模块2 单自由度系统受迫振动(a)《振动力学》教学课件

《振动力学》✩精品课件合集振动力学

CAI单自由度系统受迫振动教学内容2018年10月12日<<振动力学>>3单自由度系统受迫振动线性系统的受迫振动工程中的受迫振动问题任意周期激励的响应非周期激励的响应线性系统的受迫振动简谐力激励的强迫振动稳态响应的特性受迫振动的过渡阶段简谐惯性力激励的受迫振动机械阻抗与导纳2018年10月12日<<振动力学>>4单自由度系统受迫振动线性系统的受迫振动简谐力激励的强迫振动弹簧－质量系统设F(t)

F

ei

tF00外力幅值i

t0(t)

kx(t)

F

em

x

(t)

cx

振动微分方程：相对应F0sin

tmm

x

kx cx

F

(t)单自由度系统受迫振动

/

简谐力激励的强迫振动外力的激励频率实部和虚部分别与

F0

cos

t

和受力分析F

(t)kcx0mF0cos

t

和F0sin

tx20为18年复10数月1变2日量，分别与<<振动力学>>相对应5i

t0mx(t)

cx(t)

kx(t)

F

e

振动微分方程：显含时间

t非齐次微分方程通解齐次微分方程通解非齐次微分方程特解＝＋阻尼自由振动逐渐衰减暂态响应持续等幅振动稳态响应本节内容单自由度系统受迫振动

/

简谐力激励的强迫振动2018年10月12日<<振动力学>>6非齐次微分方程i

t0m

x

(t)

cx

(t)

kx(t)

Fe振动微分方程：1k

m

2

ic

H

(

)

复频响应函数2 i

t20 0 0

x(t)

x(t)

B

ex(t)

2

设： x

xei

tkm0

c2 km

B

F0k静变形单自由度系统受迫振动

/

简谐力激励的强迫振动x

i

xei

tx

：稳态响应的复振幅

x

2xei

t0

Fei

t(

m

2

ic

k

)xei

tx

H

(

)F02018年10月12日<<振动力学>>7<<振动力学>>1k

m

2

ic

H

(

)

单自由度系统受迫振动

/

简谐力激励的强迫振动0

引入：s

mkc

ki

21

11H

(

)

k

22 2k (1

s )

(2

s)

1

(1

s2)

i(2

s)

20212日

2

k2018年m10月20

1

1k (1

s2

)

i(2

s)

k m

s2200

c

c

2

2

s

70

2

外部激励频率与系统固有频率之比1k

(s)

1

s22

s

(s)

tg

1(1

s

2)2

(2

s)2振幅放大因子相位差k模：

H

(

)

幅角：arg

H

(

)

1

e

i

H

(

)

e

i

H

(

)

同时反映了系统响应的幅频特性和相频特性i

t0

F

emx(t)

cx(t)

kx(t)

x(t)

xei

t

i

1H

(

)

ek0x

H

(

)FFA

B稳态响应的实振幅1(1

s

2)2

(2

s)2

(s)

kF0B

k若：

F

(t)

F0

cos

tx(t)

A

cos(

t

)则：Bei

t1

s2x(t)

无阻尼情况：x(t)

0

ei

(

t

)

Aei

(

t

)ei

t

F0 1k 1

s21

s2

(s)

tg

1

2

s 单自由度系统受迫振动

/

简谐力激励的强迫振动系统响应2018年10月12日<<振动力学>>91(1

s2)2

(2

s)2

(s)

kx(t)

F0

ei(

t

)

Aei(

t

)1

s2

(s)

tg

1

2

s 12018年10月12日<<振动力学>>10k(1

s2)2

(2

s)2A

F0结论：线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率、而相位滞后激振力的简谐振动稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质（m, k, c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动的方式（即初始条件）无关单自由度系统受迫振动

/

简谐力激励的强迫振动i

t0mx(t)

cx(t)

kx(t)

F

e

线性系统的受迫振动简谐力激励的强迫振动稳态响应的特性受迫振动的过渡阶段简谐惯性力激励的受迫振动机械阻抗与导纳2018年10月12日<<振动力学>>11单自由度系统受迫振动11稳态响应的特性以s为横坐标画出

(s)

曲线1(1

s

2)2

(2

s)2

(s)

幅频特性曲线简谐激励作用下稳态响应特性0（1）当s<<1（

）

12018年10月12日<<振动力学>>激振频率相对于系统固有频率很低结论：响应的振幅

A

与静位移

B

相当kx(t)

