习题答案第5章时变电磁场和平面电磁波要点

第5章时变电磁场和平面电磁波5.1/5.1-1已知z2=1+j,求复数z的两个解。[解]z2=1+j=2ejnz1=2ejn=1.189ej22.5o=1.099+j0.455z=-1.189ej22.5o2=-1.099-j0.455试证:/5.1-2已知a是试证:1+22)若a<<1,+ja~ilIja1+2⑸若a>>1,+ja=±/lja1\1+2l/;。[解](a)a<<1:IlosaaKa[解](a)a<<1:IlosaaKa\2+jsin2+ja=+a2ejjan-1a-(eja=±l/工\1+j2l/=±(1+ja2/5.1-3设E(t)的复振幅为E&二e+jei，H(t)的复振幅为H&二h+jhi，E(t)H(t)WRe[E&H&ejmt]，并求E(t)、H(t)。[解]E(t)=Re[E&ejmt]=12(E&ejmt+E&*e-jrot)H(t)=12(H&ejmt+H&*e-jrot)得E(t)H(t)=1(E&H&*+E&*H&+E&H&ej2mt+E&*H&*e-j23t4)=1Re[E&H&*+E&H&ej23t#Re[E&H&ej3t2]E(t)=Re[(e+jei)ej3t]=Re[(e+jei)(cos3t+jsin3t)]=ecos3t-eisin3t1试证H(t)=Re(h+jhi)ej3t=hcos3t-hisin3tE(t)H(t)=ehcos23t+eihisin23t-ehicos3tsin3t-eihcos3tsin3t=1[eh+eihi+(eh-eihi)cos23t-(ehi+eih)sin23t]2[]可见,为恒定成分与二倍频成分的叠加.

5.4/5.1-4将下列场矢量的瞬时值变换为复矢量，或作相反的变换:“E0sin(3t-kz)+y“3E0cos(3t-kz)；(a)t)=x“IE0sin3t+3E0cosl3t+(b)(t)=xlzxmIj」—-j-jkz八E0e八3E0e-jkz=(-jx八-j-jkz八E0e八3E0e-jkz=(-jx八+y八3)E0e-jkz[W](a)=xe2+yn3fe1I1III弋H2/LJLJ(c)n11八cc(b)nnDjl--jIl2/2IIE0e2+3E0e61=x^E0l-j+3l八E0l=x+j+jl2“cos(3t-kz)+y八coS3t-kz+I=x"cos(3t-kz)-y八sinft-kz)(t)=x2\/Il"H0cosl3t-kzsin0-I=y'H0sin(3t-kzsin0)入E0sin(3t-kz已知自由空间某点的电场强度t)=x(d)5.5/5.2-1(Vm)求(a)磁场强度(t)；(b)坡印廷矢量(t)及其一周T=2兀/3内的平均值S[][解]V)av。[]EknII"0sin(3t-kz)t)=Rej3t=yE0cosl3t-kz-I=y3〃式中3四03四0==k3四0£02四0="0£02(b)EE八xy八0sin2(3t-kz)=z。0[1-cos2(3t-kz)](t)=t)xt)=xn02n0av1=T〕T0E,0t)dt=z2n025.6/5.2-2对于非均匀的各向同性线性媒质，请导出其无源区电场强度复矢量的波动方程。[解]无源区限定形式麦氏方程为=-j3^Vx=j38VX(1)(2)(3)(Vs^22Vl-I+V=-3R£+j3VpX(4)())=0V-Q=0,(Vs^22Vl-I+V=-3R£+j3VpXVI=-j3VxpVxVx())-V=-j3(^Vx+Vpx)V(V-,1利用(2)(3)后，再利用(1)式代入，得\、+32^£+VIV8V2l•£\IVp=0xVxI+/p-jk1z-jk2z=x=yf.7/5.3-1设真空中同时存在两个时谐电磁场，其电场强度分别为，，EeEe110220试证总平均功率流密度等于两个时谐场的平均功率流密度之和。[证1]av

