函数、极限与连续教案

PAGEPAGE1高等数学教学教案第1章函数、极限与连续教学基本指标教学课题第1章第1节函数课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点反函数、复合函数教学难点反三角函数参考教材同济七版《高等数学》作业布置课后习题大纲要求1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4.掌握基本初等函数的性质及其图形。教学基本内容一．预备知识1.集合（1）集合的定义：一般说来，由一些确定的不同的研究对象构成的整体称为集合.构成集合的对象，称为集合的元素.（2）集合的表示.（3）集合的元素的性质：确定性、互异性、无序性.（4）高等数学中常用数集及其记法.2．区间与邻域（1）有限区间与无限区间及其记法.（2）邻域：集合表示开区间，称之为点的邻域，记作称为邻域中心，称为邻域半径.（3）去心邻域：集合，表示，称之为点的去心邻域，记作3．映射（1）定义：设是两个非空集合,如果存在一个法则,使得对中每个元素按照法则,在中有唯一确定的元素与之对应,则称为从到的映射,记作,其中称为元素(在映射下)的像,并记作,即,而元素称为元素(在映射下)的一个原像；集合称为映射的定义域,记作，即.中所有元素的像所组成的集合称为映射的值域,记为,或,即.（2）满射、单射和双射设是从集合到集合的映射,若,即中任一元素都是中某元素的像,则称为到上的满射；若对中任意两个不同元素,它们的像,则称为到的单射；若映射既是单射,又是满射,则称为双射(或一一映射).（3）逆映射与复合映射设是到的单射,则由定义,对每个,有唯一的,适合,于是,我们可定义一个从到的新映射,即,对每个,规定,其中满足.这个映射称为的逆映射,记作,其定义域,值域.设有两个映射，其中.则由映射和可以定出一个从到Z的对应法则,它将每个映射成.显然,这个对应法则确定了一个从到Z的映射,这个映射称为映射和构成的复合映射,记作,即,.二．函数1.函数定义（1）设是一个给定的非空数集.若对任意的，按照一定法则，总有唯一确定的数值与之对应，则称是的函数，记为.数集称为函数的定义域，为自变量，为因变量.函数值的全体称为函数的值域.（2）函数的两要素：定义域与对应法则是确定函数的两要素，两要素可以作为判断两个函数是否相同的标准.（3）两函数相等2.常见的分段函数在自变量的不同变化范围内，对应法则用不同数学式子来表示的函数称为分段函数.(1)绝对值函数(2)符号函数(3)取整函数(4)狄利克雷函数3.函数的性质及四则运算（1）函数的有界性：有上界、有下界、有界定理：函数在其定义域上有界的充分必要条件是它在定义域上既有上界又有下界.（2）函数的单调性严格单调增加和严格单调减少的函数统称为严格单调函数.一般情况下，若不单独说明，本书所指单调增加(减少)即为严格单调增加(减少).（3）函数的奇偶性（4）函数的周期性（5）函数的四则运算4.反函数（1）定义：设函数(是定义域，是值域)．若对于任意一个，中都有唯一确定的与之对应，这时是以为定义域的的函数，称它为的反函数，记作．习惯上往往用字母表示自变量，字母表示函数．为了与习惯一致，将反函数的变量对调字母，改写成．今后凡不特别说明，函数的反函数均记为形式．在同一直角坐标系下，与反函数的图形关于直线对称．（2）定理：单调函数必有反函数，且单调增加(减少)的函数的反函数也是单调增加(减少)的．（3）介绍反三角函数.5.复合函数（1）定义:设有函数链，，且，则称为由式(1.1)，(1.2)确定的复合函数,称为中间变量.这个新函数称做由和复合而成的复合函数，称为内层函数，称为外层函数，称为中间变量．（2）复合函数不仅可以由两个函数经过复合而成，也可以由多个函数相继进行复合而成．6.初等函数（1）基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数．（2）初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算所构成的并能用一个式子表示的函数，称为初等函数．（3）双曲函数与反双曲函数三.例题讲解例1.确定函数的定义域.例2.某河道的一个断面图形，其深度与一岸边点到测量点的距离之间的对应关系如图1.3中曲线所示.图1.3这里深度与测距的函数关系是用图形表示的，定义域.例3.确定函数的定义域并作出图形.例4.求函数.例5.某城市制定每户用水收费（含用水费和污水处理费）标准（参见下表）：用水量不超出10立方的部分超出10立方的部分收费（元/立方）1.302.00污水处理费（元/立方）0.300.80那么每户用水量（立方）和应交水费（元）之间的函数关系是怎样的呢？