F0

ei

(

t

)

Aei

(

t

)1230

013254

(s)s

00.10.250.3750.51单自由度系统受迫振动

/

稳态响应的特性稳态响应特性1(1

s

2)2

(2

s)2

(s)

0（2）当s>>1（

）

0激振频率相对于系统固有频率很高结论：响应的振幅

很小kx(t)

F0

ei(

t

)

Aei

(

t

)1230

013254

(s)s

00.10.250.3750.512018年10月12日<<振动力学>>13单自由度系统受迫振动

/

稳态响应的特性稳态响应特性（3）在以上两个领域s>>1，s<<1对应于不同

值，曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的1(1

s

2)2

(2

s)2

(s)

1 230

012354

(s)s

00.10.250.3750.512018年10月12日<<振动力学>>14单自由度系统受迫振动

/

稳态响应的特性稳态响应特性结论：共振1(1

s

2)2

(2

s)2

(s)

（4）当

s

1

0对应于较小

值，

(s)

迅速增大当

0

(s)

振幅无穷大但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在

s=1

附近的区域内，增加阻尼使振幅明显下降x(t)

F0

ei

(

t

)

Aei

(

t

)1230

013254

(s)s

00.10.250.3750.51单自由度系统受迫振动

/

稳态响应的特性2018年10月12日<<振动力学>>k152018年10月12日稳态响应特性1(1

s

2)2

(2

s)2

(s)

kFx(t)

0

ei

(

t

)

Aei

(

t

)（5）对于有阻尼系统，

max

并不出现在s=1处，而且稍偏左

0dsd

max

s

1

2

211 2 30

012354

(s)s

00.10.250.3750.51单自由度系统受迫振动

/

稳态响应的特性（6）当

1/

216<<振动力学>>2

1

2

1振幅无极值2018年10月12日16稳态响应特性1(1

s

2)2

(2

s)2

(s)

记：品质因子共振峰两侧取与

Q

2

对应两点

s1s22

1

半功率带宽Q与

有关系

：

Q

0

(s)s2

单自由度系统受迫振动

/

稳态响应的特性半功率点Q

s

12

1

证明：21

Q

s

s1

,s2(1

s2)2

(2

s)2

2 2

1

s2

(2

4

2

)

(1

8

2

)

0s422

1

22

2

s

1

2

2

2

s

1

21

2

1

2

1

2

1

2

值较小时2122

2 2 22 1 0

(s

s

)20

4

2

1

2

0222 1

1

)

2

0

(

2

1)(

2

0Q

01 11

s

202

s

QQ

2s1s2<<振动力

学

>

>2

017稳态响应特性1(1

s

2)2

(2

s)2

(s)

1Q

s

1

2

品质因子

2

1半功率带宽Q与

有关系

：

Q

0

阻尼越弱，Q

越大，带宽越窄，共振峰越陡峭2018年10月12日<<振动力学>>单自由度系统受迫振动

/

稳态响应的特性

(s)s2

半功率点1 11

s

2

0

0

2

sQQ

2s1s22018年10月12日<<振动力学>>0（1）当s<<1（

）0i

(

t

)18i

(

t

)

Ae

ekFx(t)

1

s2相频特性曲线

(s)

tg

1

2

s 稳态响应特性以s为横坐标画出

(s)

曲线相位差

0位移与激振力在相位上几乎相同（2）当s>>1（

0

）位移与激振力反相

（3）当

s

10

共振时的相位差为

2

，与阻尼无关

(s)300 1 290180s单自由度系统受迫振动

/

稳态响应的特性系统固有频率：

0

1外部作用力：

F

(t)

F0

cos

t从左到右：

0.4,

1.01,

1.62018年10月12日<<振动力学>>20单自由度系统受迫振动

/

稳态响应的特性有阻尼单自由度系统

0

0

0（1）

s<<1（2）

s>>1（3）

s

1

0

0

0

0

位移与激振力同相

位移与激振力反相

/

2 位移与激振力相位差

900线性系统的受迫振动简谐力激励的强迫振动稳态响应的特性受迫振动的过渡阶段简谐惯性力激励的受迫振动机械阻抗与导纳2018年10月12日<<振动力学>>21单自由度系统受迫振动i

t0mx(t)

cx(t)

kx(t)

