河南省平顶山-九年级(上)第一次月考数学试卷-

九年级（上）第一次月考数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）方程的x（x-2）=x根是（）A.2 B.3 C.3或0 D.没有实数根某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A.3000(1+x)2=5000 B.3000x2=5000

C.3000(1+x%)2=5000 D.3000(1+x)+3000(1+x)2=5000高为2cm的等边三角形的面积是（）A.43cm2 B.23cm2 C.433cm2 D.3cm2如图，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551m2，则修建的路宽应为（）A.1

m

B.1.5

m

C.2

m

D.2.5

m

已知关于x的方程x2-kx-3=0的一个根为3，则k的值为（）A.1 B.−1 C.2 D.−2如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A.20

B.12

C.14

D.13

顺次连接一个四边形四边中点得到的图形是菱形，则这个四边形满足（）A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.对角线相等三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2-6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（）A.11 B.13 C.11或13 D.不能确定若x1，x2是方程x2+x-1=0的两根，则（x1-2）•（x2-2）的值为（）A.2 B.4 C.5 D.−2如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，连接BF、DE交于点M，延长ED到H使DH=BM，连接AM，AH，则以下四个结论：

①△BDF≌△DCE；②∠BMD=120°；③△AMH是等边三角形；④S四边形ABMD=34AM2．

其中正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）已知关于x的方程（a-1）x2-2x+1=0有实数根，则a的取值范围是______．（x2+y2）（x2-1+y2）-12=0，则x2+y2的值是______．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF的长为______．

如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4，BC=2，运动过程中点D到点O的最大距离是______．

如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）解下列方程：

（1）（x-3）2+2x（x-3）=0

（2）2x2-5x+2=0（配方法）

（3）2x2-9x+8=0

（4）（x-2）2=（2x+3）2

如图，在等边△ABC中，BC=8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．

（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；

（2）填空：

①当t为______s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形；

②当t为______s时，四边形ACFE是菱形．

西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC垂足是D，AN是∠BAC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足是E，连接DE交AC于F．

①求证：四边形ADCE为矩形；

②求证：DF∥AB，DF=12AB；

③当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形，简述你的理由．

已知关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+2k+2=0

（1）求证：方程总有实数根；

（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．

已知：如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF∥BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形．

如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．

（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；

（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．

（1）操作发现：

如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．

（2）类比探究：

如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：∵x（x-2）=x，

∴x2-3x=0，

则x（x-3）=0，

所以x=0或x-3=0，

∴x1=0，x2=3，

故选：C．

移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．2.【答案】A

【解析】【分析】

主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设教育经费的年平均增长率为x，根据“2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元”，可以分别用x表示2007以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程．

找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．

【解答】

解：依题意得2009年投入为3000（1+x）2，

∴3000（1+x）2=5000．

故选A．

3.【答案】C

【解析】解：如图：过点A作AD⊥BC于D，

∵等边三角形△ABC的高为2cm，

∴AD=2cm，

∵BD=AD÷tan60°=

∴BC=2BD=cm，

∴S△ABC=•BC•AD=．

故选：C．

根据等边三角形的性质：三线合一，利用三角函数求出BD即可解决问题．

本题主要考查等边三角形的性质，锐角三角函数．此题比较简单，注意熟练掌握等边三角形的性质是解此题的关键．4.【答案】A

【解析】解：设修建的路宽应为x米

根据等量关系列方程得：30×20-（20x+30x-x2）=551，

解得：x1=49（不合题意，舍去），x2=1．

故选：A．

要求修建的路宽，就要设修建的路宽应为x米，根据题意可知：矩形地面-所修路面积=耕地面积，依此列出等量关系解方程即可．

考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意：矩形面积在减路的面积时，20x+30x中有一个小正方形的面积是重复计算的，所以要再减去x×x面积．5.【答案】C

【解析】解：∵方程x2-kx-3=0的一个根为3，

∴将x=3代入方程得：9-3k-3=0，

解得：k=2．

故选：C．

由方程x2-kx-3=0的一个根为3，将x=3代入方程得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．6.【答案】C

