模块3 单自由度系统受迫振动(b)（工程应用暂态响应）《振动力学》教学课件

《振动力学》✩精品课件合集单自由度系统受迫振动2018年10月12日<<振动力学>>2教学内容线性系统的受迫振动工程中的受迫振动问题任意周期激励的响应任意周期激励的响应非周期激励的响应单自由度系统受迫振动振动力学CAI工程中的受迫振动问题惯性式测振仪振动的隔离转子的临界转速2018年10月12日<<振动力学>>3单自由度系统受迫振动

/

工程中的受迫振动问题回顾：单自由度系统受迫振动

/

工程中的受迫振动问题21

(2

s)2(1

s2)2

(2

s)2

2

s)

1

tg

(21 2

相对位移fx (t)

Dei

t基座位移规律

：m

x2 i

t1 1 1 1

mD

e(t)

cx(t)

kx(t)

1i(

t

)x1(t)

1Des2(1

s2)2

(2

s)2

1(s)

1

s2

12

s

1(s)

tg绝对位移2i

(

t

)x(t)

x1(t)

xf(t)

Dexfkcx1mx0mkxxfcx1支承运动情况2018年10月12日<<振动力学>>44单自由度系统受迫振动

/

工程中的受迫振动问题mxck2k2

teMkcme

2

sin

txkcxeM

tm1(1

s2)2

(2

s)2

kB

me

2

1

2

s 1

s2

tg0

s

k

M0

偏心质量情况22 21s2(1

s )

(2

s)

M

x

(t)

cx

(t)

kx(t)

me

2

sin

t解1：x(t)

B

sin(

t

)解2：x(t)

1B1

sin(

t

)<<振动力M学>>B

me20118年10月12日i

txf(t)

De基础位移x(t)

：

m

相对于外壳的相对位移动力方程

：m(

x

(t)

x

f

(t))

cx

(t)

kx(t)

0m

x

(t)

cx

(t)

kx(t)

mD

2ei

ts2(1

s2)2

(2

s)2单自由度系统受迫振动

/

工程中的受迫振动问题

/

惯性测振仪惯性式测振仪lim

A2018年10s

月1

2日

1振幅

：

A1

s

当仪器的固有频率远小于外壳振动频率时，仪器读数的幅值

A1

接近外壳振动的振幅

DD 低固有频率测量仪用于测量振动的位移幅值，称为位移计

0

Dkcm机器外壳x

fx6<<振动力学>>仪器2 2 2s

2(1

s )

(2

s)A1

D)(20

D

21(1

s2)2

(2

s)2A1

A1

还可写为：s

0

0s

0

当仪器的固有频率远大于外壳振动频率时，仪器读数的幅值A1与外壳加速度的幅值成正比高固有频率测量仪用于测量振动的加速度幅值，称为加速度计单自由度系统受迫振动

/

工程中的受迫振动问题

/

惯性测振仪D

2

：被测物体的加速度幅值1220

(D

)lim

A1

kcm机器外壳02018年10月12日<<振动力学>>7

s

工程中的受迫振动问题惯性式测振仪振动的隔离转子的临界转速2018年10月12日<<振动力学>>8单自由度系统受迫振动

/

工程中的受迫振动问题主动隔振系数＝隔振后传到地基的力幅值隔振前传到地基的力幅值隔振前机器传到地基的力：F

ei

t0隔振材料：k，c隔振后系统响应：

1

(1

s2)2

(2

s)201i(

t

)

ekFx(t)

1

2

s 1

s2

1

tgkA

F0

mF

ei

t0隔振前kcm隔振后i

tF0e单自由度系统受迫振动

/工程中的受迫振动问题

/振动的隔离振动的隔离将作为振源的机器设备与地基隔离，以减少对环境的影响称为主动隔振2018年10月12日<<振动力学>>91(1

s2)2

(2

s)2

kx(t)

F0

ei(

t

1

)11

s2

12

s

tg22018

10月12日

tg

1

2

skm

0

2m

c

s

2

s

2

sc

c

k

(ic

k

)