F

e

显含

t，非齐次微分方程通解齐次微分方程通解非齐次微分方程特解非齐次微分方程＝＋阻尼自由振动逐渐衰减持续等幅振动稳态响应单自由度系统受迫振动

/

受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加回顾：暂态响应2018年10月12日<<振动力学>>22受迫振动的过渡阶段考虑无阻尼的情况m

x

(t)

kx(t)

F0sin

t正弦激励x

(0)

x

002 20x(t)

x(t)

B

sin

t

kx(0)

x0B

F0B通解： x(t)

c1

cos

0

t

c2

sin

0

t

sin

t1

s

2齐次通解2018年10月12日<<振动力学>>23非齐次特解0

s

c1、c2初始条件决定单自由度系统受迫振动

/

受迫振动的过渡阶段2018年10月12日<<振动力学>>23m

x

(t)

kx(t)

F0sin

tx(0)

x0x

(0)

x

0Bsin

t1

s

2x(t)

c1

cos

0

t

c2

sin

0

t

x(0)

x0c1

x00x

(0)

x

2 01

s2

B x

(0)

c

002x

Bs c

1

s2

BBsx

sin

t00

0 01

s2sin

t

1

s2sin

t

x(t)

x0cos

0t

初始条件响应强迫响应自由伴随振动特点：以系统固有频率为振动频率单自由度系统受迫振动

/

受迫振动的过渡阶段BBsx

sin

t00

0 01

s2sin

t

1

s2sin

t

x(t)

x0cos

0t

初始条件响应自由伴随振动强迫响应若零初始条件：BBssin

t01

s2sin

t

1

s2x(t)

自由伴随振动2018年10月12日<<振动力学>>25强迫响应单自由度系统受迫振动

/

受迫振动的过渡阶段仍然有自由伴随振动相伴发生零初始条件BBs01

s2sin

t

1

s2x(t)

(2)s>

1sin

t(

0

) (T

T0)(1)s<

1(

0)(T

T0

)稳态受迫振动进行一个循环时间内，自由伴随振动完成多个循环自由伴随振动进行一个循环时间内，稳态受迫振动完成多个循环受迫振动响应成为自由振动响应曲线上迭加的一个振荡运动受迫振动响应成为稳态响应曲线上迭加的一个振荡运动2

/

02

/

0tx

(

t

)

2

/

02

/

0tx

(

t

)稳态响应全响应单自由度系统受迫振动

/

受迫振动的过渡阶段自由伴随全响应2018年10月12日<<振动力学>>26零初始条件BBssin

t01

s2sin

t

1

s2x(t)

2

/

02

/

0tx

(

t

)单自由度系统受迫振动

/

受迫振动的过渡阶段2018年10月12日<<振动力学>>27

0

x(0)

x0，x

(0)

x

020

m

x

(t)

kx(t)

F

sin

t

x(0)

x0，x

(0)

x

0x(t)

x(t)

02020

x(0)

0，x

(0)

0x(t)

x(t)

B

sin

t＋

x000sin

t

x1(t)

x0cos

0t

BBssin

t021

s2sin

t

1

s2x(t)

x(t)

x1(t)

x2(t)＝

通解：BBsx

sin

t0000 01

s2sin

t

1

s2sin

t

x cos

t

0 初始条件响应自由伴随振动强迫响应单自由度系统受迫振动

/受迫振动的过渡阶段由于系统是线性的，也可利用叠加定理求解2018年10月12日<<振动力学>>28BBsx

sin

t00001

s2sin

t

sin

t

x(t)

x1(t)

x2(t)

x0cos

0t

02018年10月12日<<振动力学>>290001

s2Bx

(sin

t

s

sin

t)1

s2sin

t

x0cos

0t

m

x

(t)

kx(t)

F0sin

tx(0)

x0x

(0)

x

0即使在零初始条件下，也有自由振动与受迫振动相伴发生实际中总是存在着阻尼的影响，因而上式右端的暂态运动会逐渐衰减，进而消失，最终系统为稳态响应单自由度系统受迫振动

/

受迫振动的过渡阶段0x

0例：

计算初始条件，以使

m

x

(t)

kx(t)

F0

sin

t的响应只以频率

振动解：BBsx

sin

t00001

s2sin

t

1

s2sin

t

x(t)

x1(t)

x2(t)

x0cos

0t

0m

x

(t)

kx(t)