12E10』z,2n0av22E20』z2n0故av22E10+E20=z=1av+2av2n0=x'E10e-jk1z,[证2]1=y'E20e-jk2z,2E10-jk1z=1z=y"xe11n0n0E20-jk2z=1z=-x"xe22n0n01av2「E1021 E10「1*1 2=Rel 1x11二Rei z, I =z22n2nl」।0I 01」2E20*』Re2x2=z2n0av2][2E20*』Re2x2=z2n0av2][1*+*av=Rel+x121212()(^Ee)1IQ=Re「II^E20e-jk2zx|"+yye-xe11n11n。。\)I」)1(x2110-jk1z(E10jk1zE20jk2z222「E102E201E10+E20…=ReIz+z=1av+2av=z2n012n012n0&,外5.8/5.3-2同轴线内导体半径为a,外导体内半径为b,某截面处内外导体间电压的复振幅为U&导体上电流的复振幅为I。试用复坡印廷矢量计算内、外导体间向负载传输的总功率。［解］*&&b1UI1&*&P=J・ds=2n2・pdp=UISapb24nlna5.9/5.3-3在理想导体平面上方的空气区域(z>0)存在时谐电磁场，其电场强度为“E0sinkzcos3t。t)=x(a)求磁场强度t)；(b)求在z=0,n/4k和n/2k处的坡印廷矢量瞬时值及平均值;(c)求导体表面的面电流密度。[解]MX)=Rek[]=y[解]MX)=Rek[]=y”①四3t2En0coskzsin3t,E0coskzcoS3t+"nAn0=^0£0(b)E八0sn2kzsin23tt)=(t)x(t)=-z4n0z=0,nz=,4kz=n,2k1=T(t)=0E八0sin23tt)=-z4n0t)=02avjT0E01T4n『t>dt=-zsin2kz•Jsin=04n0T0T2或「j1「1*12"av=ReIxI=ReIzE0sin2kzI=012」L4n0」丁xy=丁xy=z(c)=n「1EEEnIIxsz=0E0E"j0=-xn0n010ej3tI=x'0cosl3t-l=x"0sin3ts(t)=ReI-xn0n02^n0^L」八2Eecos3t+30,Het)=y”Hecos3t+30。5.10/5.3-4已知时谐电磁场瞬时值为Ee(t)=xoo()()请写出其复矢量和，求坡印廷矢量瞬时值t)=et)xet),并证明其一周平均值为S［解］avEeHe。=z=xj30o八2Eeee=yj30o八2Heee“2EeHecos2®t+30o)=z八EeHe+EeHecos(2mt+60o)t)=Ee(t)xHet)=z[]av=1tJt0<t)dt=z1Tj[EHT0ee八EeHe,得证.+EeHecos2mt+600dt=z()]/5.3-5设时谐电磁场瞬时值为t)=Imjrot,(t)=Imjrot[][]av试求坡印廷矢量瞬时值t)=(t)x(t),并求其一周内平均值S[解]。1j3tt)=Imjmt=-*e-j3t2j]]1j3t*-jrott)=Imj3t=-e2j.,.(t)=t)x(t)=-[][]1j23t*+*e-j23t*x-x-*xx41&*-x&=ReExj23t2[][]av=/5.4-11TjT0t)dt=111Rel21t!1x-xx][()dt=RefIJ2T*j23t*0氮氖激光器发射的激光束在空气中的波长为6.328x10-7m,计算其频率、周期和波数(标出单位)。[解]k=2兀2n==9.929x106m-1-7痛.328x10c3x108f===4.741x1014Hz-7九6.328x10T=1=2.109x10-15secf/5.4-2人马座a星离地球4.33光年，1光年是光在一年中传播的距离。问该星座离地球多少km?[解]r=ct=3x108x4.33x365x24x3600=4.097x1016m=4.1x1013km/5.4-3地球接收太阳全部频率的辐射功率密度约为1.4kW/m2。问：(a)若设到达地面的是单一频率的平面波，则其电场强度和磁场强度振幅多大？(b)地球接收太阳能总功率约为多少？地球半径为6380km。(c)若太阳的辐射是各向同性的，那么太阳总辐射功率约为多大？太阳与地球相距约1.5x108km。[解](a)E2=1.3x1032n0・•・E=2n0x1.3x103=990V/m,2326H=E=2.63A/mn01711(b)P=S-4na=1.4x10xnx6380x10=7.16x10W=7.16x10MW(c)P=S-4nR2=1.4x103x4nx1.52x1016x106=3.68x1026W=3.68x1020MW/5.4-4图5-1所示为对称振子天线。若用它来接收波长大的电视信号，当其长度L-X/2时最有效。问接收下列频道时，L应取多长：(a)5频道(f0=88MHz)；(b)8频道(f0=187MHz)；(c)26频道(f0=618MHz)。c3x108［解］(a)九===3.41m,f88x106九=1.71m2c3x108(b)九===1.604m,f187x106卜：.L==0.802m2，L=c3x108(c)九===0.485m,f618x106/5.4-5・・.L4=0.243m=24.3cm2八E0e-jkz,设二z该电场是否满足无源区麦氏方程组？若满足，求出其场；若不满足，请指出为什么。［解「•=-jkE0e-jkzW0V・=-jkz该电场不满足无源区麦氏方程组.”的坡印廷矢量,即不可能沿纵向传播，与假这是因为该电场无横向分量，因而不会形成沿纵向(z设矛盾./5.4-6在理想介质中一平面波的电强度为“5cos2n(108t-z)(Vm)t)=x(a)求介质中波长及自由空间波长；(b)已知介质(=/0,£=£0£r,求介质的sr；(c)写出磁场强度的瞬时表示式。八5cos2n10t-z［解］(a)(t)=x8()(Vm).•・®3=2nf=2nx108f=108Hz,c3x108九0===3mf108®k=2兀=2n,大，九