例6.某工厂生产某型号车床，年产量为台，分若干批进行生产，每批生产准备费为元.设产品均匀投入市场，且上一批用完后立即生产下一批，即平均库存为批量的一半.设每年每台库存费为元.显然生产批量大则库存费高；生产批量少则批量增多，因而生产准备费高.为了选择最优批量，试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系.授课序号02教学基本指标教学课题第1章第2节极限的概念与性质课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点数列极限与函数极限的概念与性质教学难点数列极限与函数极限的概念参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。教学基本内容一．数列极限的概念1.数列定义2.数列极限的定义（1）对于数列，当无限增大()时，若无限趋近于一个确定的常数，则称为趋于无穷大时数列的极限（或称数列收敛于），记作或；此时，也称数列的极限存在；否则，称数列的极限不存在（或称数列是发散的）.（2）(定义)设为一数列，是常数，如果对，，使得对于满足的一切，总有则称为数列的极限（或称数列收敛于），记作或.（3）数列极限的几何意义：任意给定正数，当时，所有的点都落在内，只有有限个（至多只有个）落在其外.二．数列极限的性质1.(唯一性)收敛数列的极限是唯一的.2.(有界性)收敛数列是有界的.注(1)定理1.3中的显然不是唯一的，重要的是它的存在性.(2)有界性是数列收敛的必要条件，例如，数列有界但不收敛.(3)无界数列必定发散.3.（保序性）若使得当时，有注：（1）若，使得当时，（或），则（或）.（2）（保号性）若（或），则，使得当时，（或）.三．子列1.定义：在数列中任意抽取无限多项，保持这些项在原数列中的先后次序不变，这样得到的新数列称为数列的子数列，简称子列.2.定理：（收敛数列与子列的关系）若数列收敛于，则其任意子数列也收敛于.注：该定理的逆否命题常用来证明数列发散，常见情形如下：(1)若数列有两个子数列分别收敛于不同的极限值，则数列发散；(2)若数列有一个发散的子数列，则数列发散.四．函数极限的概念1.自变量趋于无穷大时函数的极限（1）定义:(描述性定义)设函数，在时有定义，当的绝对值无限增大（）时，若函数的值无限趋近于一个确定的常数，则称常数为时函数的极限．记作或．此时也称极限存在，否则称极限不存在．（2）定义:(定义)设函数在大于某一正数时有定义，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它有多小），总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，则称常数为时函数的极限．记作或．（3）极限的几何意义：任意给定正数，作直线与，总能找到一个，当时，函数的图像全部落在这两条直线之间.（4）定理：极限存在的充分必要条件是与都存在且相等，即.2.自变量趋向有限值时函数的极限（1）定义：(描述性定义)设函数在点的某一去心邻域有定义，当无限地趋近于(但)时，若函数无限地趋近于一个确定的常数，则称为当时函数的极限．记作或．这时也称极限存在，否则称极限不存在．（2）定义：(定义)设函数在点的某一去心邻域有定义，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它有多小），总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，则称常数为当时函数的极限．记作：或．（3）极限的几何意义：任意给定正数，作直线与，总能找到点的一个邻域，使得当时，函数的图像全部落在这两条直线之间.（4）定义：设函数在点的左邻域有定义，如果自变量从小于的一侧趋近于时，函数无限趋近于一个确定的常数，则称为当时函数的左极限，记作：或或.（5）定义：(定义)设函数在点的左邻域有定义，如果存在常数.对于任意给定的正数（不论它有多小），总存在正数，使得当满足不等式时，有，则．（6）定义：设函数在点的右邻域有定义，如果自变量从大于的一侧趋近于时，函数无限趋近于一个确定的常数，则称为当时函数的右极限，记作：或或.(7)定义：(定义)设函数在点的右邻域有定义，如果存在常数.对于任意给定的正数（不论它有多小），总存在正数，使得当满足不等式时，有，则．（8）定理：极限存在且等于的充分必要条件是左极限与右极限都存在且等于.即.五．函数极限的性质（以为例说明）1.(唯一性)若极限存在,则极限是唯一的.2．