F sin

t

的全解：如果要使系统响应只以 为频率振动必须成立：0Bs

1

s2x

0初始条件：0x

0001

s2x

Bs

kB

F0

2018年10月12日<<振动力学>>30s

0单自由度系统受迫振动

/

受迫振动的过渡阶段例：

计算初始条件，以使

m

x

(t)

kx(t)

F0

cos

t的响应只以频率

振动Bx(t)

c1

cos

0t

c2

sin

0t

1

s2

cos

t解：m

x

(t)

kx(t)

F0cos

t

的全解：BBsx

cos

t00001

s2sin

t

1

s2sin

t

x(t)

x1

(t)

x2

(t)

x0

cos

0t

正确？sin

t全解：B1

s2c1

x0

1 0 0 2 0 0x

(t)

c

sin

t

c

cos

t

B

cos

t由x(0)

x0求一阶导数：由x

(0)

x

0x

0

c2

01

s2c2

x

0/

02018年10月12日<<振动力学>>31单自由度系统受迫振动

/

受迫振动的过渡阶段Bcos

t1 01

s2x(t)

ccos

t

c sin

t

全解：2 0B1

s2c1

x0

002

x

c

BxB

cos

t000001

s2sin

t

)cos

t

1

s2因此：

x(t)

(x

BBx

cos

t00 0 01

s2cos

t

1

s2sin

t

x0cos

0t

m

x

kx

F0

sin

t 的全解：BBsx

sin

t00 0 01

s2sin

t

1

s2sin

t

x(t)

x0cos

0t

相同不同2018年10月12日<<振动力学>>32单自由度系统受迫振动

/

受迫振动的过渡阶段例：

计算初始条件，以使

m

x

(t)

kx(t)

F0

cos

t的响应只以频率

振动全解：B2018年10月12日<<振动力学>>33Bx

cos

t00 0 01

s2cos

t

1

s2sin

t

x(t)

x0cos

0t

初始条件：0x

001

s2x

B ＝

0如果要使系统响应只以 为频率振动单自由度系统受迫振动

/

受迫振动的过渡阶段若激励频率与固有频率十分接近

0令：s

1

2

小量0B(sin

t

s

sin

t)1

s2BBsx

sin

t00001

s2sin

t

sin

t

x(t)

x1(t)

x2(t)

x0cos

0t

02018年10月12日<<振动力学>>340001

s2Bx

(sin

t

s

sin

t)1

s2sin

t

x0cos

0t

考虑零初始条件，有：x(t)

m

x

(t)

kx(t)

F0sin

tx(0)

x0x

(0)

x

0s

1单自由度系统受迫振动

/

受迫振动的过渡阶段Bx(t)

(sin

t

s

sin

t)1

s2 00(sin

t

s

sin

t)B1

(4

2

4

1)

0 02

Bsin

tcos

t4

00 0

4

B (sin

t

s

sin

t)

B[sin(1

2

)

t

sin

t]0 0 04

B (sin

t

cos

2

0 00 0

2018年10月12日<<振动力学>>354

B cos

tsin2

t0 04

单自由度系统受迫振动

/

受迫振动的过渡阶段

0s

1

2

1

2

1t

cos

t

sin

2

t

sin

t)

B

cos

t

2sin

tcos

1t

00 02

x(t)

B sin

tcos

t0可看作频率为

但振幅按0Bsin

t 规律缓慢变化的振动2

这种在接近共振时发生的特殊振动现象称为”拍”

0

B

2

B

sin

t02

2

0

B

sin

t2

00tx(t

)0

拍的周期：

02018年10月12日<<振动力学>>362

Bsin

t图形包络线：单自由度系统受迫振动

/

受迫振动的过渡阶段当

002

0

x(t)

B sin

tcos

t随

t

增大，振幅无限增大无阻尼系统共振的情形0x(t)t1B

0t2021B

t0 02

1B

tcos

t响应曲线s

1

2

0 02018年10月12日<<振动力学>>372

B

tcos

t单自由度系统受迫振动

/

受迫振动的过渡阶段0 0

x(0)

x

, x

(0)

x

m

x

(t)

cx

(t)

kx(t)

F0

sin

t00 0 000

(

sin

s

cos

)

sin

t]

B

sin(

t

)[sin

cos

t

B

esin

t)x

xx(t)

eddd

tdd(

x0cos

dt

t

1

220108年10月12日d

s

kB

F022 21

2

12

s

tg初始条件响应自由伴随振动强迫响应单自由度系统受迫振动

/受迫振动的过渡阶段讨论有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应0

x(t)

e (c1

cos

d

t

c2

sin

d

t通解：齐次通解(1

s )

