷

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一、单选题

1．（2023高三上·杭州月考）已知集合，，则=（）

A．B．

C．D．

2．（2023高三上·杭州月考）若，则的大小关系是（）

A．B．C．D．

3．（2023高三上·杭州月考）已知复数对应复平面上的点，复数满足，则（）

A．B．C．D．

4．（2023高三上·杭州月考）函数，的值域是（）

A．B．C．D．

5．（2023高三上·杭州月考）函数的大致图象为（）

A．B．

C．D．

6．（2023高三上·杭州月考）下列命题中正确的是（）

A．函数的图象恒过定点

B．“，”是“”的充分必要条件

C．命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”

D．若，则

7．（2023高三上·杭州月考）已知内角的对边分别为，若，，则的形状是（）

A．等腰三角形B．等边三角形

C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形

8．（2023·宁德模拟）函数()，满足，且对任意，都有，则以下结论正确的是（）

A．B．C．D．

9．（2023高三上·杭州月考）若不等式组(为常数)，表示的平面区域的面积8，则的最小值为（）

A．B．C．D．2

10．（2023高三上·杭州月考）已知函数在区间上满足，且.设，，则当时，下列不等式成立的是（）

A．B．C．D．不能确定

二、填空题

11．（2023高三上·杭州月考）在中，，，，，则的最小值为，又若，则.

12．（2023高三上·杭州月考）已知函数，则函数的增区间是，最小值是

13．（2023高三上·杭州月考）若锐角满足，则；函数的单调增区间为.

14．（2023高三上·杭州月考）已知函数，若，则；有个零点

15．（2023高三上·杭州月考）已知函数，则不等式的解集是.

16．（2023高三上·杭州月考）已知都为正实数，且，则的最小值为．

17．（2023高三上·杭州月考）已知是平面上两个定点，平面上的动点满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为．

三、解答题

18．（2023高三上·杭州月考）已知函数

（1）求的值；

（2）当时，求函数的值域.

19．（2023高三上·杭州月考）已知两个非零向量，且，

（1）求的夹角；

（2）若，求的最小值.

20．（2023高三上·杭州月考）已知锐角中，角的对边分别为，向量,，且．

（1）求角；

（2）求的取值范围．

21．（2023高三上·杭州月考）已知函数,()

（1）当时，若存在实数，当时，恒成立，求实数的最大值。

（2）若对任意，总存在唯一，使得成立.求实数的取值范围.

22．（2023高三上·杭州月考）已知函数，．

（1）若与的图象在公共点处有相同的切线，求切线方程；

（2）若为整数，且恒成立，求的最小值.

答案解析部分

1．【答案】B

【知识点】交集及其运算

【解析】【解答】∵集合

∴集合或

∵集合

∴集合

∴

故答案为：B.

【分析】通过解不等式求出集合A和B，即可得到.

2．【答案】C

【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小

【解析】【解答】∵0＜a＝，b＝log0.51.2＜log0.51＝0，c＝1.20.5＞1.20＝1，

∴b＜a＜c．

故答案为：C．

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，取中间量，比较的大小即可。

3．【答案】A

【知识点】复数代数形式的混合运算

【解析】【解答】由已知可得z1＝﹣1+i，

∴，

∴|z2|．

故答案为：A．

【分析】根据复数的几何意义，写出z1，结合复数的除法运算求出z2，即可得到复数的模.

4．【答案】A

【知识点】三角函数的单调性

【解析】【解答】因为函数y＝cos2x+sin2x＝cos2xcos2xcos2x．因为x∈R，所以cos2x∈[﹣1，1]，

所以cos2x∈[0，1]．

故答案为：A．

【分析】根据余弦的二倍角公式，结合余弦函数的值域，即可得到整个函数的值域.