F0

ei

(

t

1

)i[

t

(

1

2

)](1

s2)2

(2

s)2

e1

(2

s)2

F001i(

t

)

F

(1

i2

s)e单自由度系统受迫振动

/

工程中的受迫振动问题

/

振动的隔离隔振材料：k，cmi

tF0e隔振后通过k、c传到地基上的力： 隔振前F1

cx

(t)

kx(t)kcm隔振后F

ei

t年<<振动力学>>0001002018年10月12日隔振前机器传到地基的力：F

ei

t01 2i[

t

(

)]e1

(2

s)2(1

s2)2

(2

s)2F1

F020

1max

F

(1

s2)2

(2

s)21

(2

s)

F

隔振系数：单自由度系统受迫振动

/

工程中的受迫振动问题

/

振动的隔离隔振后通过k、c传到地基上的力：

隔振材料：k，cmi

tF0e隔振前kcm隔振后F

ei

t0主动隔振系数＝隔振后传到地基的力幅值隔振前传到地基的力幅值11<<振动力学>>例：机器安装在弹性支承上已测得固有频率fn

12.5Hz阻尼比

0.15机器转速

n＝2400r/min参与振动的质量是

880kg不平衡力的幅值

1470N求：（1）机器振幅，（2）主动隔振系数（3）传到地基上的力幅单自由度系统受迫振动

/

工程中的受迫振动问题

/

振动的隔离解：

频率比：

3.2

0 60 2

fns

2

n

12 2 60k

m

880

(2

12.5)

5.43

10 N弹性支承的刚度：机器振动的振幅

：1

0.0291(mm)B

F0

k(1

s2)2

(2

s)2

0.14912<<振动力学>>1

(2

s)2(1

s2)2

(2

s)2主动隔振系数

：

传到2地018基年1上0月1的2日力幅

：F1m

F0

0.149

1470

219N2018年10月12日<<振动力学>>被动隔振系数隔振后设备的振幅＝隔振前设备的振幅i

t基础位移：x

f

(t)

Deei

(

t

)1

(2

s)2隔振前振幅：D隔振后系统响应：x(t)

D21

1

2(1

s2)2

(2

s)2s

1

tg

s2

1

tg

2x

f

Dei

tm隔振前fx

De12i

tkcm隔振后单自由度系统受迫振动

/工程中的受迫振动问题

/

振动的隔离振动的隔离将地基的振动与机器设备隔离，以避免将振动传至设备，称为被动隔振DD

1max

(1

s2)2

(2

s)21

s21

(2

s)2

工程中的受迫振动问题惯性式测振仪振动的隔离转子的临界转速2018年10月12日<<振动力学>>14单自由度系统受迫振动

/

工程中的受迫振动问题单自由度系统受迫振动

/

工程中的受迫振动问题

/

转子的临界转速转子的临界转速-

气轮机、发电机等高速旋转机械在开机或停机过程中经过某一转速附近时，支撑系统经常会发生剧烈振动临界转速-

在数值上很接近转子横向振动的固有频率以单盘转子为例转轴质量不计o

1oCl/22018年10月12日<<振动力学>>15l/2圆盘质量

m 固定在转轴中部圆盘质心

C 形心

O1 偏心距

CO1＝e圆盘静止时，形心O1

与旋转中心O重合oo1Cl/2l/2xy轴以角速度 恒速旋转由于离心惯性力，轴产生动挠度

OO1=

f

to1yCe

xfo xy圆盘俯视图轴沿

x

和

y

方向的横向刚度：l

32018年10月12日<<振动力学>>1648EIk

粘性阻尼力正比于圆盘形心

O1

的速度形心

O1

的坐标（x, y）质心C的坐标：

(x

e

cos

t, y

e

sin

t)单自由度系统受迫振动

/

工程中的受迫振动问题

/

转子的临界转速oo1Cl/2l/2xy

too1yxCe

xfy圆盘俯视图单自由度系统受迫振动

/

工程中的受迫振动问题

/

转子的临界转速d

2轴沿

x

和

y

方向的横向l

3粘性阻尼力正比于圆盘形心

O1

的速度质心C的坐标：(x

e

cos

t, y

e

sin

t)质心运动定理：m (x

e

cos

t)

