数学二历年考研真题

2004年考硕数学（二）真题一.填空题（此题共6小题，每题4分，满分24分.把答案填在题中横线上.）（1）设f(x)lim(n1)x,则f(x)的中断点为x.nnx21xt（2）设函数y(x)由参数方程yt

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3t1确立,则曲线yy(x)向上凸的x取值范围3t1为____..dx（3）_____..xx21（4）设函数zz(x,y)由方程ze2x3z2y确立,则3zz______.xy（5）微分方程(yx3)dx2xdy0知足yx16的特解为_______.5210（6）设矩阵A120,矩阵B知足ABA2BAE,此中A为A的陪伴矩阵,001E是单位矩阵,则B______-.二.选择题（此题共8小题，每题4分，满分32分.每题给出的四个选项中，只有一项切合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）（7）把x0xx2x3dt摆列起来,时的无量小量cost2dt,tantdt,sint000使排在后边的是前一个的高阶无量小,则正确的摆列序次是（A）,,.（B）,,.（C）,,.（D）,,.8）设f(x)x(1x),则（A）x0是f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线yf(x)的拐点.（B）x0不是f(x)的极值点,但(0,0)是曲线yf(x)的拐点.（C）x0是f(x)的极值点,且(0,0)是曲线yf(x)的拐点.（D）x0不是f(x)的极值点,(0,0)也不是曲线yf(x)的拐点.（9）limlnn(11)2(12)2L(1n)2等于nnnn2xdx.2lnxdx.（A）ln2（B）211（C）22x)dx.2ln2(1x)dxln(1（D）11（10）设函数f(x)连续,且f(0)0,则存在0,使得（A）f(x)在(0,)内单一增添.（B）f(x)在(,0)内单一减小.（C）对随意的x(0,)有f(x)f(0).（D）对随意的x(,0)有f(x)f(0).（11）微分方程yyx21sinx的特解形式可设为（A）yax2bxcx(AsinxBcosx).（B）yx(ax2bxcAsinxBcosx).（C）yax2bxcAsinx.（D）yax2bxcAcosx（12）设函数f(u)连续,地区D(x,y)x2y22y,则f(xy)dxdy等于D11x2（A）1dx1x2f(xy)dy.（B）222yy2dy0f(xy)dx.0（C）d2sinf(r2sincos)dr.00（D）d2sin2sincos)rdrf(r013）设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列互换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则知足AQC的可逆矩阵Q为A）C）

010100101010100011

010.（B）101.001011.（D）100.00114）设A,B为知足AB0的随意两个非零矩阵,则必有A）A的列向量组线性有关,B的行向量组线性有关.B）A的列向量组线性有关,B的列向量组线性有关.C）A的行向量组线性有关,B的行向量组线性有关.D）A的行向量组线性有关,B的列向量组线性有关.三.解答题（此题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（此题满分10分）x求极限lim12cosx1.x0x33（16）（此题满分10分）设函数f(x)在（,）上有定义,在区间[0,2]上,f(x)x(x24),若对随意的x都知足f(x)kf(x2),此中k为常数.(Ⅰ)写出f(x)在[2,0]上的表达式;(Ⅱ)问k为什么值时,f(x)在x0处可导.（17）（此题满分11分）设f(x)xsintdt,(Ⅰ)证明f(x)是认为周期的周期函数;(Ⅱ)求f(x)的值域.2x（18）（此题满分12分）曲线y

exe2

x与直线x0,xt(t0)及y0围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体,其体积为V(t),侧面积为S(t),在xt处的底面积为F(t).(Ⅰ)求S(t)的值;(Ⅱ)计算极限limS(t).V(t)tF(t)（19）（此题满分12分）设eabe2,证明ln2bln2a42(ba).e（20）（此题满分11分）某种飞机在机场下降时,为了减小滑行距离,在触地的瞬时,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机快速减速并停下来.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h.经测试,减速伞翻开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比率系数为k6.0106).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注kg表示千克,km/h表示千米/小时.（21）（此题满分10分）设zf(x2y2,exy),此中f拥有连续二阶偏导数,求zz2z,,.xyxy（22）（此题满分9分）设有齐次线性方程组(1a)x1x2x3x40,2x1(2a)x22x32x40,3x13x2(3a)x33x40,4x14x24x3(4a)x40,试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.（23）（此题满分9分）123设矩阵143的特点方程有一个二重根,求a的值,并议论A能否可相像对角化.1a52003年考研数学（二）真题一、填空题（此题共6小题，每题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）1（1）若x0时，(1ax2)41与xsinx是等价无量小，则a=.（2）设函数y=f(x)由方程xy2lnxy4所确立，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是.（3）y2x的麦克劳林公式中xn项的系数是__________.（4）设曲线的极坐标方程为ea(a0)，则该曲线上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.111（5）设为3维列向量，T是T的转置.若T=.

111，则111（6）设三阶方阵A,B知足A2BABE，此中E为三阶单位矩阵，若101A020，则B________.201二、选择题（此题共6小题，每题4分，满分24分.每题给出的四个选项中，只有一项切合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman0,limbn1,limcn,则必有nnn(A)anbn对随意n建立.(B)bncn对随意n建立.(C)极限limancn不存在.(D)极限limbncn不存在.[]nn3n（2）设ann1xn11xndx,则极限limnan等于20n33(A)(1)21.(B)(1121.ee)33(C)(1e1)21.(D)(1e)21.[]（3）已知yx是微分方程yy(x)的解，则(x)的表达式为lnxxyyy2y2（A）2.(B)x2.xx2x2[](C)(D)y2.y2.（4）设函数f(x)在(,)内连续，其导函数的图形如下图，则f(x)有(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.[]yOx（5）设I14tanx4xdx,则dx,I2tanx0x0(A)I1I21.(B)1I1I2.(C)I2I11.(D)1I2I1.[]（6）设向量组I：1,2,,r可由向量组II：1,2,,s线性表示，则(A)当rs时，向量组II必线性有关.(B)当rs时，向量组II必线性有关.(C)当rs时，向量组I必线性有关.(D)当rs时，向量组I必线性有关.[]ln(1ax3)x0,x,f(x)arcsinxx0,三、（此题满分10分）设函数6,eaxx2ax1x0,,xsin

x4问a为什么值时，f(x)在x=0处连续；a为什么值时，x=0是f(x)的可去中断点？、（此题满分9分）x12t2,d2y设函数y=y(x)由参数方程12lnteu(t1)所确立，求.ydudx2x91u9分）计算不定积分xearctanx五、（此题满分(1x2)3dx.2六、（此题满分12分）设函数y=y(x)在(,)内拥有二阶导数，且y0,xx(y)是y=y(x)的反函数.(1)试将x=x(y)所知足的微分方程d2x(ysinx)(dx)30变换为y=y(x)知足的微分方dy2dy程；3(2)求变换后的微分方程知足初始条件y(0)0,y(0)的解.2七、（此题满分12分）议论曲线y4lnxk与y4xln4x的交点个数.八、（此题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(2,1)，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为22Q，且线段PQ被x轴均分.求曲线y=f(x)的方程；(2)已知曲线y=sinx在[0,]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s.九、（此题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线x(y)(y0)绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2m.依据设计要求，当以3m3/min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以m2/min的速率平均扩大（假定注入液体前，容器内无液体）.(1)依据t时刻液面的面积，写出t与(y)之间的关系式；(2)求曲线x(y)的方程.(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)十、（此题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间若极限limf(2xa)存在，证明：xaxa(1)在(a,b)内f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点，使b2a22bf()f(x)dxa(3)在(a,b)内