(2

s)1

3s70<<振动力学>>c1、c2初始条件决定t)

B

sin(

t

)非齐次特解00 0000

(

sin

s

cos

)

sin

t]

B

sin(

t

)[sin

cos

t

B

esin

t)

xxx(t)

eddd

tdd(x0cos

dt

t

初始条件响应充分长时间后，前两种瞬态响应都将消失，只剩稳态振动自由伴随振动强迫响应0x

(t

)tx

0强迫响应全响应单自由度系统受迫振动

/

受迫振动的过渡阶段2018年10月12日<<振动力学>>3900 0000

(

sin

s

cos

)

sin

t]

B

sin(

t

)[sin

cos

t

B

esin

t)

xxx(t)

eddd

tdd(x0cos

dt

t

初始条件响应自由伴随振动强迫响应[sin2018年10月12日<<振动力学>>4000

sin(

t

)t]

B(

sin

s

cos

)sin

cos

t

x(t)

B

eddd

tx(0)

0x

(0)

0对于零初始条件：单自由度系统受迫振动

/

受迫振动的过渡阶段自由伴随仍然存在单自由度系统受迫振动例

求粘性阻尼单自由度系统受到简谐基础激励时的全响应。已知：m=10kg,c=20Nm/s,k=4000N/m,xf(t)=0.05sin5t(m),x0

0.02m,x

0

10m/

sfkc

xmx0x

f

(t)

D

sin

tm

x

(t)

c(

x

(t)

x

f

(t))

k(

x(t)

x

f

(t))

0m

x

(t)

cx

(t)

kx(t)

cx

f

(t)

kxf

(t)x(t)：绝对位移

kD

sin

t

cD

cos

t非齐次特解1cos(

t

)(1

s2)2

(2

s)2kcD

sin(

t

)1(1

s2)2

(2

s)2kD

kx(t)

2

s

1

s240

tg

1k

1 [sin(

t

)

cD

cos(

t

)]2018(年1

10月s21)22日

(2

s)2<<振动力学>>m

x

k(x

xf)c(x

x

f

)m解：

动力学方程叠加原理2018年10月12日<<振动力学>>41单自由度系统受迫振动例

求粘性阻尼单自由度系统受到简谐基础激励时的全响应。已知：m=10kg,c=20Nm/s,k=4000N/m,xf(t)=0.05sin5t(m),x0

0.02m,x

0

10m/

s1k[sin(

t

)

cD

cos(

t

)](1

s2)2

(2

s)2齐次通解：0(c1cos

dt

c2sin

dt)x(t)

e

tX

0、

0初始条件决定1

k[sin(

t

)

cD

cos(

t

)](1

s2)2

(2

s)2

t全解：

x(t)

X

0e 0

cos(

dt

0)cos(00

t

)

X

ed 0

t非齐次特解：

x(t)

5rad/

s100

4000

rad

/

s

20

rad

/

s0

20s

5

0.2520

0.052 km 2 4000

10c

d 0

1

2

19.975

rad

/

s1

s2

arctan

2

s

arctan2

0.05

0.25

0.02666rad1

0.252(1

0.252

)2

(2

0.05

0.25)2

0.937833(1

s2)2

(2

s)2

D=0.05m42单自由度系统受迫振动例

求粘性阻尼单自由度系统受到简谐基础激励时的全响应。已知：m=10kg,c=20Nm/s,k=4000N/m,xf(t)=0.05sin5t(m),x0

0.02m,x

0

10m/

s1k[sin(

t

)

cD

cos(

t

)](1

s2)2

(2

s)2齐次通解：0(c1cos

dt

c2sin

dt)x(t)

e

tX

0、

0初始条件决定1

k[sin(

t

)

cD

cos(

t

)](1

s2)2

(2

s)2

t全解：

x(t)

X

0e 0

cos(

dt

0)cos(00

t

)

X

ed 0

t<<振动力学

>>0.001333cos(5t

0.02666)

0.053314

sin(5t

0.02666)

X

0e cos(19.975t

)

0.001333cos(5t

0.02666)

0.053314sin(5t

0.02666)

t0x

(t)

X

0e cos(19.975t

)

19.975X

e sin(19.975t

)

t

t0 0 0

0.006665sin(5t

0.02666)