kx

cx

dt

2刚度： 48EIk

d

22018年10月12日<<振动力学>>117m (

y

e

sin

t)

ky

cy

dt

2即：

2

m

y

cy

ky

me

sin

t

m

x

cx

kx

me

2cos

t右端项可看作激振力旋转矢量

me

2ei

t在

x

和

y

方向上的投影，作用点C，方向沿CO2018年10月12日单自由度系统受迫振动

/

工程中的受迫振动问题

/

转子的临界转速

2

m

y

cy

ky

me

sin

t

m

x

cx

kx

me

2cos

t

0

：转子不转动而作横向自由振动时的固有频率m设：

0

k/

m

g/

l0l0：静变形

to1yCe

xfo xy圆盘俯视图oCo1l/2l/2x18<<振动力学>>yoo1Cl/2l/2xy单自由度系统受迫振动

/

工程中的受迫振动问题

/

转子的临界转速

2

m

y

cy

ky

me

sin

t

m

x

cx

kx

me

2cos

t设：

0

k/

m1

c/(2m

0

)s

/

0s2(1

s2)2

(2

s)2

11

s2

1

2

s

tg

0

：转子不转动而作横向自由振动时的固有频率

1 1

y

e

sin(

t

)

x

e

1

cos(

t

1

)212x2

y

(e

)形心O1的运动轨迹为一个圆x2f

y

2

e

1es2

2018年动10挠月12度日

：

to1yCe

(1

s2)2

(2

s)218<<振动力学>>xfo xy圆盘俯视图oo1Cl/2l/2xy

m

y

cy

ky

me

2sin

t

m

x

cx

kx

me

2cos

t

0

k/

m

c/(2m

0

)s

/

0s2(1

s2)2

(2

s)2

1

1

1

1

s22

s

tg可见，当阻尼比

较小时，即使转子平衡得很好（e

很小），动挠度

f

也会相当大，容易使轴破坏，这样的转速称为临界转速：形心O1的动挠度：es2(1

s2)2

(2

s)2f

e

1

单自由度系统受迫振动

/

工程中的受迫振动问题

/

转子的临界转速e当

s=1

时：

f

2

k

用20每18年分10月钟12转日(r/

min)速表示：n

60

f转动频率与转子固有频率相等

too1yxCe

2

f0fm19<<振动力学>>xfy圆盘俯视图2018年10月12日<<振动力学>>20oo1Cl/2l/2xy

m

y

cy

ky

me

2sin

t

m

x

cx

kx

me

2cos

t单自由度系统受迫振动

/

工程中的受迫振动问题

/

转子的临界转速s2(1

s2)2

(2

s)2

1

11

s2

1

2

s

tg0即

当

s

1时有：

1

1

11

y

e

sin(

t

)

x

e

1

cos(

t

1

)

可得：

y

e

sin

t

x

e

cos

t(x

e

cos

t,

y

e

sin

t)0圆盘和弯曲的轴都绕着质心C旋转自动定心现象

1

转

动频率远大于质转心子C固的有坐频标率：0质心C与旋转中心O重合

too1yxCe

xfy圆盘俯视图21例：叶片模拟试验台叶片质量

158

kg转轴：长

610mm，直径

120mm弹性模量

E＝2.07

×

107

N/cm2材料比重

7.8×10-3

kg/cm3求：临界转速305

mm305

mm120

mm解：与叶片相比不能忽略4

61

7.8

10

53.8

kg转轴质量

m2

3

122由瑞利法，转子质量为叶片质量与转轴等效质量的和，即：1 2m

m

17

m

158

17

53.8

184.1

kg轴的横向刚度：6

4.43

10 N/

cm

k

35 3548EI 48

2.06

107

124184.1

14800 r/

min

临2018界年1转0月速12日：n

<<振动力学>>l

3 613

6460 k 30 4.43

106

1002

m

单自由度系统受迫振动

/

工程中的受迫振动问题

/

转子的临界转速2018年10月12日<<振动力学>>22教学内容线性系统的受迫振动工程中的受迫振动问题任意周期激励的响应非周期激励的响应单自由度系统受迫振动23假定粘性阻尼系统受到的周期激振力：F