5．【答案】B

【知识点】奇偶性与单调性的综合

【解析】【解答】由，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，

又，所以函数的图象应对应B，

故答案为：B．

【分析】根据奇偶性的定义确定函数为奇函数，结合特殊点的坐标，逐一排除即可.

6．【答案】D

【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断

【解析】【解答】对A,因为恒过（0,1），故函数的图象恒过定点，A不符合题意；

对B,的充分必要条件是，B不符合题意；

对C,命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”，C不符合题意；

对D,令，则，易得函数为单调递减函数，故，则D符合题意

故答案为：D

【分析】根据指数函数恒过定点，结合充分必要条件的判定及逆否命题逐一判断即可.

7．【答案】D

【知识点】三角形中的几何计算

【解析】【解答】由题

当，三角形为直角三角形

当，则，又，则三角形为等腰三角形

故答案为：D

【分析】根据余弦定理结合的取值，即可确定三角形的形状.

8．【答案】A

【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质

【解析】【解答】可知，函数的对称中心为.

对任意，都有，知对称轴是，

可知，故b=0，.

所以.

故答案为：A.

【分析】根据题目中所给的条件的特点，知函数f（x）关于某点对称，且关于某直线的对称，结合三角函数的图象与性质进行分析、判断各个选项的正误即可得到答案．考查了三角函数的图象与性质的应用问题.

9．【答案】B

【知识点】简单线性规划

【解析】【解答】满足约束条件的可行域如下图所示，

若可行域的面积为8，则a＝2

由图可得当x，y时，

x2+y取最小值，

故答案为：B．

【分析】作出可行域，数形结合，根据平面区域的面积，即可求出相应的最小值.

10．【答案】A

【知识点】利用导数研究函数的单调性

【解析】【解答】令F（x）＝exf（x），∴F′（x）＝ex[f（x）+f′（x）]；

又∵f（x）+f′（x）＜0，∴F′（x）＜0，

∴F（x）是（0，+∞）上的减函数；

令0＜x＜1，则x，由已知F（x）＞F（），可得f（x）f（），

下面证明：，即证明x+2lnx＞0，

令g（x）x+2lnx，则：

g′（x）0，g（x）在（0，1）↓，g（x）＞g（1），

即，

∴xf（x）f（），即

故答案为：A

【分析】构造函数，求导数，利用导数确定函数的单调性，即可判断相应的不等式.

11．【答案】；

【知识点】平面向量的数量积运算

【解析】【解答】，

所以当时，取最小值；

因为，所以，解得，

故答案为：；.

【分析】根据平面向量的线性运算，结合向量模的最值，解方程即可求出m的值.

12．【答案】；4

【知识点】函数的单调性及单调区间

【解析】【解答】易知，则函数的增区间是，

又，则函数的最小值为4

故答案为；4

【分析】对x的取值分类讨论，去掉绝对值，写成分段函数的形式，即可得到函数的单调区间和最小值.

13．【答案】；

【知识点】正弦函数的性质

【解析】【解答】锐角φ满足sinφ﹣cosφ，

∴1﹣2sinφcosφ，

∴sin2φ；

又sinφ，

∴2φ，

解得φ；

∴函数f（x）＝sin2（x+φ）

cos（2x），

∴2kπ≤2x2kπ+π，k∈Z；

解得kπx≤kπ，k∈Z；

∴f（x）的单调增区间为[kπ，kπ]（k∈Z）．

故答案为；

【分析】两边平方，结合同角三角函数的平方关系，即可得到相应的角；根据余弦的二倍角公式，写成函数的表达式，结合余弦函数的单调性，即可得到相应的单调区间.

14．【答案】1或或；4

【知识点】函数零点存在定理

【解析】【解答】当均大于0，则或或或，此时1或或

当均小于0，不合题意舍去.

又令，则，故或解得

则与交点个数分别为1个，0个，3个，综上有4个零点

故答案为1或或；4

【分析】根据函数的取值，得到a和b的关系，采用换元法，解不等式组，即可求出零点个数.

