期中模拟卷高二上学期数学期中考试

高二数学期中复习综合题一第I卷（选择题）一、单项选择题1．已知是空间向量的一种基底，则下列向量中能与，构成基底的是（）A． B． C． D．2．若是椭圆的一种焦点，是该椭圆上的动点，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．已知圆：和两点，，若圆上存在点，满足，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，为中点，则等于（）A． B．C． D．5．已知向量，．若向量与向量平行，则实数m的值是（）A．2 B．-2 C．10 D．-106．已知，是椭圆的左焦点，点P是椭圆上的动点，求的最大值和最小值分别为（）A．； B．； C．； D．；7．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举行冬季奥运会，北京成为奥运史上第一种举行夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的都市．同步中国也成为第一种实现奥运“全满贯”（先后举行奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢构造鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相似的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．8．已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动，若的最大值为，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．二、多选题9．已知圆的一般方程为，则下列说法对的的是（）.A．圆的圆心为B．圆被轴截得的弦长为C．圆的半径为D．圆被轴截得的弦长为10．下列说法中，对的的有（）A．过点P(1，2)且在x，y轴截距相等的直线方程为B．直线y＝3x-2在y轴上的截距为-2C．直线的倾斜角为60°D．过点(5，4)并且倾斜角为90°的直线方程为x-5＝011．如下四个命题表述对的的是（）A．圆上有且仅有个点到直线的距离都等于B．曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为C．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，，为切点，则直线通过点12．已知直三棱柱中，，，O为的中点.点P满足，其中，则（）A．对时，均有B．当时，直线与所成的角是30°C．当时，直线与平面所成的角的正切值D．当时，直线与相交于一点Q，则第II卷（非选择题）三、填空题13．已知双曲线C：的左.右焦点分别为，过点作直线的垂线，垂足为Q，直线与双曲线C在第一象限的交点为P，且点P在认为直径的圆上.则此双曲线的离心率为____________.14．直线与直线之间的距离为__________．15．若，，，则___________.16.已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线l与椭圆交于A，B两点（A点在第一象限），则的周长为_______；当，直线l的斜率为________．五、解答题17．在中，已知，，．（1）求边上的中线所在的直线方程；（2）求边上的高的长．18．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）从圆C外一点P(x，y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程.19．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.（1）求点到直线的距离；（2）求直线到平面的距离.20．已知直线过圆的圆心交圆C于A､B两点，O为坐标原点.（1）求圆C的方程；（2）求圆C在点处的切线方程；（3）求的面积.21．如图，已知菱形与直角梯形所在的平面互相垂直，其中，，，，为的中点（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）设为线段上一点，，若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.22．设椭圆，椭圆的右焦点恰好是抛物线的焦点．椭圆的离心率为．（1）求椭圆E的原则方程；（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过定点的直线与椭圆E交于C，D两点（与点A，B不重叠），证明：直线AC，BD的交点的横坐标为定值．