0.266572

cos(5t

0.02666)代入初始条件，得：

X

0

0.488695，

0

1.529683rad201x8(年t)10

月012.4日88695e

t

cos(19.975t

1.529683)非齐次特解：

x(t)

2018年10月12日43单自由度系统受迫振动单自由度库伦摩擦系统受迫振动的近似分析简谐激励作用下单自由度库伦摩擦系统：：动摩擦系数N：法向力 k 0mx

F0sin

tm

x

(t)

kx(t)

N

F

(t)<<振动力学>>从左向右移动

(从右向左)

时，摩擦力正

(负)精确解形式很复杂。

若摩擦阻尼力大，则质量块运动是不连续的。若摩擦力小于作用力幅值F0，可认为稳态解是近似简谐的，此时可利用等效粘性阻尼系数进行近似求解。库伦摩擦力一个周期耗能：

W

4

NX2e

W

c

X粘性阻尼力一个周期耗能：e

Xc

4

N等效粘性阻尼系数：X：振幅：外激励频率2018年10月12日单自由度系统受迫振动 k 0mx

Fsin

t

0 m

x

(t)

kx(t)

N

F

(t)e

Xc

4

Nem

x

(t)

cx

(t)

kx(t)

F

(t)稳态解：

x(t)

X

sin(ωt

)F0 1e

(2

s)2

]1/2k [(1

s2)20

s

振幅：

X

mc

e

2

e

0e0

m

X2

N

1/2221

0

1

kF0

kX

4

N

2

2

0

2

k

F

2X

2

1

kX

4

N

2

0

2

22

0

222

0

2

k

F

X

1

X

2

k1

4

N

2

2

0

0

k

44

F

2X

2

1

k

4

N

2

2

21/

2

1

2

0

0

2

2

k

4

N

2

F

2X

k

1/

2<<振动力学>>2

2

1

0

2

2

1

F0

4

N

k

F0

2018年10月12日45单自由度系统受迫振动 k 0mx

Fsin

t

0 m

x

(t)

kx(t)

N

F

(t)e

Xc

4

Nem

x

(t)

cx

(t)

kx(t)

F

(t)稳态解：

x(t)

X

sin(ωt

)

0s

e

m

0

X

2

N 2

2

1/

2

0

1

0

0

2

2

4

N

k

1

F

F振幅：

X

适用条件是摩擦力小于F0摩擦力极限值可由此式求出

0为避免

X

出现虚值，须满足：1

0

F

4

N

20

NF 41

s2相位差：

arctan

2

es20

21

4

N

arctan

kX 共振

90

arctan

1

N

F01/2

4

2

F04

N振动力

学N>>F0<<给定值，tg

为常值014

F

N

2018年10月12日<<振动力学>>即共振时存在关系：

W

W单自由度系统受迫振动 k 0mxFsin

t

0 4

Nce

Xm

x

(t)

ce

x

(t)

kx(t)

F

(t)x(t)

X

sin(ωt

)系统能量、幅值与相角的关系在一个周期内，系统供给的能量：

W

F

(t)dx

Tdtdxdt0

F

(t)

2

/

00

t

)]

dtFsin

t[ωXcos(（1）当外部激励与系统发生共振时：

0

90

X

为实数，有

N

F0

4

成立系统供给能量和消耗能量关系：

F0

X

4

NX00202

/

sin

tdt

W

F

X

每循环内供给系统能量比系统消耗能量多，多余能量使振幅不断变大460

W

F

X能量输入能量损耗

4

N

F0

W

4

NXXF

X

W00

F

4

N单自由度系统受迫振动 k 0mxFsin

t

0 4

Nce

Xm

x

(t)

ce

x

(t)

kx(t)

F

(t)x(t)