15．【答案】

【知识点】奇偶性与单调性的综合

【解析】【解答】，故为奇函数，且单调递减，则令，故为奇函数且单调递减，故等价于，即，即，解得

故答案为

【分析】根据奇函数的定义，求出f（-x）=-f（x），确定函数为奇函数，结合函数的单调性，解不等式，即可求出不等式的解集.

16．【答案】9

【知识点】基本不等式

【解析】【解答】则且，则=，当且仅当等号成立

故答案为9

【分析】采用常数代换的方法，结合基本不等式，即可求出最小值.

17．【答案】

【知识点】平面向量数乘的运算

【解析】【解答】不妨设，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则，

设

故动点的轨迹为圆，由恒成立，则

故答案为

【分析】建立平面直角坐标系，设出点的坐标，表示相应的式子，求出最小值，结合不等式恒成立即可得到k的最小值.

18．【答案】（1）解：

（2）解：由（1）知，，

当时由，得的值域为

【知识点】正弦函数的性质

【解析】【分析】（1）根据辅助角公式，得到函数的表达式，代入即可求出相应的三角函数值；

（2）根据正弦函数的单调性，求出函数的值域即可.

19．【答案】（1）解：由可得

，即

又

则

所以

故

（2）解：若

则的最小值为，当时，即时，取得最小值

【知识点】平面向量的数量积运算

【解析】【分析】（1）根据两向量垂直，数量积为0，结合平面向量的数量积运算，即可求出两向量的夹角；

（2）根据平面向量模的运算，结合基本不等式，即可求出相应的最小值.

20．【答案】（1）解：∵，∴，∴，由锐角故

（2）解：．

为锐角三角形，则

∴，所以．

故的取值范围是

【知识点】平面向量的数量积运算；三角形中的几何计算

【解析】【分析】（1）根据平面向量的数量积运算，结合同角三角函数的平方关系，即可求出角C；

（2）根据正弦定理，结合辅助角公式及正弦函数的单调性，即可求出相应的取值范围。

21．【答案】（1）解：,∵存在实数，当时，恒成立；

即恒成立.（）恒成立.

设，则

∴，

即，且

，∴实数的最大值是4

（2）解：，∵∴

∴函数的值域为

其次，由题意知：，且对任意，总存在唯一，使得．以下分三种情况讨论：

①当时，则，解得；

②当时，则，解得；

③当时，则或，解得；

综上：a的取值范围是a≤﹣2或a

【知识点】奇偶性与单调性的综合

【解析】【分析】（1）将不等式恒成立问题进行转化，结合换元法及二次函数的性质，即可得到实数m的最大值；

（2）对a的取值分类讨论，结合零点的存在性定理，解不等式组，即可求出a的取值范围.

22．【答案】（1）解：设公共点为，则有，解得，故切线方程是

（2）解：∵恒成立，∴恒成立

恒成立，令，，

令，，单调递增，

，所以存在使，

所以在上单调递增，在单调递减，

，因为为整数，所以的最小值为2

【知识点】利用导数研究函数的单调性

【解析】【分析】（1）设出公共点的组别，解方程组，求出a和m，即可得到切线方程；

（2）采用分离参数的方法，构造函数，求导数，利用导数确定函数的单调性，即可求出a的最小值.

1/1浙江省杭州市第二中学2023-2023学年高三上学期数学第一次月考试卷

一、单选题

1．（2023高三上·杭州月考）已知集合，，则=（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知识点】交集及其运算

【解析】【解答】∵集合

∴集合或

∵集合

∴集合

∴

故答案为：B.

【分析】通过解不等式求出集合A和B，即可得到.