参照答案1．C【分析】根据空间向量基底的定义判断即可.【详解】由于，，，因此ABD错误；由于是空间向量的一种基底，因此，，构成基底.故选：C2．B【分析】根据椭圆的原则方程可得，不妨设，运用椭圆的参数方程得出点，运用三角函数的性质即可求解.【详解】由，可得，，因此，不妨设，，因此，由于，因此，故选：B3．C【分析】先求得以线段AB为直径的圆的方程，再与圆的方程联立求解.【详解】由于点，，因此以线段AB为直径的圆的方程为：，由于圆上存在点，满足，联立，得，由于，因此，即，故选：C4．B【分析】首先连接，再运用向量加减法的几何意义求解即可.【详解】连接，如图所示：由于，为中点，因此.故选：B5．A【分析】运用向量共线定理即可得到，再进行向量坐标化，由向量相等得到参数值.【详解】向量，，，向量与向量，，平行，存在实数使得，坐标化得到：，解得．故选：A．6．A【分析】根据椭圆定义可知，获得最值时，即最值，根据可得答案.【详解】解：由已知可得，得，根据椭圆定义：，

∴获得最大值时，即最大，获得最小值时，即最小，根据三角形的两边之差不不小于第三边有当三点共线，且点P不在线段上时，，即如图所示：，

当P点在线段的延长线上，即P运动到图中点N的位置时获得最大值．当P点在线段的延长线上，即P运动到图中点M的位置时获得最小值．∴的最大值和最小值分别为；.故选：A.7．B【分析】分别设内外层椭圆方程为、，进而设切线、分别为、，联立方程组整顿并结合求、有关a、b、m的关系式，再结合已知得到a、b的齐次方程求离心率即可.【详解】若内层椭圆方程为，由离心率相似，可设外层椭圆方程为，∴，设切线为，切线为，∴，整顿得，由知：，整顿得，同理，，可得，∴，即，故.故选：B.【点睛】要点点睛：根据内外椭圆的离心率相似设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求离心率.8．C【分析】设直线，的倾斜角分别为，，，且，运用差角正切公式、基本不等式求有关椭圆参数的体现式，结合已知求椭圆参数的数量关系，进而求离心率.【详解】由题意知，，，直线为，设直线，的倾斜角分别为，，由椭圆的对称性，不妨设为第二象限的点，即，，则，.，，当且仅当，即时取等号，又得最大值为，，即，整顿得，故椭圆的的离心率是.故选：C.【点睛】要点点睛：设点M坐标及，的倾斜角，由与直线，的倾斜角的数量关系，结合差角正切公式及基本不等式求有关椭圆参数的体现式，进而确定椭圆参数的数量关系.9．ABD【分析】将圆的一般方程化为原则方程，根据原则方程可得圆心坐标和半径，可得A对的，C不对的，令和可得选项BD对的【详解】由圆的一般方程，得圆的原则方程为，故圆心为，半径为，则A选项对的、C选项错误，令，得或，弦长为，则D选项对的，令，得或，弦长为，则B选项对的，故选：ABD．10．BD【分析】通过讨论截距为0和不为0两种状况求直线方程即可，从而判断选项A；根据截距的概念即可判断选项B；根据直线方程可得到直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角，从而可判断选项C；根据直线的倾斜角可得出直线的斜率不存在，从而可求出直线方程，从而可判断选项D.【详解】若直线在x，y轴截距相等且为0时，此时直线方程为；若直线在x，y轴截距相等且不为0时，此时设直线方程为，把点P(1，2)代入得，因此此时直线方程为.因此满足条件的方程有和，故选项A错误；直线y＝3x-2在y轴上的截距为-2，选项B对的；直线的斜率，因此，因此倾斜角为，选项C错误；当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，因此过点(5，4)并且倾斜角为90°的直线方程为x-5＝0，选项D对的.故选：BD.11．ACD【分析】选项A根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；选项B根据两曲线有四条公切线，确定曲线类型为圆，再由两圆外离列不等式求解；选项C运用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；选项D运用切线的性质得切点弦方程，再根据切点弦方程求定点.【详解】选项A：圆的圆心为，半径.圆心到直线的距离，因此圆上有且仅有个点到直线的距离都等于故选项A对的；选项B：方程可化为，故曲线表达圆心为，半径的圆.方程可化为由于圆与曲线有四条公切线，因此曲线也为圆，且圆心为，半径()同步两圆的位置关系为外离，有，即，解得.故选项B错误；选项C：圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，因此直线与圆相离.由切线的性质知，为直角三角形，，当且仅当与直线垂直时等号成立，因此的最小值为.故选项C对的；选项D：设点，由于点在直线上，因此，，由圆的切线性质知，直线的方程为，，整顿得，解方程得，.