2021年黑龙江省伊春市宜春四一四学校高三数学理下学期期末试卷含解析

2021年黑龙江省伊春市宜春四一四学校高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，，且，则tanα=（）A．2 B． C．﹣2 D．参考答案：A【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理、同角三角函数基本关系式即可得出．【解答】解：∵，∴sinα=2cosα，cosα≠0．则tanα=2．故选：A．2.已知集合A={0，1，2}，B={x|x（x﹣2）＜0}，则A∩B（）A．{0，1，2} B．{1，2} C．{0，1} D．{1}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：B={x|x（x﹣2）＜0}=（0，2），∵A={0，1，2}，∴A∩B={1}，故选：D．3.设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A. B. C. D.参考答案：B由于，，，所以三数，，的大小关系是.试题立意：本小题考查指数运算和对数运算，比较大小等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力.4.以下四个命题，正确的是（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程=0.2x+12中，当变量x每增加一个单位时，变量y一定增加0.2单位；④对于两分类变量X与Y，求出其统计量K2，K2越小，我们认为“X与Y有关系”的把握程度越小．A．①④ B．②③ C．①③ D．②④参考答案：D【考点】两个变量的线性相关；线性回归方程．【分析】①抽样是间隔相同，故①应是系统抽样；②根据相关系数的公式可判断；③由回归方程的定义可判断；④k越小，“X与Y有关系”的把握程度越小．【解答】解：根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；在回归直线方程=0.2x+12中，当变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位，故③为假命题相，若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小，故④为真命题．∴正确的是②④，故选：D．5.已知集合，且，则 （

）A． B． C． D．参考答案：D6.已知向量在向量方向上的投影为2，且，则（

）A．-2

B．-1

C.1

D．2参考答案：D7.已知直线过定点（-1，1），则“直线的斜率为0”是“直线与圆相切”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A略8.已知函数，是定义在R上的奇函数，当时，，则函数的大致图象为

（

）参考答案：D略9.复数z=i2(1+i)的虚部为（

）A．1

B．i

C．–1

D．–i参考答案：C略10.已知集合A={x|≤0}，B={0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{1，2} B．{0，1，2} C．{1} D．{1，2，3}参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣2）≤0且x≠0，解得：0＜x≤2，即A=（0，2]，∵B={0，1，2，3}，∴A∩B={1，2}，故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对任意非零实数，若的运算原理如右图程序框图所示，则=．参考答案：2略12.已知θ是第四象限角，且，则cosθ=．参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由两角和的正弦函数化简已知的等式，由平方关系列出方程，结合题意和三角函数值的符号判断出：sinθ＜0、cosθ＞0，联立方程后求出cosθ的值．【解答】解：由得，则，①又sin2θ+cos2θ=1，②因为θ是第四象限角，sinθ＜0、cosθ＞0，③由①②③解得，cosθ=，故答案为：．13.已知实数满足，当时，目标函数的最大值函数的最小值为_____________．参考答案：14.已知α、β为锐角，且，则tanαtanβ=．参考答案：1考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用两角和的正切公式求得tan（）==1，可得=，即α+β=，由此求得tanαtanβ的值．解答：解：∵已知α、β为锐角，且，则1+tan+tan+tan?tan=2，化简可得，tan+tan=1﹣tan?tan，∴tan（）==1，∴=，∴α+β=，即α与β互为余角，故有tanαtanβ=1，故答案为1．点评：本题主要考查两角和的正切公式，互余的两个角正切值间的关系，属于中档题．15.已知单位圆的圆心在原点，圆周上的六个等分点其中落在x正半轴上，且这六个点分别落在以原点为始点，X非负半轴为始边的∠的终边上，所有的∠可表示为__________________（用一个含的式子表示）。参考答案：略16.如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，其中米，米.为了合理利用这块钢板,将在五边形内截取一个矩形块，使点在边上.则矩形面积的最大值为____

平方米.参考答案：48设,作于,所以,在中，,所以，即。设矩形面积所以,则，因为，所以函数在上单调递增，所以当时，有最大值平方米。17.已知，分别为双曲线，的左、右焦点，若在右支上存在

点，使得点到直线的距离为，则该双曲线的离心率的取值范围是

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知在直三棱柱中，.（1）证明：；（2）若是中点，求点到平面的距离；（3）求二面角的大小.

参考答案：解析：（1）证明：连结B1C，在直线ABC—A1B1C1中，∵BC=CC1∴四边形ACC1A1是正方形，∴C1B⊥CB。又∵AC⊥BC，面BC1⊥面ABC∴AC⊥平面BB1C1C，∴CB1是斜线AB1在平面CBB1C1的射影∴AB1⊥BC1

（2）连结A1C与AC1相交于点O∵AA1CC1为正方形∴A1C⊥AC1又∵平面AA1CC1⊥平面A1B1C1

B1C1⊥A1C1

∴B1C1⊥平面AA1CC1∴A1C⊥B1C1∴A1C⊥平面AB1C1∴A1O是A1点到平面AB1C1的距离∵AA1CC1为正方形AC=CC1=2∴A1O=连结A1M与AB1相交于D

∵M为AB的中点∴

∴M到平面AB1C1的距离h是A1到平面AB1C1距离的∴h=。

（3）作OM⊥AB1连结AM

∵A1O⊥平面AB1C1OM⊥AB1

∴A1M⊥AB1

∴∠A1MC是二面角A1—AB1—C1的平面角。在矩形AA1BB1中，AC=BC=2

∠ACB=90°

又∵AA1=2

∴AB1=∴二面角C1—AB1—M为大小为120°。

19.（本小题满分12分）设P为椭圆+=1（a＞b＞0）上任一点，F1、F2为椭圆的焦点，|PF1|+|PF2|=4，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=kx+m（≠0）与椭圆交于A、B两点，若线段AB的中点C的直线y=x上，O为坐标原点．求△OAB的面积S的最大值．参考答案：（1）（2）【知识点】椭圆的简单性质．H5解析：（1）根据题意，可得2a=PF1|+|PF2|=4，所以a=2，又c=ae==，所以b===，所以椭圆的方程为：；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（xc，yc），将直线l：y=kx+m代入方程，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0

（*）由韦达定理可知xc==，从而yc=kxc+m=，又线段AB的中点C的直线y=x上，所以=，解得k=﹣1，则（*）变为3x2﹣4mx+2m2﹣4=0，所以|AB|==，则△OAB底边AB的高h=，所以S=，∵（6﹣m2）m2≤，∴S，即S得最大值为．【思路点拨】（1）根据题意，计算出a、b的值即可；（2）联立直线l与椭圆方程消去y得到一个关于x的一元二次方程，由韦达定理可得C（xc、yc），再将其代入所在直线y=x上，可解得k=﹣1，故可化简关于x的一元二次方程，从而得到关于S的表达式，再结合不等式即可得到最大值．20.机床厂2001初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元．(1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）；(3）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：(Ⅰ）当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；(Ⅱ）当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由参考答案：（1）依题得：(2）解不等式,故从第3年开始盈利.

(3）（Ⅰ）当且仅当时，即时等号成立．到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利.(Ⅱ），故到2011年，盈利额达到最大值，工厂获利.盈利额达到的最大值相同，而方案Ⅰ所用的时间较短，故方案Ⅰ比较合理．2