(t)

F

(t

T

)T

为周期傅立叶级数展开：

n

1F(t)

a0

(ancosn

1t

bnsin

n

1t)T1

2

记基频：单自由度系统受迫振动

/

任意周期激励的响应任意周期激励的响应前面讨论的强迫振动，都假设了系统受到激励为简谐激励，但实际工程问题中遇到的大多是周期激励而很少为简谐激励

nn

b

aa

TT

TT

TT

110F(t)sinn

tdt

2F(t)cosn

tdt2F(t

)dt2nnna

2b2c

nnb

tg

1

an

记：n

的偶函数n

的奇函数

2 0

2n

1a

cn

sin(n

1t

n

)2018年10月12日<<振动力学为>>任一时刻2018年10月12日<<振动力学>>242F(t)

a0

(an

cos

n

1t

bn

sin

n

1t)

n

102a

cn

sin(n

1t

n

)n

1单自由度系统受迫振动

/

任意周期激励的响应傅里叶（JeanBaptiste

Joseph

Fourier,

1768-1830）法国数学家、物理学家，1817年当选为科学院院士，主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方程

，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。傅里叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始。252n

1F(t)

a0

(an

cos

n

1t

bn

sin

n

1t)

02n

1a

cn

sin(n

1t

n

)

2a

(an

cos

n

1t

bn

sin

n

1t)n

1运动微分方程

：m

x

(t)

cx

(t)

kx(t)

0叠加原理

：nb2k

k

kncos(n

1t

n)

n

sin(n

1t

n

)]

x(t)

a0

[an

单自由度系统受迫振动

/

任意周期激励的响应n

1

n

12k

a0k (1

n2

s2

)2

(2

ns)2an

cos(n

1t

n

)

bn

sin(n

1t

n

)2am

x

(t)

cx

(t)

kx(t)

0m

x

(t)

cx

(t)

kx(t)

an

cos

n

1tm

x

(t)

cx

(t)

kx(t)

bnsin

n

1ta2kx(t)

0

nka

ncos(n

1t

n)x(t)

nkb

nsin(n

1t

n)x(t)

1<<n振动力(1学

>n>2

s2

)2

(2

ns)22

018

年10月12日0

1s

km

0

1

n2s2

12n

s

n

tg代表平衡位置a02

产生的静变形2n

1F(t)

a0

(an

cos

n

1t

bn

sin

n

1t)

02n

1a

cn

sin(n

1t

n

)单自由度系统受迫振动

/

任意周期激励的响应

n

12ka0x(t)

k (1

n2

s2

)2

(2

ns)2an

cos(n

1t

n

)

bn

sin(n

1t

n

)不计阻尼时：

n

1k(1

n2

s2

)2ka0x(t)

ancosn

1t

bnsin

n

1t周期激励通过傅氏变换被表示成了一系列频率为基频整数倍的简谐激励的叠加，这种对系统响应的分析被成为谐波分析法2018年10月12日26<<振动力学>>

2n

1am

x

(t)

cx

(t)

kx(t)

0

(an

cos

n

1t

bn

sin

n

1t)<<振动力学>>27

2n

1

na0F

(t)

复数形式表示欧拉公式

：111

21in

t

in

t(e

e

)) cosn

t

11

21iin

t(e

esinn

t

in

t

nT

T

tdt1F

(t)

cos

na

2n的偶函数n的奇函数a

a

n n

b

b

n n

单自由度系统受迫振动

/

任意周期激励的响应

nT

T

tdt1F

(t)

sin

nb

2,2n

an

ibn200aF

记：

F则：2F

nib

n

a

n

n

nF

e1F(t)

in

t周期激励的复数形式：nnF

T2（取

）

2T2TF

(t)e1T

in

1t

dt

2018年10月1

2日T

T

F

(t)e

in

1t

dt1

(a cosn

1t

bnsinn

1t)