因此直线过定点.故选项D对的.故选：ACD.12．ACD【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量的垂直关系证明，可判断A；先计算出夹角的余弦值，然后进行判断，可判断B；先计算出与平面一种法向量夹角的余弦值，然后即可求解出线面角的正弦值，由此可计算出线面角的正切值，可判断C；运用中位线对应的平行关系以及线段长度关系进行阐明，可判断D.【详解】认为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，其中，由于，因此，A.由于，因此，因此，故对的；B.当时，，因此，因此直线与所成的角不是，故错误；C.当时，，取平面的一种法向量为，因此，设直线与平面所成的角为，因此，因此，故对的；D.当时，如图所示，为中点，为中点，连接，因此，因此，故对的；故选：ACD.13．【分析】由椭圆的定义知的周长为，即可求解；由题可设直线方程为，与椭圆联立得，运用韦达定理结合已知条件可求得A，B两点的横坐标，进而求得，又A点在第一象限，知，即可得解.【详解】由椭圆，得，由椭圆的定义知，又，的周长由题知直线的斜率存在，设直线方程为，设联立，整顿得其中，①，②由，得，即③由①③解得：，，代入②解得，此时，，又A点在第一象限，，故答案为：，14．【分析】依题意画出草图，可得，，求出到直线的距离，即可得到，再运用勾股定理求出，由双曲线的定义得到，即可求出双曲线的离心率；【详解】解：依题意可得，，因此，由于为的中点，所认为的中点，到直线的距离，因此，，因此又，即，因此，因此故答案为：15．【分析】化简直线为，结合两平行线间的距离公式，即可求解.【详解】化简直线为，根据平行线间的距离公式，可得，即直线与直线之间的距离为.故答案为：.16．3【分析】运用空间向量加法以及数量积的坐标运算，求解即可．【详解】由于，，，因此，因此．故答案为：3．17．（1）；（2）．【分析】（1）先求出的中点坐标，结合点由两点式可得直线的方程.；（2）求出直线的方程，由点到直线的距离公式求点到的距离即可.【详解】（1）由于，，因此的中点为因此边上的中线所在的直线方程为，即；（2）由于，，因此直线的方程为：，整顿可得：，设到的距离为，因此.18．（1）或；（2）.【分析】（1）由题设可得圆心，半径为，可设直线l为，结合切线的性质列方程求参数b，进而写出直线l的方程；（2）由题意易知，应用两点距离公式整顿化简即可得P的轨迹方程.【详解】（1）圆C原则方程为，则圆心，半径为，令，则有，解得或.∴直线l的方程为或.（2）由圆上切点的性质知：，由|PM|＝|PO|，∴，整顿得.故点P的轨迹方程为.19．（1）；（2）.【分析】（1）认为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，取，，根据空间向量点到直线距离公式，可得点点到直线的距离；（2）易证平面，则点到平面的距离为直线到平面的距离，求出平面的一种法向量，再求出，根据点到面的距离公式，可得直线到平面的距离．【详解】认为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，因此，，，.（1）取，，则.因此，点到直线的距离为.（2）由于，因此，因此平面.因此点到平面的距离为直线到平面的距离.设平面的法向量为，则因此因此取，则.因此，是平面的一种法向量.又由于，因此点到平面的距离为.即直线到平面的距离为.20．（1）；（2）；（3）.【分析】（1）圆的圆心为，将圆心坐标代入即可求得，从而可得圆的方程；（2）将点的坐标代入成立，即点在上，设过点的切线的斜率为，运用可求得，从而可得切线的方程；（3）由题意可知，为圆的直径，其长度为4，运用点到直线的距离公式可求得原点到直线的距离，从而可求的面积．【详解】解：（1）∵圆的圆心为直线过圆C的圆心，∴，∴∴圆C的方程为：（2）∵点在上，且圆心为∴设过点的切线的斜率为k，过P､C两点的直线的斜率为，则∵∵∴，故∴切线的方程为，即（3）∵圆的半径为2，∴点到直线的距离为∴21．（1）证明见解析；（2）；（3）.【分析】（1）取的中点，连接，作，如图建立空间直角坐标系，求出和的坐标，计算即可求证；（2）求平面的法向量，以及平面的法向量，运用空间向量夹角公式计算的值即可求解；（3）求出的坐标即可得的坐标，由可得的坐标，设直线与平面所成角为，由求得的值，进而可得的长.【详解】（1）取中点，连接，由于四边形为菱形且，因此，由于平面平面，平面平面，面，因此平面，作，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图，则，，，，，因此，，由于，因此，即；（2），，设平面的法向量，则令，则，因此平面的法向量，取平面的法向量因此，因此平面与平面夹角的余弦值为；（3