【解析】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，

∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4，

∵点E为AC的中点，

∴DE=CE=AC=5，

∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．

故选：C．

根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD=BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．7.【答案】D

【解析】解：当四边形对角线相等时，顺次连接这个四边形四边中点得到的图形是菱形，

∵E，F，G，H分别为矩形各边的中点，

∴EH=BD，EH∥BD，FG=BD，FG∥BD，EF=AC，

∴EH=FG，EH∥FG，

∴四边形EFGH是平行四边形，

当AC=BD时，EF=EH，

∴平行四边形EFGH是菱形，

故选：D．

根据三角形的中位线定理和菱形的判定定理解答．

本题考查的是菱形的判定、矩形的性质，掌握三角形的中位线定理和矩形的性质定理是解题关键．8.【答案】B

【解析】解：（x-2）（x-4）=0

x-2=0或x-4=0

∴x1=2，x2=4．

因为三角形两边的长分别为3和6，所以第三边的长必须大于3，

故周长=3+6+4=13．

故选：B．

先用因式分解求出方程的两个根，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长，计算出三角形的周长．

本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，先求出方程的根，再根据三角形三边的关系确定第三边的长，然后求出三角形的周长．9.【答案】C

【解析】解：∵x1，x2是方程x2+x-1=0的两根，

∴x1+x2=-1，x1x2=-1，

则原式=x1x2-2x1-2x2+4

=x1x2-2（x1+x2）+4

=-1-2×（-1）+4

=-1+2+4

=5，

故选：C．

由根与系数的关系可求得（x1+x2）和x1x2的值，再把所求代数式化为两根和与两根积的式子即可求得答案．

本题主要考查根与系数的关系，把所求代数式化为两根和与两根积的形式是解题的关键．10.【答案】D

【解析】解：在菱形ABCD中，

∵AB=BD，

∴AB=BD=AD，

∴△ABD是等边三角形，

∴根据菱形的性质可得∠BDF=∠C=60°，

∵BE=CF，

∴BC-BE=CD-CF，

即CE=DF，

在△BDF和△DCE中，，

∴△BDF≌△DCE（SAS），故①小题正确；

∴∠DBF=∠EDC，

∵∠DMF=∠DBF+∠BDE=∠EDC+∠BDE=∠BDC=60°，

∴∠BMD=180°-∠DMF=180°-60°=120°，故②小题正确；

∵∠DEB=∠EDC+∠C=∠EDC+60°，∠ABM=∠ABD+∠DBF=∠DBF+60°，

∴∠DEB=∠ABM，

又∵AD∥BC，

∴∠ADH=∠DEB，

∴∠ADH=∠ABM，

在△ABM和△ADH中，，

∴△ABM≌△ADH（SAS），

∴AH=AM，∠BAM=∠DAH，

∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=∠MAD+∠BAM=∠BAD=60°，

∴△AMH是等边三角形，故③小题正确；

∵△ABM≌△ADH，

∴△AMH的面积等于四边形ABMD的面积，

又∵△AMH的面积=AM•AM=AM2，

∴S四边形ABMD=AM2，故④小题正确，

综上所述，正确的是①②③④共4个．

故选：D．

根据菱形的四条边都相等，先判定△ABD是等边三角形，再根据菱形的性质可得∠BDF=∠C=60°，再求出DF=CE，然后利用“边角边”即可证明△BDF≌△DCE，从而判定①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF=∠EDC，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可以求出∠DMF=∠BDC=60°，再根据平角等于180°即可求出∠BMD=120°，从而判定②正确；根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及平行线的性质求出∠ABM=∠ADH，再利用“边角边”证明△ABM和△ADH全等，根据全等三角形对应边相等可得AH=AM，对应角相等可得∠BAM=∠DAH，然后求出∠MAH=∠BAD=60°，从而判定出△AMH是等边三角形，判定出③正确；根据全等三角形的面积相等可得△AMH的面积等于四边形ABMD的面积，然后判定出④正确．