11

0

2

n

1

n n

2

n

1

n n

2ea

ibe

a

iba

in

tin

t其中：2an

ibn

2 T

T

F

(t)[cos

n

t

i

sin

n

t]dta

ibn

11128

n

1F(t)

Fnein

t

n

nF

e1in

t

系统运动方程

：

m

x

(t)

cx(t)

kx(t)

21T2TnF

(t)e

dt1TF

in

t叠加原理，系统稳态响应：

n

nA

ex(t)

i

(

n

1t

n

)n1

n2s2

1

2n

s

tg单自由度系统受迫振动

/

任意周期激励的响应

n

1 nx(t)

i

(

n

t

)iAnn

1e

n

n 11 n2 2 i

(

n

t

)An

e

x

(t)

求导

：代入运动方程

：

n

nn

nF

e11 nn 12 2kA

]ein

ti(n

t

)icAn

n

1[

mAn

nn

i

icn

)e

FA(k

mn

n 1 12 2A

k

(1

n2

s2

i

2

ns)e

i

n

Fn nnnA

k (1

n2

s2

)2

(2

ns)2

ei

n

e

i

n

F

0s

1201 2

0

2

0

c

c mk m k得

：1An

k

n

Fn1<<振动力学>>n(1

n2s2)2

(2

ns)2

因201此8年1有0月1：2日

1 nx(t)

Anen

i

(

n

t

)n1

n2s2

1

2n

s

tg系统响应

：

n

a12in

tm

x

(t)

cx

(t)

kx(t)

0

Fnen n nkA

1

Fn(1

n2s2)2

(2

ns)2

1

Fne1 nn

k (1

n2

s2

)21x(t)

i

(

n

t

)

(2

ns)2分别为第n次谐波激励所对应的振幅放大因子和相位差

n和

n单自由度系统受迫振动

/

任意周期激励的响应2018年10月12日<<振动力学>>30例：

质量－弹簧系统受到周期方波激励求系统响应

t

TT2

F

,2

F

, 0

t

TF(t)

00F

(t)2018年10月12日<<振动力学>>310FF00TT/

2t单自由度系统受迫振动

/

任意周期激励的响应

0 6

10

0.1问：为什么在常值力F0作用下，系统会产生振动？2018年10月12日解：

0激励的周期：T

2

12

0弹簧－质量系统固有频率0

6

1激励力的基频

：

01

2n

1F(t)

a0

(ancosn

1t

bnsin

n

1t)

nnTb

aT

a

T

TT

110F

(t)

sin

n

tdt22

TF

(t)dt

20因

a 一周期内总面积为0=02T12对称，

而

cos

n

t

关于

T对称区间

0,T

内，F(t)

关于 为反F

(t)

cos

n

tdt

=0

n

n

1bsin

n

1tF

(t)

32<<振动力学>>0FF0

2

6 T0TT/

2t单自由度系统受迫振动

/

任意周期激励的响应

0 6

10

0.1n

1n 1

F(t)

b sinn

t

nT

T

1F

(t)

sin

n

tdtb

22T区间

[0, ]

内TF

(t)

关于

4

为对称14而n取偶数时，sin

n

t

关于

T

反对称2T区间[ ,

T

]内4F

(t)

关于3T

为对称14而n取偶数时，sin

n

t

关于3T

反对称n

2,4,6

因此 bn

0F

(t)2018年10月12日<<振动力学>>33F0F00TT/

2t单自由度系统受迫振动

/

任意周期激励的响应n

1n 1

F(t)

b sinn

t

nT

T

1F

(t)

sin

n

tdtb

2当

n

取奇数时bn

0n

2,4,6

n

Tn0T4010014FFsin

n8T2T

tdt

F

(t)

sin

n

tdt

b

n

1,3,5

于是，周期性激励

F(t)