(局部有界性)若存在,则在的某去心邻域内有界.3.(局部保序性)设与都存在,且在某去心邻域内有,则.4．(局部保号性)若,则对一切，有或5．定理：(海涅定理)设函数在点的某一去心邻域有定义，则的充要条件是对任何收敛于的数列，都有.注海涅定理的否命题常用于证明函数在点的极限不存在，常见情形如下：(1)若存在以为极限的两个数列与，使得与都存在，但，则不存在；(2)若存在以为极限的数列，使得不存在，则不存在.六．例题讲解例1.已知，证明数列的极限为1.例2.已知，证明例3.设证明等比数列的极限是0.例4.考察极限与是否存在？例5.考察极限是否存在？例6.考察下列函数当时，极限是否存在？(1)(2)例7.讨论当时，函数的变化趋势.授课序号03教学基本指标教学课题第1章第3节极限的运算法则课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点四则运算法则、复合函数的极限、夹逼准则、两个重要极限教学难点复合函数的极限、夹逼准则参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求1.掌握极限的性质及四则运算法则。2.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。教学基本内容一．极限的四则运算法则定理：如果与都存在，且，则（1）存在，且有（2）存在，且有（3）若，则存在，且有推论设存在，且，则（1）若是常数，则存在，且有（2）若为正整数，则存在，且有二．复合函数的极限定理：设，，且在点的某去心邻域内，则由和复合而成的函数的极限存在，且三．极限存在准则1.定理：（数列极限的夹逼准则）如果数列及满足下列条件：(1)；(2)则数列的极限存在，且2.定理：（函数极限的夹逼准则）设函数在的某去心邻域（或）内有定义，且满足下列条件：(1)当（或）时，有成立；(2)则存在，且3.定理：(单调有界原理)单调有界数列必有极限.四．两个重要极限1.重要极限I2.重要极限II五．例题讲解例1．求例2．求例3．求.例4.求例5.求例6.求极限.例7.求例8.设(1)证明存在；(2)求例9.求例10.求（为非零常数）.例11.求例12.求极限例13.求极限例14.(信息传播规律)信息传播是现实生活中普遍存在的现象，日新月异发展的信息媒介给信息传播提供了温床，使得信息给人类生活及认知带来了更多的影响.在传播学中有这样一个规律：在一定的状况下，信息的传播可以用下面的函数关系来表示：，其中表示时刻人群中知道该信息的人数比例，、均为正数.通过，我们知道时刻人群中知道此信息的人数比例为，这就从数学理论上解释了信息传播的威力.例如，在“SARS病毒”时期人们抢购板蓝根药物、白醋、口罩等，甲流感病毒袭来时人们“抢购大蒜”的疯潮，日本发生核辐射泄漏后的惊动，在日本掀起了一场“抢盐”的疯狂行为.很显然信息传播会呈现出这样一个规律：随着时间的慢慢推移，最终所有的人都将会知道这个信息.授课序号04教学基本指标教学课题第1章第4节无穷小与无穷大课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点无穷小与无穷大的定义，无穷小阶的比较教学难点无穷小阶的比较参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。教学基本内容一．无穷小1.定义：如果，则称函数为当时的无穷小.在定义中，可将成以及可定义不同变化过程中的无穷小.注(1)一个变量是否为无穷小，除了与变量本身有关外，还与自变量的变化趋势有关．(2)无穷小不是绝对值很小的常数，而是在自变量的某种变化趋势下，函数的绝对值趋近于0的变量.特别地，常数0可以看成任何一个变化过程中的无穷小.2.定理：的充分必要条件是，其中是的无穷小，即.3.无穷小的性质（1）有限个无穷小的代数和是无穷小；（2）有限个无穷小的乘积是无穷小；（3）有界函数与无穷小的乘积是无穷小；（4）常数与无穷小的乘积是无穷小．二．无穷大1.定义：当时，如果函数的绝对值无限增大，则称当时为无穷大，记作.在定义中，将换成以及可定义不同变化过程中的无穷大.注(1)无穷大是变量，它不是很大的数，不要将无穷大与很大的数(如)混淆；(2)无穷大是没有极限的变量，但无极限的变量不一定是无穷大.(3)无穷大一定无界，但无界函数不一定是无穷大.(4)无穷大分为正无穷大与负无穷大.2.无穷小量与无穷大量的关系定理：设函数在点的某一去心邻域有定义，当时，(1)若是无穷大，则是无穷小；(2)若是无穷小，且，则是无穷大.三．无穷小阶的比较1.