图5-1图5-1电机机大统=2兀=1m,\ II(b)X=X0rl为lsr=l01=9\X/2或由k=3四0£0gr,kkc2nx3*108r====3,£r=9832nx103四0£0(c)(t)=11八5cos2n(108t-z)“*(t尸xxzznn0r=1、5cos2n(108t-z)=y"0.0398cos2n(108t-z)A/mycos2n(108t-z)=y37738nlnIjl-kzI\4/^-y^)e5.18Z5.4-7某一自由空传播的电磁波，其电场强度复矢量为二(x(a)写出磁场强度复矢量;［解］(a)(Vm)。［解］(a)(Vm)。jlkzIjl-kzI11-314/jyDe八+y>2.65x10e*="x(x=zz=(xn377(b)F11「11Jy》(x¥y)2.65x10-3lSav=Relx*I=Rel(xL2」!.2」265*10-3W/m2=z/5.5-1分别在3kHz和3GHz计算下列媒质中传导电流和位移电流振幅之比，并指出是否是介质或导体：(a)海水，sr=80，o=4*10-4S/m；(b)聚四氟乙烯，sr=2.1，o=10-16S/m；(c)铜，sr=1，o=5.8*107S/m。［解］JcoEoEo===SDJdjB£E3£dtof=3kHz:=3£4*10-4=3012兀*3*103**10-9*8036n为介质(a)f=3GHz:o=3*10-53£(b)of=3kHz:=3£10-16=2.86*10-1012兀*3*103**10-9*2.136兀为介质f=3GHz:

(c)o=2.86x10-163£of=3kHz:=3£5.8x107=3.48x101412nx3*103**10-9*136兀为导体f=3GHz:o=3.48x1083£/5.5-2频率为550kHz的广播信号通过一导电媒质，sr=2.1,国=1,o/3£=0.2,求：(a)衰减常数和相位常数；(b)相速和相位波长；［解］［解］(a)、1/JoIII1+1a=31-112IIJ21=2nx550x10x3x10832-12+0.2-12=1.6+1p=31+1p=31+1I2IIJ2「.04+11-3=1.66x101|1.04-11=1.681〃Jox10-2m-132nx550x103(b)vp===2.06x108m/sec-2P1.68x10九=2兀2n==374mp1.68x10-20怕1-jN『00r-jo3£=3772.1-j0.2=2601.01Z-5.65o二257N5.65o(Q)/5.5-3对高速固态电路中常用的砷化钱(GaAs)基片，若样品足够大，通过10GHz均匀平面波，gr=12.9,国=1,tg6e=5x104,求：(a)衰减常数a(NP/m);⑸相速vP(m/s);(c)波阻抗nc(Q)。+1a=31-112II［解+1a=31-112II3x108~3/£o23£.9x5x104=1.19x105(NP/m)2332nx1010(b)vp=~==5.28x105(m/s)5pa1.19x10(C)nC=P 八oII』1-jImJ'j兀