可写为：

11

n

1,3,5

n

1nF

(t)

sin

n

1tn4F0

b sinn

t

52018年10月12日<<振动力学>>341311110

t

)

t

sin

5(sin

t

sin

34F

单自由度系统受迫振动

/

任意周期激励的响应13 51 1104F

1F

(t)

t

)

t

sin

5(sin

t

sin

3

n

1,3,5

x

4F0

nsin(n

1t

n

)

k则有：nn (1

n2s2)2

(2

ns)2n1

n2s2

1

2n

s

tg0

s

1其中：

1 当不计阻尼时：

2018年10月12日<<振动力学>>351

n

1,3,5

4F0n(1

n2

s2

)

sin

n

1tx

k系统运动方程

：m

x

cx

kx

F

(t)单自由度系统受迫振动

/

任意周期激励的响应教学内容2018年10月12日<<振动力学>>36线性系统的受迫振动工程中的受迫振动问题任意周期激励的响应非周期激励的响应单自由度系统受迫振动非周期激励的响应非周期激励的响应任意非周期激励的响应2018年10月12日<<振动力学>>37单自由度系统受迫振动

/

非周期激励的响应

(t

)(t

)

(t

)

0且

(t

)dt

1

(t

)

的图象用位于时刻τ、长度为

1

的有向线段表示-

单位脉冲力可利用狄拉克（Dirac）分布函数δ(t)

表示-

δ函数也称为单位脉冲函数，定义为：

(t

)t1

2018年10月12日<<振动力学>>380单自由度系统受迫振动

/

非周期激励的响应非周期激励的响应-

对于脉冲激励情形，系统只有暂态响应而不存在稳态响应δ函数：

(t

)

0 (t

)

(t

)

(t

)dt

1

(t

)

是一个广义函数

0

(t

)

lim

(t

)可以看作矩形脉冲、脉冲面积为

1而脉=冲宽度ε趋于零时的极限

t

t为其它

0

1其中：

(t

)

(t

)

也可以定义为其它形状的面积为

1

的脉冲2018年10

月12日量纲：1/秒

(t

)t10

(t

)t01

39<<振动力学>>单自由度系统受迫振动

/

非周期激励的响应δ

函数的性质:2018年10月12日<<振动力学>>40

f

(t)

(t

)dt

f

(

)

特别地，当时刻

τ

=0

时，有

：

f

(t)

(t)dt

f

(0)实际应用时，通常

f

(t)

在

t

0

时才有意义

t0f

(t)

(t

)dt

f(

)冲量为

I

0

的脉冲力可借助δ函数表示为：F

(t)

I0

(t)当

I0

=1

时，为单位脉冲力单自由度系统受迫振动

/

非周期激励的响应F

(t)

1

(t)2018年10月12日<<振动力学>>40单位脉冲响应记：

0+、0-

为单位脉冲力的前后时刻运动微分方程与初始条件可合写为：

x(0 )

0,

x(0 )

0

m

x

cx

kx

1

(t)或脉冲响应

乘dt

：在脉冲力作用的瞬间，位移来不及变化，但速度可产生突变dxx

dt

dx

0dx

令： x

0m

x

dt

cx

dt

kxdt

(t)dt mdx

(t)dt

(t)t00- 0+单自由度系统受迫振动

/

非周期激励的响应现求处于零初始条件下的系统对单位脉冲力的响应如果冲量为，0I0F(t)

I

(t)脉冲力则为

：0mdx

I

(t)dt

单位脉冲力41两边在区间0

t

0-内对时间积分：

0

00

0

(t)dt

m

x

dt1

mx

(0

)

mx

(0

)x

(0

)

在单位脉冲力的作用下，系统的速度发生了突变，但在这一瞬间，位移则来不及有改变，即有：x(0+)

=

x(0-)又当

t

>0+时，脉冲力作用已经结束，所以

t

>0+

时，有：

m

x(0

)

0,x

(0

)

m

x

cx

kx

0

1单自由度系统受迫振动

/

非周期激励的响应质量越大，x

(0

)

越小质量越小，x

(0

)

越大2018年10月12日<<振动力学>>m1mx

(0

)

I0单位脉冲力：mdx

(t)dt冲量为

I

0的脉冲力：mdx

I0

(t)dt2018年10月12日<<振动力学>>

m

x(0

)