定义：设是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且，（1）如果则称是比高阶的无穷小，记作；；（2）如果则称是比低阶的无穷小；（3）如果，则称与是同阶的无穷小；（4）如果，则称与是等价的无穷小，记作；等价无穷小具有自反性和传递性；（5）如果，则称是关于的阶的无穷小.注并非任何两个无穷小都能进行比较.2.等价无穷小代换定理：若是同一自变量变化过程中的无穷小，且，，存在，则.注(1)该定理说明在求极限的过程中，可以把积或商中的无穷小用与之等价的无穷小替换，从而达到简化运算的目的.但须注意，在加减运算中一般不能使用等价无穷小代换.(2)当时,常用的等价无穷小有：；；；（，且为常数）.定理1.20与是等价无穷小的充要条件为四．例题讲解例1.求极限例2.求例3.求极限例4.求极限例5.设时与为等价无穷小，求的值.授课序号05教学基本指标教学课题第1章第5节函数的连续性课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点函数的连续性、函数的间断点教学难点函数的间断点的判别参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求1.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。2.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学基本内容一．函数连续的概念1.定义：设变量从它的一个初值变到终值，终值与初值的差称为变量的增量，记为，即.2.定义：（1）设函数在点的某邻域内有定义，如果当自变量有增量时，函数相应的有增量若，则称函数在点处连续，为的连续点.（2）设函数在点的某邻域内有定义，若，则称在点处连续.（3）设函数在点的某邻域有定义，如果对于任意正数，总存在正数，使得当满足不等式时，有，则称函数在点处连续.3.定义：如果函数在开区间内每一点都连续，则称在内连续；如果函数在开区间内每一点都连续，且在左端点处右连续，在右端点处左连续，则称在闭区间上连续，并称是的连续区间.注(1)在左端点右连续是指满足(2)在右端点左连续是指满足.4.定理：函数在点处连续的充分必要条件是函数在点处既左连续又右连续.二．函数的间断点1.定义：如果函数在点处不连续，则称函数在点处间断，点称为的间断点.2.在点的左右极限和都存在的间断点为第一类间断点.它包含两种类型：可去间断点与跳跃间断点.3.称和中至少有一个不存在的间断点为第二类间断点.三．连续函数的性质1.定理：连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数.2.定理：设函数在区间上是单调的连续函数，则它的反函数是区间上的单调连续函数.3.定理：设函数在点连续，函数在点连续，则复合函数在点连续.4.基本初等函数在其定义域内连续.5.由初等函数的定义及连续函数的运算性质知，初等函数在其定义区间内都是连续的.四．闭区间上连续函数的性质1.定理：（最大值与最小值定理）如果函数在闭区间上连续，则函数在闭区间上一定有最大值与最小值.2.推论：（有界性定理）闭区间上的连续函数一定在该区间上有界.3.定理：（介值定理）如果函数在闭区间上连续，和分别为在上的最小值与最大值.则对介于与之间的任一实数（即），至少存在一点使得4.推论：（零点定理）如果函数在闭区间上连续，且与异号，则至少存在一点，使得五．例题讲解例1.证明函数在任意点处都是连续的.例2.试证函数在处连续.例3.讨论函数在点处的连续性.例4.讨论函数在点处的连续性.例5.求函数的间断点并判断其类型.例6.求.例7.证明：方程在区间内各有一个实根.例8.证明：函数在区间内至少存在一点，使授课序号06教学基本指标教学课题第1章第6节函数极限的建模应用课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点函数极限的建模应用教学难点如何根据实际问题构建数学模型参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求会根据实际问题构建数学模型教学基本内容例题讲解例1．降水量预测问题提出为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度与当年灌溉面积.现有连续10年的实测资料，如表1.8所示．表1.8年序最大积雪深度灌溉面积(公顷)115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1