本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，题目较为复杂，特别是图形的识别有难度，从图形中准确确定出全等三角形并找出全等的条件是解题的关键．11.【答案】a≤2

【解析】解：关于x的方程（a-1）x2-2x+1=0有实数根，

分情况讨论：

当方程是一元二次方程时，a-1≠0，且△≥0，

由a-1≠0，得a≠1；

由△≥0，即4-4（a-1）≥0，得a≤2，

∴a的取值范围为a≤2且a≠1．

当a=1时为一元一次方程，方程有一根．

综上所知a的取值范围为a≤2．

故答案为：a≤2．

分情况讨论，关于x的方程（a-1）x2-2x+1=0有实数根，当方程为一元二次方程时，△≥0，且a-1≠0；当a=1时为一元一次方程，可知方程有一根．

本题考查了方程根的判别方法；注意考虑特殊情况：当二次项系数等于0时为一元一次方程．12.【答案】4

【解析】【分析】

在解此题时可把x2+y2当成一个整体，用因式分解法求得方程的根，然后根据平方的非负性即可确定．此题主要是把（x2+y2）当成一个整体来进行求解．

​【解答】

解：原式可变为（x2+y2）2-（x2+y2）-12=0

因式分解得（x2+y2-4）（x2+y2+3）=0

∴（x2+y2）=4或-3．-3＜0不合题意舍去．

∴x2+y2=4．

13.【答案】1

【解析】解：∵DE为△ABC的中位线，∠AFB=90°，

∴DE=BC，DF=AB，

∵AB=6，BC=8，

∴DE=×8=4，DF=×6=3，

∴EF=DE-DF=4-3=1．

故答案为：1．

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF的长度，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DE的长，然后相减即可得到EF的长．

本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记定理与性质是解题的关键．14.【答案】2+22

【解析】解：如图：取线段AB的中点E，连接OE，DE，OD

∵AB=4，点E是AB的中点，∠AOB=90°

∴AE=BE=2=OE

∵四边形ABCD是矩形

∴AD=BC=2，∠DAB=90°

∴DE==2

∵OD≤OE+DE

∴当点D，点E，点O共线时，OD的长度最大．

∴点D到点O的最大距离=OE+DE=2+2

故答案为：2+2

取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．

本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．15.【答案】32或3

【解析】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．

连结AC，

在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，

∴AC==5，

∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，

∴∠AB′E=∠B=90°，

当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，

∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，

∴EB=EB′，AB=AB′=3，

∴CB′=5-3=2，

设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，

在Rt△CEB′中，

∵EB′2+CB′2=CE2，

∴x2+22=（4-x）2，解得x=，

∴BE=；

②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．

此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．

综上所述，BE的长为或3．

故答案为：或3．

当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．

连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．

②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．

本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．16.【答案】解：（1）（x-3）（x-3+2x）=0，

x-3=0或x-3+2x=0，

所以x1=3，x2=1；

（2）x2-52x=-1，

x2-52x+2516=-1+2516，

（x-54）2=916，

x-54=±34，

所以x1=12，x2=2；

（3）△=（-9）2-4×2×8=145，

x=9±1452×2，

所以x1=9+1454，x2=9−1454；

（4）x-2=±（2x+3），

所以x1=-5，x2=-13．

【解析】

（1）利用因式分解法解方程；

（2）利用配方法得到（x-）2=，然后利用直接开平方法解方程；

（3）利用求根公式法解方程；

（4）两边开方得到x-2=±（2x+3），然后解两个一次方程即可．

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法和配方法解一元二次方程．17.【答案】83或8

8

【解析】（1）证明：∵AG∥BC，

∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，

∵D为AC的中点，

∴AD=CD，

∵在△ADE和△CDF中，，

∴△ADE≌△CDF（AAS）；

（2）解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，

则CF=BC-BF=6-2t（cm），

∵AG∥BC，

∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，

即t=8-2t，

解得：t=；

当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，

则CF=BF-BC=2t-8（cm），

∵AG∥BC，

∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，

即t=2t-8，

解得：t=8；

综上可得：当t=或8s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．

②若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=8，

则此时的时间t=8÷1=8（s）；

故答案是：或8；8．

（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；

（2）①分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案；

②若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可．

此题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．18.【答案】解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．