0,x

(0

)

m

x

cx

kx

0

1系统的单位脉冲响应位初始位移为零、而初始速度为

1/m

的自由振动记为

h(t)ddm

e sin

t10

tx(t)

h(t)

无阻尼系统：001sin

tm

x(t)

h(t)

若单位脉冲力不是作用在时刻

t

=

0，而是作用在

t

=τ时刻：10sin

(t

)m

h(t

τ)

ed

(t

)d解为：如果系统在

t=τ时刻受到冲量为

I0

的任意脉冲力作用，则系统暂态响应可用脉冲响应函数表示为

：单自由度系统受迫振动

/

非周期激励的响应0 0 00d

420 dsin

t)

dx

x(x cos

t

x(t)

I0h(t

τ), t

τx(t)

e

t

43mF

(

)

d

系统受脉冲作用后产生速度增量：并引起

t

>τ各个时刻的响应d

tF

(t)单自由度系统受迫振动

/

非周期激励的响应任意非周期激励的响应当处于零初始条件的系统受到任意激振力时，可以将激振力

F(t)

看作一系列脉冲力的叠加对于时刻

t

=τ的脉冲力 其冲量为：F

(

)d

系统的脉冲响应

： dx

F

(

)h(t

)d

由线性系统的叠加原理，系统对任意激振力的响应应等于系统在时间区间

0

t

内各个脉冲响应的总和

t0F

(

)h(t

)d

得：

x(t)

杜哈梅(Duhamel)积分

td010F

(

)e sin

d

(t

)d

m

(t

)10sin

(t

)e<<振动力学>>m

2h0(1t8年

1τ0月)

1

2日d

(t

)d

t0x(t)

F

(

)h(t

)d

t0利用卷积性质：

x(t)

)d

F

(t

)h(若有初始条件，则：

tdddd00 0 01x(t)

e00(t

)d

sin

F

(

)em

sin

t)

x

x(x0cos

dt

(t

)

t

若阻尼为零，则：

tmωωx0000001sin

ω

t)

x(t)

(x0cosω0t

F

(

)

sin

ω

(t

τ)d

单自由度系统受迫振动

/

非周期激励的响应

2018年10月12日<<振动力学>>45

tdd010(t

)d

sin

F

(

)em

(t

)例：无阻尼弹簧－质量系统

0,0

t

t0t

t0

Q0

,F(t)

F

(t)2018年10月12日<<振动力学>>460Q0t0t单自由度系统受迫振动

/

非周期激励的响应在（0，t0）时间间隔内受到突加的矩形脉冲力作用求：

系统响应单自由度系统受迫振动

/

非周期激励的响应

t0001x(t)

F

(

)

sin

m

(t

)d

t000Q0(t

)d

sin

m

020Q0m

00kQ(1

cos

t)(1

cos

t)

0

0,Q

, 0

t

t0t

t0解法一：F

(t)

F

(t)2018年10月12日<<振动力学>>47Q000tt（1）0

t

t0

时单自由度系统受迫振动

/

非周期激励的响应

0

0,Q

, 0

t

t0t

t0F

(t)

F

(t)Q000tt

t0001x(t)

(t

)d

F

(

)

sin

m

[0000

t

tt(t

)d

]0

sin

Q0

sin

0

(t

)d

1m

000 01 Qm

[cos

0

(t

t0

)

cos

0t]

02018年10月12日<<振动力学>>480kQ[cos

(t

t0

)

cos

0t]

（2）t

t0

时单自由度系统受迫振动

/

非周期激励的响应

0,0

t

t0t

t0

Q0

,F(t)

F

(t)0Q0t0t0（2）t

t

时00k[cos

(t

t0

)

cos

0t]x(t)

0（1）0

t

t

时00kQQ(1

cos

t)x(t)

2018年10月12日<<振动力学>>49

0 0

000

k0

t

t

kQx(t)

Q[cos

0

(t

t0

)

cos

0t], t

t(1

cos

t),因此，系统响应：49单自由度系统受迫振动

/

非周期激励的响应解法二：F

(t)0Q0tt

0 0 0 00000t], t

t

kQ 00

t

t

kQx(t)