X

sin(ωt

)摩擦起到限制受迫振动幅值的作用系统能量、幅值与相角的关系

W

在一个周期内，系统供给的能量：2

/

00F

sin

t[ωXcos(

t

)]

dt（2）非共振情况：

0

W

W在20非18年共10振月1情2日况下，系统输入能量与输出能量相等<<振动力学>>系统输入能量：

W

ωXF2

/

00t

cos(sin

0t

)

dt

FXsin

F0可得：

sin

4

N00

F4

N

FX

4

7

1

N

F01/2

4

2

4

NX4

N

F0

arctan

W

F0

X能量输入能量损耗

4

N

F0

W

4

NXX

W0单自由度系统受迫振动例

在水平面上振动的弹簧-质量系统，质量块质量10kg，弹簧刚度4000N/m，动摩擦系数0.12。当系统受到频率为2Hz的简谐力作用时，质量块的振动幅值为40mm。试确定作用于质量块上的简谐力幅值的大小。 k 0mxF0sin

tm 1004000

rad

/

s

20rad

/

sk

解：

系统固有频率：频率比：

0 20s

2

2

0.62832

0

1

1/

2

2

2

2

F0

1

4

N

k振幅： X

F0

0F

97.9874N2018年10月12日<<振动力学>>49线性系统的受迫振动简谐力激励的强迫振动稳态响应的特性受迫振动的过渡阶段简谐惯性力激励的受迫振动机械阻抗与导纳2018年10月12日<<振动力学>>50单自由度系统受迫振动xfkcx1mx0mkxxfcx1xck2k2

te单自由度系统受迫振动

/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动背景：地基振动，转子偏心引起的受迫振动等特点：激振惯性力的幅值与频率的平方成正比例m2018年10月12日<<振动力学>>51fx (t)

Dei

tm1

(

x

1

(t)

x

f

(t))

cx

1

(t)

kx1

(t)

0基座位移规律

：m(

x

1

x

f

)kx11cx

mmm(

x

1

x

f

)cx1

1kxxfkc1xmx0mkxxfc1xD：基座位移振幅坐标： x1

相对基座位移受力分析

动力学方程：m

xmD

e2 i

t1 11 1(t)

cx

(t)

kx

(t)

单自由度系统受迫振动

/

简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动背景：地基振动，转子偏心引起的受迫振动特点：激振惯性力的幅值与频率的平方成正比例2018年10月12日<<振动力学>>522018m

xmD

e2 i

t1 11 1(t)

cx

(t)

kx

(t)

i

t0mx(t)

cx(t)

kx(t)

F

e0

B

F

(s)

1 x(t)

Bei

(

t

)

(s)

tg

1

2

s

回顾：令：0mD

2

F1i(

t

)x1

Be1i(

t

)

ekF0

ei

(

t

1

)kmD

21

i(

t

)De(1

s2)2

(2

s)2s211i(

t

)

De有：(1

s2)2

(2

s)2

1(s)

tg其中：

1

(s)

单自由度系统受迫振动

/

简谐惯性力激励的受迫振动fkc

xx1mx0k

m20

0年10月12日k1

s2(1

s2)2

(2

s)253<<振动力学>>

s

s2

振幅放大因子相位差

1

2

s

1

s2m

xmD

e2 i

t1 11 1(t)

cx

(t)

kx

(t)

111i(

t

)

Dex

(t)22

2s2(1

s

)

(2

s)

1(s)

11

s2

1

2

s

(s)

tg0

s

0.250.50.751.02.02018

1 月12日年100

1

(s)s1

0幅频曲线相频曲线单自由度系统受迫振动

/

简谐惯性力激励的受迫振动180001900154<<振动力学>>

(s)s54系统固有频率从左到右：

0

1.6,

0

1.0,

0

0.63单自由度系统受迫振动

/

简谐惯性力激励的受迫振动0.250.50.751.02.00

1

(s)s1

02018年10月12日<<0振动力学1>>9001800s1

1(s)f支撑运动：

x (t)

D

sin

t

1.001D11i(

t

)x1(t)

Des2(1

s2

)2

(2

s)2

1(s)

1

s2

12

s

1(s)

tgD如何分析s>1，s<1，s=1

?2018年10月12日55若以绝对位移

x

为坐标i(

t

)

Dei

t111 11i(

t

)x(t)

Defx (t)

Dei

tx(t)

x1(t)

x

f(t)其中：则有：x(t)

De1i(

t

)i

(

1

e 1

)De22

2s2(1

s

)

(2

s)

1(s)

11

s2

1

2

s

(s)

tg0

s

xfkc1xmx0mkxxfcx1单自由度系统受迫振动

/

简谐惯性力激励的受迫振动<<振动力学>>2018年10月12日56111s2i

(cos

i

sin

1

)

(1

s2)2

(2

s)2

e

1

(2

s)2(1

s2)2

(2

s)2

2

2

s)

1

tg

(2

1 11i(

t

)i

)Dex(t)

(

es2(1

s2

)2

(2

s)2

1(s)