根据题意，得[（3-2）-x]（200+40x0.1）-24=200．

方程可化为：50x2-25x+3=0，

解这个方程，得x1=0.2（舍去），x2=0.3．

答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元．

【解析】

设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．那么每千克的利润为：（3-2-x）元，由于这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价x元，则每天售出数量为：（200+）千克．本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量-固定成本=200．

考查学生分析、解决实际问题能力，又能较好地考查学生“用数学”的意识．19.【答案】证明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC垂足是D，

∴AD平分∠BAC，∠B=∠5，

∴∠1=∠2，

∵AE是△ABC的外角平分线，

∴∠3=∠4，

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

∴∠2+∠3=90°，

即∠DAE=90°，

又∵AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

又∵CE⊥AE，

∴∠AEC=90°，

∴四边形ADCE是矩形．

（2）∵四边形ADCE是矩形，

∴AF=CF=12AC，

∵AB=AC，AD平分∠BAC，

∴BD=CD=12BC，

∴DF是△ABC的中位线，

即DF∥AB，DF=12AB．

（3）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE为正方形．

∵在Rt△ABC中，AD平分∠BAC

∴∠5=∠2=∠3=45°，

∴AD=CD，

又∵四边形ADCE是矩形，

∴矩形ADCE为正方形．

【解析】

（1）先根据AB=AC，AD⊥BC垂足是D，得AD平分∠BAC，然后根据AE是△ABC的外角平分线，可求出AN∥BC，故∠DAE=∠ADC=∠AEC=90°，所以四边形ADCE为矩形；

（2）根据四边形ADCE是矩形，可知F是AC的中点，由AB=AC，AD平分∠BAC可知D是BC的中点，故DF是△ABC的中位线，即DF∥AB，DF=；

（3）根据矩形的性质可知当△ABC是等腰直角三角形时，则∠5=∠2=45°，利用等腰三角形的性质定理可知对应边AD=CD．再运用邻边相等的矩形是正方形．问题得证．

此题考查的是等腰三角形、矩形、正方形的判定与性质和三角形外角平分线的性质，具有一定的综合性，需要灵活应用．20.【答案】（1）证明：∵在方程x2-（k+3）x+2k+2=0中，△=（k+3）2-4×1×（2k+2）=k2-2k+1=（k-1）2≥0，

∴方程总有两个实数根．

（2）解：∵x2-（k+3）x+2k+2=（x-2）（x-k-1）=0，

∴x1=2，x2=k+1．

∵方程有一根小于1，

∴k+1＜1，

解得：k＜0，

∴k的取值范围为k＜0．

【解析】

（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△=（k-1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；

（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1=-2、x2=-k-1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．

本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于1，找出关于k的一元一次不等式．21.【答案】证明：∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠EAD，

在△ADE和△ADC中，AC=AE∠CAD=∠EADAD=AD，

∴△ADE≌△ADC（SAS）；

∴DE=DC，∠ADE=∠ADC，

同理△AFE≌△AFC，

∴EF=CF，

∵EF∥BC

∴∠EFD=∠ADC，

∴∠EFD=∠ADE，

∴DE=EF，

∴DE=EF=CF=DC，

∴四边形CDEF是菱形．

【解析】

直接由SAS得出△ADE≌△ADC，进而得出DE=DC，∠ADE=∠ADC．再由SAS证明△AFE≌△AFC，得出EF=CF．由EF∥BC得出∠EFD=∠ADC，从而∠EFD=∠ADE，根据等角对等边得出DE=EF，从而DE=EF=CF=DC，由菱形的判定可知四边形CDEF是菱形．

本题主要考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定、平行线的性质，关键是掌握菱形的判定定理：四条边都相等的四边形是菱形．22.【答案】解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面