[cos

(t

t)

cos

(1

cos

t),当t

>t0

时激振力已经去除，此时系统将以时刻t

=t0

时的位移和速度为初始条件做自由振动，称为残余振动t

>t0

时的响应可以求解如下先求得t=t 时刻的位移和速度：0

000kQ(1

cos

t

)x(t)

0

00 00ksin

tQ

x(t)

0t

>t0

时的响应：00x(t

)sin

0

(t

t0

)x(t)

x(t0

)

cos

0

(t

t0

)

000

0

0 0 0kQt)

coskQ

sin

0t0sin

0(t

t)

(t

t)

(1

cos

0 0<<振动力学k>>2018年10Q月12日(t

t0

)

cos

0t]

[cos

例：试确定一个自由度系统对图中施力函数的无阻尼响应

t

tt

t

t21 22

0,0

t

t1

Q1

,F(t)

Q,F

(t)2018年10月12日<<振动力学>>512QQ101tt2t单自由度系统受迫振动

/

非周期激励的响应

t0001x(t)

F

(

)

sin

m

(t

)d

t000Q1(t

)d

sin

m

020Q1m

(1

cos

t)01kQ(1

cos

t)

F

(t)2QQ101tt2t

（1）0

t

t1时

t

tt

t

t21 22

0,0

t

t1

Q1,F(t)

Q,单自由度系统受迫振动

/

非周期激励的响应解法一：

k2018年10月12日<<振动力学>>52（2）t1

t

t2

时t0001x(t)

(t

)d

F

(

)

sin

m

[111001

t

tt

Q2

sin

0

(t

)d

]Qsin

(t

)d

0210 0Qm

01 Q

[1

cos

0

(t

t1

)]}

{ [cos

0

(t

t1

)

cos

0t]

m

201kQkQ

[1

cos

0

(t

t1

)](t

t1

)

cos

0t]

[cos

F

(t)2QQ101t2t t

t

tt

t

t21 22

0,0

t

t1

Q1,F(t)

Q,单自由度系统受迫振动

/

非周期激励的响应2018年10月12日<<振动力学>>53t2

t（3）

0001x(t)

(t

)d

F

(

)

sin

m

F

(t)2QQ101t2t t

时t

t

tt

t

t21 22

0,0

t

t1

Q1,F(t)

Q,[211020

t

tt

Q sin

(t

)d

]Q1

sin

0

(t

)d

1m

00210 0Q1 Q

[cos

0

(t

t2

)

cos

0

(t

t1

)]}

{ [cos

0

(t

t1

)

cos

0t]

m

02018年10月12日<<振动力学>>5421kQkQ

(t

t2

)

cos

0

(t

t1

)][cos

[cos

0

(t

t1

)

cos

0t]

单自由度系统受迫振动

/

非周期激励的响应54解法二：F

(t)Q2Q10t1tt2F

(t)Q1t1tF

(t)t1tt2=

0+

0Q2F

(t)0Q0t0t一个自由度系统对矩形冲量的无阻尼反应：

<<振动力学>>0

0

k0

t

t0 (1)

Q0x(t)

Q[cos

0

(t

t0

)

cos

0t], t

t (2)

k (1

cos

0t),2018年10月12t0日：矩形冲量持续的时间单自由度系统受迫振动

/

非周期激励的响应2018年10月12日Q2Q10tt1 t2F

(t) F

(t)Q1t1tF

(t)t1tt2=

0+

0Q2F

(t)Q00t0t

000000t],

t

t

(2)

k0

t

t

(1)

kQx(t)

Q

[cos

0

(t

t0

)

cos

(1

cos

t),（1）0

t

t1时应用（1）式：055<<振动力学>>1kQ(1

cos

t)x(t)

单自由度系统受迫振动

/

非周期激励的响应2018年10月12日Q2Q10tt1 t2F

(t) F

(t)Q1t1tF

(t)t1tt2=

0+

0Q2F

(t)Q00t0t1对于Q

的反应，应用（2）式：

000000t],

t

t

(2)

k0

t

t

(1)

kQx(t)

Q

[cos

0

(t

t0

)

cos

(1

cos