2．（2023高三上·杭州月考）若，则的大小关系是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小

【解析】【解答】∵0＜a＝，b＝log0.51.2＜log0.51＝0，c＝1.20.5＞1.20＝1，

∴b＜a＜c．

故答案为：C．

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，取中间量，比较的大小即可。

3．（2023高三上·杭州月考）已知复数对应复平面上的点，复数满足，则（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】复数代数形式的混合运算

【解析】【解答】由已知可得z1＝﹣1+i，

∴，

∴|z2|．

故答案为：A．

【分析】根据复数的几何意义，写出z1，结合复数的除法运算求出z2，即可得到复数的模.

4．（2023高三上·杭州月考）函数，的值域是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】三角函数的单调性

【解析】【解答】因为函数y＝cos2x+sin2x＝cos2xcos2xcos2x．因为x∈R，所以cos2x∈[﹣1，1]，

所以cos2x∈[0，1]．

故答案为：A．

【分析】根据余弦的二倍角公式，结合余弦函数的值域，即可得到整个函数的值域.

5．（2023高三上·杭州月考）函数的大致图象为（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知识点】奇偶性与单调性的综合

【解析】【解答】由，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，

又，所以函数的图象应对应B，

故答案为：B．

【分析】根据奇偶性的定义确定函数为奇函数，结合特殊点的坐标，逐一排除即可.

6．（2023高三上·杭州月考）下列命题中正确的是（）

A．函数的图象恒过定点

B．“，”是“”的充分必要条件

C．命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”

D．若，则

【答案】D

【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断

【解析】【解答】对A,因为恒过（0,1），故函数的图象恒过定点，A不符合题意；

对B,的充分必要条件是，B不符合题意；

对C,命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”，C不符合题意；

对D,令，则，易得函数为单调递减函数，故，则D符合题意

故答案为：D

【分析】根据指数函数恒过定点，结合充分必要条件的判定及逆否命题逐一判断即可.

7．（2023高三上·杭州月考）已知内角的对边分别为，若，，则的形状是（）

A．等腰三角形B．等边三角形

C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【知识点】三角形中的几何计算

【解析】【解答】由题

当，三角形为直角三角形

当，则，又，则三角形为等腰三角形

故答案为：D

【分析】根据余弦定理结合的取值，即可确定三角形的形状.

8．（2023·宁德模拟）函数()，满足，且对任意，都有，则以下结论正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质

【解析】【解答】可知，函数的对称中心为.

对任意，都有，知对称轴是，

可知，故b=0，.

所以.

故答案为：A.

【分析】根据题目中所给的条件的特点，知函数f（x）关于某点对称，且关于某直线的对称，结合三角函数的图象与性质进行分析、判断各个选项的正误即可得到答案．考查了三角函数的图象与性质的应用问题.

9．（2023高三上·杭州月考）若不等式组(为常数)，表示的平面区域的面积8，则的最小值为（）

A．B．C．D．2

【答案】B

【知识点】简单线性规划

【解析】【解答】满足约束条件的可行域如下图所示，

若可行域的面积为8，则a＝2

由图可得当x，y时，

x2+y取最小值，

故答案为：B．

【分析】作出可行域，数形结合，根据平面区域的面积，即可求出相应的最小值.

10．（2023高三上·杭州月考）已知函数在区间上满足，且.设，，则当时，下列不等式成立的是（）

A．B．C．D．不能确定

【答案】A

【知识点】利用导数研究函数的单调性

【解析】【解答】令F（x）＝exf（x），∴F′（x）＝ex[f（x）+f′（x）]；

又∵f（x）+f′（x）＜0，∴F′（x）＜0，

∴F（x）是（0，+∞）上的减函数；

令0＜x＜1，则x，由已知F（x）＞F（），可得f（x）f（），

下面证明：，即证明x+2lnx＞0，

令g（x）x+2lnx，则：

g′（x）0，g（x）在（0，1）↓，g（x）＞g（1），

即，

∴xf（x）f（），即

故答案为：A

【分析】构造函数，求导数，利用导数确定函数的单调性，即可判断相应的不等式.