4kR£1o3£ejn4=377.9x15x104ejn4=0.469e=(1-j)0.332(Q)/5.5-4平面波在导电媒质中传播，f=1950MHz,媒质sr=^r=1,o=0.11S/m。(a)求波在该媒质中的相速和波长；（b）设在媒质中某点E=10-2V/m,求该点的磁场强度；（c）波传播多大距离后，场强衰减为原来的，/1000？衰减为原来的，/1000？1+1p=roI1+1112lIrol0.11=+I1I9c2l2nx1.95x10xx10-91I36n［All"1I+1IIII1=Q1.101c3c3x108vp====2.72x1082.06x108m/secp1.1011.1012nvp2.72x1080:14m96f1.95x(b)n="£l(b)n="£l1-j=^0£0-jo3£=377-j1.0154=377o=316N22.7(Q)o1.194N-22.7E10-2H==.16%1,-5N-22.7o(A/m)on3{6N2P.72(c)=roc+1.0154-122=2兀*1.95x1091/J oIII 1+I a=ro 1-11 2I I Xros2(c)=roc+1.0154-122=2兀*1.95x1093x108xx0.652=18.8NP/m令E0e-al=l=E01000得16.91ln1000==0.367ma18.8/5.5-5证明电磁波在良导体中传播时，每波长内场强的衰减约为55dB。［证］在良导体中,。邛=3/。,2故每波长内场强的衰减为A1=aX=a-2n=2兀（NP）=2n*8.686dB=55dBp/5.6-6铜导线的半径a=1.5mm,求它在f=20MHz时的单位长度电阻和单位长度直流电阻。（注：只要a>>8（集肤深度），计算电阻时可把导线近似为宽2na的平面导体。）［解］对铜,o=5.80x107S/m,6=0.f=0.20x106=1.48x10-5mRs=11-3==1.17x10Q7-5oS5.8x10x1.48x10单位长度射频电阻RS1.17*10-3R1===0.124Q/m2na2nx1.5*10-3R0=11-3==2.44x10Q/m2-72-6ona5.8x10xnx1.5*10单位长度直流电阻5.25/5.5-7若要求电子仪器的铝外壳至少为5个集肤深度厚，为防止20kHz〜200MHz的无线电干扰，铝外壳应取多厚？［解］f=20kHz:f=200MHz:取h=55.26/5.5-861=2=3No2-4=5.98x10m3-772nx20-10x4nx10x3.54x1062=5.98x10-6m61=5x5.98x10-4=2.99x10-3m=3mm若10MHz平面波垂直射入铝层，设铝层表面处磁场强度振幅H0=0.5A/m，求：(a)铝表面处的电场强度E0；经58(集肤深度)后，E为多少？(b)铝层每单位面积吸收的平均功率。［解Ka)Zs=n=(1+j)3四2nx107*4兀X10-7=(1+j)2o2x3.54x107二(1+j图％2飞机高度表［作原理)1.056x10-3=1.493x10-3/45o(Q)E0=H0Zs=0.5x1.493x10-3N45o=7.47x10-4N

77777777777777大地1-5咒E1=E0e(b尸E0e-5=5.03x10-6N45o(V/m)o「11「11Sav二ReiE0H*I二Reix7.47x10-4ej45X0.5IL2“2」1=x7.47x10-4cos45o=1.32x10-4(W/m2)4/5.5-9飞机高度表利用接收所发射的电脉冲的地面回波来测高。若地面上有d=20cm厚的雪，对3GHz的电磁波，雪的参数为sr=1.2，tan6e=3x10-4。问:⑶雪层引起的测高误差多大？(设高度表按h=(1/2)ct计算高度，c为空气中光速，t

为地面回波延迟的时间，参看题图5-2)。⑸由雪层引起的回波信号衰减约多少dB?(忽略各交界面处的反射损失。)c3x108［解］(a)v===2.74x108r.2来回通过雪层时间为t=2d2x0.2==1.46x10-9sec8V2.74x101(c-v)t=1(3-2.74)x108x1.46x10-9=1.9x10-2m=1.9cmb)222测高误差Ah=2121即「o'zn/l+1a=ro+tg28e-12I-1I=11vU1」1=2nx3x1092x2.74x108+9x10-8-112=0.0103NP/m=0.0895dB/m雪层引起的衰减为：2ad=0.0895x2x0.2=0.0358dB/5.6-1证明：在等离子体中vB<<E,即E/B>>v，v是电子速度。-jkz八E0e［证］设E=z由Maxwell方程组(a)Vx=-j®即^'x=-jro-jkzEroro===Bkro^£1^£=csr当f>fp(fp为等离子体频率)，电磁波通过等离子体的传播条件成立，有sr=1-fpf22<1则/5.7-1Ec=>c>>vBr以下各式表示的是什么极化波？“E0sin®t-kz)+y八E0cos®t-kz)；(a)=x下0cosl3t-kz+(c)=xAe0cosI3t-kz-I；I“E0sinl3t+kz+(d)=x［下0cosl3t-kz+(c)=xAe0cosI3t-kz-I；I“E0sinl3t+kz+(d)=x［答］⑶左旋圆极化波(b)线极化波(c)右旋圆极化波(d)右旋椭圆极化波“E0cosl3t+kz-I。/5.7-2将下列线极化波分解为圆极化波的叠加：入E0e(a尸x“E0e(b)=x-jkz；-jkz"E