1

1

1

s22

s

(s)

tgs22

s(1

s2)2

(2

s)2i1

s2(1

s2

)2

(2

s)2 (1

s2)2

(2

s)2

(1

s2)2

(2

s)22i

e1

(2

s)2(1

s2)2

(2

s)2

22i

e1

(2

s)2

ei

2(1

s2)2

(2

s)2

1

2i

s

1 单自由度系统受迫振动

/

简谐惯性力激励的受迫振动<<振动力学>>2018年10月12日111t

)i

i

(

x(t)

(

e2(1

s2

)2

(2

s)2i

i

1

e 1

2e 21

(2

s)2

2

s)

1

tg

(2221 2i

(

t

)i[

t

(

)]

Dex(t)

De

1

2代入：ei

t11

s2x(t)

D无阻尼情况：

1)Des2(1

s2

)2

(2

s)2

(s)

11

s2

1

2

s

(s)

tgfkc

xx1mx0mkxxfc1x单自由度系统受迫振动

/

简谐惯性力激励的受迫振动57<<振动力学>>22(1

s2

)2

(2

s)2

1

(2

s)

i[

t

(

)] i

(

t

)x(t)

2

De 1 2

2

De幅频曲线100.10.250.350.51.02

(s)可看出：当

s

2

时，

2

1振幅恒为支撑运动振幅D当

s

2

时，

2

1振幅恒小于Dxfkc1xmx0mkxxfcx1单自由度系统受迫振动

/

简谐惯性力激励的受迫振动增加阻尼反而使振幅增大58012s2018年10月12日<<振动力学>>21

(2

s)2(1

s2

)2

(2

s)2

2i

(

t

)x(t)

De011

2

(s)skc

xfx1m0单自由度系统受迫振动

/

简谐惯性力激励的受迫振动xi

(

t

1

)s2(1

s2

)2

(2

s)2

1(s)

1s59012018年10月12日<<振动力学>>幅频特性比较绝对位移相对位移x1(t)

1De相关性？

1

(s)<<振动力学>>60另一种分析方法受力分析x

f

(t)

D

sin

tx(t)：绝对位移单自由度系统受迫振动

/

工程中的受迫振动问题

/

惯性测振仪m

x

(t)

cx

(t)

kx(t)

cx

f

(t)

kx

f

(t)

kD

sin

t

cD

cos

t叠加原理

：1 11 1ksin(

t

)

cD

cos(

t

)(1

s2)2

(2

s)2 (1

s2)2

(2

s)2kx(t)

kD11

s2

1

2

s

tgxfkcx1mx0m

x

k(x

xf)c(x

x

f

)mx

(t)

c(

x

(t)

x

f

(t))

k(

x(t)

x

f

(t))

0m1 1(1

s2)2

(2

s)2

D [sin(

t

)

2

s

cos(

t

)]k2018年10月12日c

20

m

0m

c

c

s0s

2

0

2

s[sin(

t

1

)

2

s

cos(

t

1

)](1

s2)2

(2

s)2Dx(t)

11

s2

12

s

tg1

cos(

t

1

)]2

s1

(2

s)2 1

(2

s)2[sin(

t

1

)(1

s2)2

(2

s)21

(2

s)2D2

s1

(2

s)2sin

2

11

(2

s)2cos

2

s2

1

tg 2211

(2

s)2(1

s2)2

(2

s)2

和前述结果相同sin(

t

1

2

)1

(2

s)2(1

s2)2

(2

s)2

D

D

sin(

t

)令：令：

单自由度系统受迫振动

/

工程中的受迫振动问题

/

惯性测振仪2018年10月12日<<振动力学>>62例：汽车的拖车在波形道路上行驶已知拖车的质量满载时为

m1=1000kg空载时为

m2=250

kg悬挂弹簧的刚度为

k

=350

kN/m阻尼比在满载时为

1

0.5f

a

sin2

zl车速为

v=100km/h 路面呈正弦波形，可表示为

x求：

拖车在满载和空载时的振幅比l=5

mmk/2cx0k/2xfalxfz单自由度系统受迫振动

/

简谐惯性力激励的受迫振动2018年10月12日<<振动力学>>632018年10月12日<<振动力学>>解：路面的激励频率：lxf

a

sin t汽车行驶的路程可表示为：z

vt2

vcrc

2

km

2

m 630cc、k

为常数，因此

与m

成反比因此得到空