二、填空题

11．（2023高三上·杭州月考）在中，，，，，则的最小值为，又若，则.

【答案】；

【知识点】平面向量的数量积运算

【解析】【解答】，

所以当时，取最小值；

因为，所以，解得，

故答案为：；.

【分析】根据平面向量的线性运算，结合向量模的最值，解方程即可求出m的值.

12．（2023高三上·杭州月考）已知函数，则函数的增区间是，最小值是

【答案】；4

【知识点】函数的单调性及单调区间

【解析】【解答】易知，则函数的增区间是，

又，则函数的最小值为4

故答案为；4

【分析】对x的取值分类讨论，去掉绝对值，写成分段函数的形式，即可得到函数的单调区间和最小值.

13．（2023高三上·杭州月考）若锐角满足，则；函数的单调增区间为.

【答案】；

【知识点】正弦函数的性质

【解析】【解答】锐角φ满足sinφ﹣cosφ，

∴1﹣2sinφcosφ，

∴sin2φ；

又sinφ，

∴2φ，

解得φ；

∴函数f（x）＝sin2（x+φ）

cos（2x），

∴2kπ≤2x2kπ+π，k∈Z；

解得kπx≤kπ，k∈Z；

∴f（x）的单调增区间为[kπ，kπ]（k∈Z）．

故答案为；

【分析】两边平方，结合同角三角函数的平方关系，即可得到相应的角；根据余弦的二倍角公式，写成函数的表达式，结合余弦函数的单调性，即可得到相应的单调区间.

14．（2023高三上·杭州月考）已知函数，若，则；有个零点

【答案】1或或；4

【知识点】函数零点存在定理

【解析】【解答】当均大于0，则或或或，此时1或或

当均小于0，不合题意舍去.

又令，则，故或解得

则与交点个数分别为1个，0个，3个，综上有4个零点

故答案为1或或；4

【分析】根据函数的取值，得到a和b的关系，采用换元法，解不等式组，即可求出零点个数.

15．（2023高三上·杭州月考）已知函数，则不等式的解集是.

【答案】

【知识点】奇偶性与单调性的综合

【解析】【解答】，故为奇函数，且单调递减，则令，故为奇函数且单调递减，故等价于，即，即，解得

故答案为

【分析】根据奇函数的定义，求出f（-x）=-f（x），确定函数为奇函数，结合函数的单调性，解不等式，即可求出不等式的解集.

16．（2023高三上·杭州月考）已知都为正实数，且，则的最小值为．

【答案】9

【知识点】基本不等式

【解析】【解答】则且，则=，当且仅当等号成立

故答案为9

【分析】采用常数代换的方法，结合基本不等式，即可求出最小值.

17．（2023高三上·杭州月考）已知是平面上两个定点，平面上的动点满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为．

【答案】

【知识点】平面向量数乘的运算

【解析】【解答】不妨设，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则，

设

故动点的轨迹为圆，由恒成立，则

故答案为

【分析】建立平面直角坐标系，设出点的坐标，表示相应的式子，求出最小值，结合不等式恒成立即可得到k的最小值.

三、解答题

18．（2023高三上·杭州月考）已知函数

（1）求的值；

（2）当时，求函数的值域.

【答案】（1）解：

（2）解：由（1）知，，

当时由，得的值域为

【知识点】正弦函数的性质

【解析】【分析】（1）根据辅助角公式，得到函数的表达式，代入即可求出相应的三角函数值；

（2）根据正弦函数的单调性，求出函数的值域即可.

19．（2023高三上·杭州月考）已知两个非零向量，且，

（1）求的夹角；

（2）若，求的最小值.

【答案】（1）解：由可得

，即

又

则

所以

故

（2）解：若

则的最小值为，当时，即时，取得最小值

【知识点】平面向量的数量积运算

【解析】【分析】（1）根据两向量垂直，数量积为0，结合平面向量的数量积运算，即可求出